人口增长模型分析

第 4章 拟合与插值 1（2课时） 教学目的 １.了解最小二乘法的原理. ２.通过实例的学习,懂得如何用拟合和插值的方法解决实际的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,并能注意它 们的联系与区别,会用 Matlab 来求解 教学内容 １.拟合与插值的原理及简单分类． ２.相应问题的实例建模及用软件求解的实现． ３.练习与上机实验的内容． 1．拟合 1．1 引言 对于情况较复杂的实际问题（因素不易化简，作用机理不详）可直接使用 数据组建模，寻找简单的因果变量之间的数量关系， 从而对未知的情形作预 报。这样组建的模型为拟合模型。 拟合模型的组建主要是处理好观测数据的 误差，使用数学 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式从数量上近似因果变量之间的关系。拟合模型的组建是 通过对有关变量的观测数据的观察、 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 和选择恰当的数学表达方式得到的。 拟合模型组建的实质是数据拟合的精度和数学表达式简化程度间的一个 折中。折中 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 的选择将取决于实际问题的需要。 1．2 拟合模型的分类 1．2．1 直线拟合 假设所给数据点（ ,i ix y ），i=1,2,……N 的分布大致成一条直线，虽然我们并 不要求所作的拟合直线 严格地通过所有的数据点（y a bx= + ,i ix y ），但总希望 它尽可能地从所给数据点附近通过，就是说，要求近似成立 i iy a bx= + ， i=1,2,……N这里，数据点数目通常远大于待定系数的数目即 N＞＞2，因此， 拟合直线的构造，本质上是个解超定方程组的代数问题。 设 i iy a bx= + i=1,2,……N 表示按拟合直线 求得的近似值，一般地说，它不同于实测值y a bx= + iy ，两者 之差 称残差。显然，残差的大小是衡量拟合好坏的重要标志，具体 地说，我们可以采用下列三种准则： i i ie y y −= − （1） 使残差的最大绝对值为最小：max minii e = （2） 使残差的绝对值之和最小： mini i e =∑ （3） 使残差的平方和为最小： 2 mini i e =∑ 分析以上三种准则，（1） 、（2）两种提法比较自然，但由于含有绝对值运算 不方便于实际应用，而基于（3）来选取拟合曲线的方法称曲线拟合的最小二 乘法。[1] 直线拟合问题可用数学语言描述如下： 对于给顶的数据点 ( , )i ix y ， 1, 2,3, ,i N= ⋅⋅⋅ ，求作一次式 ，使总误 差 y a bx= + 直线拟合问题可用数学语言描述如下： 对于给顶的数据点 ( , )i ix y ， 1, 2,3, ,i N= ⋅⋅⋅ ，求作一次式 ，使总误 差 y a bx= + [ ] 1 ( ) N i i i Q y a bx = = − +∑ 最小。 1．2．2 曲线拟合 有时候所给出数据点用直线拟合不合适，这时可考虑用多项式拟合，而多项 式拟合也是多项式运算的一个重要组成部分，在工程应用及科研工作中都得到了 广泛的应用。 用数学语言描述如下： 对于给定的一组数据 ( , )i ix y ， 1, 2,3, ,i N= ⋅⋅⋅ ，寻求作 次多项式（ ）m m N<< m j j j o y a = = ∑ x 使总误差 2 1 ( ) N m j j i i j o Q y a x = = = −∑ ∑ 为最小。 1．2．3 观察数据修匀 提高拟合多项式的次数不一定能改善逼近效果，实际计算时常用不同的低次 多项式去拟合不同的分段，这种方法称分段拟合。 设已给一批实测数据，由于实测方法、实验环境等一些外界因素的影响，不 可避免地会产生随机干扰和误差。我们自然希望根据数据分布的总趋势去剔除观 察数据中的偶然误差，这就是所谓的数据修匀（或称数据平滑）问题。 1．3 数学软件Matlab求解[2] 专用的拟合函数 polyfit. Polyfit(x,y,n) x,y 为拟合数据，n为拟合多项式的阶数。 例题：给出下表数据，试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。 x -1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0 025 0.50 0.75 1.00 y -0.2209 0.3295 0.8826 1.4392 2.0003 205645 3.1334 3.7061 4.2836 （3）如何预报人口的增长[3] 人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，并且我们会发现在不同的刊 物预报同一时间的人口数字不相同，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结 果。 我国是世界第一人口大国，基本上地球每九个人中就有一个中国人。有效地 控制我国人口的增长是使我过全面进入小康社会、到 21 世纪中叶建成富强民主文 明的社会主义国家的需要。而有效控制人口增长的前提是要认识人口数量的变化 规律，建立人口模型，作出较准确的预报。 例如：1949 年—1994 年我国人口数据资料如下： 年 份 xi 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 人口数 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 建模分析我国人口增长的规律,预报 1999 年我国人口数。 介绍两个简单模型（学生作业：寻找其它的人口模型，进行比较） 模型一：假设：人口随时间线性地增加 模型：y = a + b x 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 估计 观测值的模型： yi = a + b xi + ei ，i = 1,…,n 拟合的精度: Q = ∑ ei 2 = ∑ (yi - a – b xi)2, 误差平方和。 可以算出：a = – 1.93， b = 0.146 模型：y = – 1.93 + 0.146 x 模型二： 指数增长模型[4] bxy ae= ⇒ ln lny a bx= + （用简单的线性最小二乘法） 用 Matlab 软件计算得：a=2.33,b=0.0179 即： 0.01792.33 xy e= 程序如下： x=[1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994]; y=[5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 ]; a=polyfit(x,y,1); x1=[1949:10:1994]; y1=a(2)+a(1)*x1; b=polyfit(x,log(y),1); y2=exp(b(2))*exp(b(1)*x1); plot(x,y,'*') hold on plot(x1,y1,'--r') hold on plot(x1,y2,'-k') legend('原曲线','模型一曲线','模型二曲线') 程序执行后得到下面图形 结论的比较如下表： 年 份 xi 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 人口数 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 模型一值 5.24 5.97 6.70 7.43 8.16 8.90 9.62 10.36 11.09 11.82 误 差 0.16 0.03 0.00 -0.43 -0.06 0.20 0.18 -0.06 0.01 -0.02 模型二值 5.55 6.06 6.62 7.23 7.90 8.64 9.44 10.31 11.26 12.31 误差 -0.15 -0.06 0.08 -0.23 0.20 0.46 0.36 -0.01 -0.13 -0.51 结果分析： （1） Q1 = 0.2915 < 0.7437 = Q2. 线性模型更适合中国人口的增长。 （2） 预报：1999 年 12.55 亿，13.43 亿 （3） 人口白皮书： 2005 年 13.3 亿， 2010 年 14 亿 模型 I 2005 年 13.43 亿， 2010 年 14.16 亿 模型 II 2005 年 14.94 亿， 2010 年 16.33 亿 人口的增长是受到很多因素影响的，为了使人口预报特别是长期预报更好地符 合实际情况，必须考虑诸多方面的因素，进行修改模型。 2.练习 用 5阶多项式对 0, 2 π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦的正弦函数值进行最小二乘法。 [参考文献] [1]王能超.数值分析简明教程[M].北京：高等教育出版社.2001,6. [2] 王沫然. MATLAB 5.X 与科学计算[M].北京：清华大学出版社.2000,5. [3] http://www.mathrs.net/data/upload/shuxuejianmo/kejian/18.ppt#4 [4] 王沫然. MATLAB 5.X 与科学计算[M].北京：清华大学出版社.2000,5. [5] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社.2005,12. 刀客网络营销系统欢迎各位莅临交流 第 1 页 共 6 页 嗨！您好，我是刀客网络营销系统创办人，方胜山。 请记着我的名字，因为在你未能通过互联网获得成功之前，我 会一直陪伴着你！ 您能理解“8 个小时之内求生存，8个小时之外求发 展”这句话的深刻意义吗？它告诉我们： 人的一生真正价值在于工作之外，工作只是为我们提 供温饱，绝对不是生活的全部！ 在这个物欲横流的现实社会环境下，相信你一定在寻找一种能 够快速赚钱的办法。因为足够的金钱，可以让你做到下面的几点： 1.丰富的物质生活； 2.家人生活的保障 3.时间上的自由； 4.社会的尊重； 在我这个行业，一直流传着一句话： 十年打工还是工，一年网络成富翁！ 虽然有点调侃的意思，但是它绝对道出了一个真理：网上创业赚 刀客网络营销系统欢迎各位莅临交流 第 2 页 共 6 页 钱已经成为趋势，拥有网络在线生意就等于拥有了自动赚钱机 器！ 八十年代初，摆个地摊就能发财，但是很多人不敢去做，现在仍 然是个穷人； 九十年代初，买支股票就能挣钱，可很多人不信，现在依然是个 穷人； 二十一世纪，搭建网络建立你的在线生意就能赚钱，可很多人还 是不尝试。难道你还想一直做穷人吗？！ 现在是互联网时代，加入网上创业行列，你还想错过吗? 如果 您不想因为错过这个赚钱机会而终身后悔，那么请继续: 刀客营销专注于自动化网络创业。我坚信，一个投入最少，收 获最大的自动化运营系统将是人们创业的首选，因为它不管你是 在上班，还是旅游，甚至是睡觉，它都在为你： 1 天 24小时 1周 7天 1月 30天 1年 365天 不间断的赚钱！ 刀客网络营销系统欢迎各位莅临交流 第 3 页 共 6 页 经过几年互联网创业过程的摸爬滚打，我深深的体会到：“选择 不对、努力白费”这句话的含义！在互联网上赚钱的方式太多了， 有些项目能赚钱，有些根本赚不到钱，有些只能赚点零花钱，有 些却可以月入几十万！ 我不知道你现在处于什么阶段，你是否还在做网络苦工，每天 帮别人发帖、顶贴赚取少的可怜的佣金？你是否还在为每天赚几 块钱或者几十块钱而沾沾自喜？您是否以厌倦了您现在的生活， 您迫切需要改变您的人生？也许你工作很努力，却始终没有好的 效果，因为选择不对，努力白费！或者说你没有找到真正在互联 网上赚钱的方法！ 其实在网络上赚钱没有你想象中复杂，你知道吗？技术是最次 要的环节，一个成熟的系统支持和营销思维才是你互联网上赚钱 的最有力保障！ 你只要具备以下 3个条件，你就可以在互联网获得财富！ 1、定制产品 营销目的是将产品销售出去，只有当您有产品可以销售的时候营 销才能体现其价值。 2、市场定位 刀客网络营销系统欢迎各位莅临交流 第 4 页 共 6 页 营销的过程是将顾客引进您的系统，如何将顾客引进您的系统而 后成为您的客户？我们为您准备了一系列的课程，教给你识别属 于您的黄金市场，超级轻松的定位精准客户。 3、营销技巧 通过我们教授给你的各种高级网络营销方式，最大限度的挖掘您 黄金市场的潜在客户源。源源不断的客户通过入口进入系统后， 系统就开始自动化运作，并且通过病毒式营销自动达到循环运转 自动抓潜，自动跟进，自动销售，自动追售的完整过程。让您真 正拥有一个自动化赚钱系统。 如果你对我所说的感兴趣，并且有着强烈的创业赚钱欲望，想 学习我说的自动化赚钱系统的具体知识，那么，请立即访问下面 的网址并确认订阅，你将立刻-马上的拥有它： 点击免费获取上述方法的具体教程点击免费获取上述方法的具体教程点击免费获取上述方法的具体教程 每天有超过1000人通过这个链接了解到如何搭建自动化赚钱 系统的方法并在 1个月之内开始赚钱。我相信你也能做到！ 但是由于每天索要资料的朋友太多导致我们没有足够的精力 去开发新的课程产品以便更好的服务你，所以我们决定： 刀客网络营销系统欢迎各位莅临交流 第 5 页 共 6 页 每天只有前 50 名订阅的朋友才有权利获取到我们免费发送 的价值 500 元的搭建自动化赚钱系统的珍贵教程！注意： 每天 1000 人访问，只有前 50名能够获取！ 点击免费获取上述方法的具体教程点击免费获取上述方法的具体教程点击免费获取上述方法的具体教程 每当机会摆在我的面前，我都会去尽全力的去抓住它哪怕希望 很渺茫。那么你呢？脱离苦 B的生活现状也许就取决于你现 在的一个小小的行动。而且对你没有任何的损失。 赶快行动吧，期待和你成为终生的朋友和事业伙伴！ 访问下面链接获取更多资讯: 刀客网络营销工作室简介：http://player.56.com/v_OTM5MzIwNDM.swf 刀客网络营销腾讯微博 http://t.qq.com/frederick_yan 刀客网络营销工作室官网 http://www.daoke123.com 刀客网络营销系统欢迎各位莅临交流 第 6 页 共 6 页