第1章 控制系统的基本概念
1.5 图1.1所示的转速闭环控制系统中,若测速发电机的正负极性接反了,试问系统能否正常工作?为什么?
解:若测速发电机的正负极性接反,偏差电压则为
系统将由负反馈变为正反馈,而正反馈不能进行系统控制,会使系统的偏差越来越大。
因此,系统不能正常工作。
1.9 仓库大门自动控制系统原理如图1.8所示。试说明仓库大门开启、关闭的工作原理。如果大门不能全开或全关,应该怎样进行调整?
解 当给定电位器和测量电位器输出相等时,放大器无输出,门的位置不变。假设门的原始位置在“关”状态,当门需要打开时,“开门”开关打开,“关门”开关闭合,给定电位器和测量电位器输出不相等。电位器组会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压,偏差电压经放大器放大后,驱动伺服电动机带动绞盘转动,将大门向上提起。与此同时,和大门连在一起的电刷也向上移动,直到电位器组达到平衡,即测量电位器输出与给定电位器输出相等,则电动机停止转动,大门达到开启位置。反之,当合上关门开关时,电动机带动绞盘使大门关闭,从而可以实现大门远距离开闭自动控制。系统方框图如图1.9所示。
如果大门不能全开或者全闭,说明电位器组给定的参考电压与期望的开门位置或关门位置不一致,应该调整电位器组的滑臂位置,即调整“开门”或“关门”位置对应的参考电压。
第2章 自动控制系统的数学模型
2.1 求图2.1中RC电路和运算放大器的传递函数
。
解:(a)令Z1=
为电容和电阻的复数阻抗之和;Z2=
为电阻的复数阻抗。由此可求得传递函数为:
(c) 该电路由运算放大器组成,属于有源网络。运算放大器工作时,A点的电压约等于零,称为虚地。输入、输出电路的复数阻抗Z1和Z2分别为 Z1=
,Z2=
。又由虚短得
故有
2.4 已知某系统满足微分方程组为
试画出系统的结构图,并求系统的传递函数
和
。
解:在零初始条件下,对上述微分方程组取拉氏变换得:
每个等式代
表
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一个环节,且系统的输入信号为
,输出信号为
,
是偏差信号。根据各环节输入、输出变量之间的关系式,推出系统动态结构图,如图2.9所示。
化简动态结构图,可得系统传递函数为
2.5 简化图2.10所示系统的结构图,求输出
的表达式。
解:本系统为多输入-单输出系统,可利用线性系统的叠加定理,分别求取各个输入信号作用下的输出,其和即为所求的系统总输出。系统动态结构图可化简为图2.11(a)。
考虑到输入信号D1(s)附近相邻的相加点可交换,将系统结构图图2.11(a)简化为图2.11(b)。
1) 求输入信号R(s)用下的输出CR(s),此时假定其他两个输入为零,即D1(s)= D2(s)=0,则根据系统结构图2.11(b),化简可得
输出CR(s)为
2) 求输入信号D1(s)用下的输出CD1(s),此时假定R(s)= D2(s)=0,则系统结构图可等效为图2.11(c)。
化简可得
输出CD1(s)为
3) 求输入信号D2(s)用下的输出CD1(s),此时假定R(s)= D1(s)=0,则系统结构图可等效为图2.11(d)。
化简可得
输出CD2(s)为
4)综上所述,本系统的总输出为
2.6 简化图2.12所示各系统的结构图,并求出传递函数
。
解:图2.12(a)是具有交叉连接的结构图。为消除交叉,可采用移动相加点、分支点的
方法
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处理。图中a、b两点,一个是相加点,一个是分支点,二者相异,不可以任意交换,但可以相对各串联环节前移或后移,如图2.13(a)所示。
求解步骤:
(1)将分支点a后移,等效图如图2.13(b)所示。
(2)将相加点b前移,等效图如图2.13(c)所示。
(3)将相加点b与前一个相加点交换,并化简各负反馈及串、并联环节,得图2.13(d)。
(4)化简局部负反馈,故得图2.13(e)。
(5)前向通道两环节串联,再化简单位负反馈系统,得到系统(a)的闭环传递函数为
2.10 分别用结构图变换法及梅逊公式求图2.21所示各系统的传递函数
。
(a) 解:
1) 结构图变换法
如图2.22(a)所示,虚线框内部分为典型的负反馈环节,因此系统动态结构图的等效变换如图2.22(b)所示。系统闭环传递函数为
(e)
解:结构图变换法
为解除交叉连接,可分别将相加点a前移、分支点b后移,如图2.26(a)所示。
动态结构图的等效变换见图2.26(b)、(c)、(d)。系统闭环传递函数为
2.12 已知各系统的脉冲响应函数,试求系统的传递函数
。
(2)
解:(2) 方法1:
在零初始条件下,等式两端取拉氏变换,根据拉氏变换的时域平移定理,得
由欧拉公式
,且
,则有
方法二
根据三角函数的求和定理,系统的脉冲响应函数可展开为
在零初始条件下,等式两端取拉氏变换,得
第3章 控制系统的时域分析法
3.2 某单位负反馈系统的开环传递函数为
试分别求出
s–1和
s–1时,系统的阻尼比
和无阻尼自然振荡角频率
,及单位阶跃响应的超调量
和调节时间
。并讨论
的大小对过渡过程性能指标的影响。
解:系统闭环传递函数为
二阶系统标准的零极点表达式为
,闭环传递系数K=1
比较可得,系统的性能参数为
=
,
且有
,说明K值的大小对系统的快速性影响较小。
(1)当K=10时,系统闭环传递函数为:
系统的性能参数为
=0.5,
=10
系统相关动态性能指标为
(2)当K=20时闭环传递函数为:
系统的性能参数为
=
,
系统相关动态性能指标为
由以上分析可见,增大系统开环传递系数K,将增大系统超调量,使系统振荡加剧,对系统的动态性能不利。
3.4 如图3.3所示,若某系统加入速度负反馈
,为使系统阻尼比
,试确定(1)
的取值;(2)系统的动态性能指标
和
。
解:(1)该控制系统的闭环传递函数为
与二阶系统标准的零极点表达式比较,可得
并考虑到:
,
,所以
(2)系统的动态性能指标如下
3.5 实验测得单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图3.4所示。试确定该系统的开环传递函数
。
解:由图3.4所示,可知二阶系统的单位阶跃响应峰值时间为
联立以上方程可得:
0.515,
=18.33
并由于系统的单位阶跃响应稳态值为1,说明系统的闭环传递系数K=1,故求得系统闭环传递函数为
系统为单位负反馈结构,因此有
推出系统开环传递函数如下
3.7 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
(1)
(4)
试分别用劳斯判据判定系统的稳定性。
解:(1)系统闭环传函为:
闭环特征方程为:
=0,列劳斯表如下
s3
1 5
s2
6 20
s1
s0
20
由于劳斯表的第一列系数均大于零,故该系统稳定。
也可直接利用基于劳斯判据的三阶系统稳定性结论,如下:
三阶系统特征方程为
,则系统稳定的充分必要条件为:
、
、
、
均大于0及
。
对于本系统有:特征方程所有系数均大于零,且
,因此系统稳定。
(4)系统闭环传函为:
系统闭环特征方程为
=0
因为特征方程缺相(缺
),故该系统不稳定。
3.9 设单位负反馈系统的开环传递函数分别为
(1)
(2)
(3)
试确定使系统稳定的开环增益
的取值范围。
解:(1)该系统的闭环传函为:
闭环特征方程为:
=0
对于二阶系统,如欲使闭环系统稳定,则保证特征多项式的每个系数都大于零即可:
8+K>0
K>-8
3.11 设单位负反馈系统的开环传递函数为
若
要求
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闭环特征方程根的实部分别小于0、-1、-2,试问
值应怎么选取?
解:该系统的闭环传函为
特征方程为
欲闭环特征方程根的实部小于0、-1、-2,实际上就是使闭环特征方程根具有相应的稳定裕量(( =0、1、2),可利用劳斯判据确定对应的K值。
1) 使闭环特征方程根的实部小于0
即求使系统保持稳定的K值。由系统的闭环特征方程,有
即
求得满足条件的K值为
2) 使闭环特征方程根的实部小于-1
进行坐标变换,令s=z-1,代入闭环特征方程得
根据劳斯判据,欲使该系统在z域稳定的条件是
即
则在s域中满足条件的K值为
3)使闭环特征方程根的实部小于-2
进行坐标变换,令s=z-2,代入闭环特征方程得
根据劳斯判据,欲使该系统在z域稳定的条件是
即
则在s域中满足条件的K值为
由以上分析可见,对闭环系统的稳定性要求越高,则系统传递系数的取值范围越小。
3.12 已知单位负反馈系统开环传递函数
(1)
(3)
试分别求出各系统的静态位置误差系数
、静态速度误差系数
、静态加速度误差系数
;计算当输入信号
时的稳态误差
。
解:
(1)该系统标准的时间常数表达式为
系统为0型系统,则有
=10,
=0,
=0
输入信号
的拉普拉斯表达式为
则系统对应的稳态误差
为
(3)该系统标准的时间常数表达式为
该系统为II型系统,则有
=
,
=
,
=0.1
则系统对应的稳态误差
为
3.13 系统如图3.5所示。试判断系统闭环稳定性,并确定系统的稳态误差
及
。
解:(1)该系统给定输入信号下的闭环传函为:
系统闭环特征方程为:
=0
由劳斯判据,有
故该系统闭环稳定。
(2)该系统给定输入信号下的开环传函为:
前向通道有两个积分环节,v=2,该系统为II型系统,所以输入信号
下的稳态误差为
=0
系统对于干扰的闭环传递函数为
因此阶跃干扰信号作用下的系统稳态误差为
第5章 频率特性法
5.2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
根据频率特性的物理意义,求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。
(1)r(t)=sin(t+30°);
解:该系统的闭环传递函数为
闭环系统的幅频特性为
闭环系统的相频特性为
(1)输入信号的频率为
,因此有
,
系统的稳态输出
5.4 求图5.8所示的电网络的频率特性表达式,以及幅频特性与相频特性表达式,并绘制出对数频率特性曲线。
图5.8
题
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5.4图
解:
(a)电网络的传递函数为
频率特性为
幅频特性
相频特性
伯德图见图5.9(a),此电网络是系统校正中常用的超前校正装置(见第六章),呈现以下特点:
1) 转折频率
与
之间渐近线斜率为20dB/dec,起微分作用;
2)((()在整个频率范围内都>0,具有相位超前作用,故名超前校正装置;
3)((()有超前最大值(m。
(b)电网络的传递函数为
频率特性为
幅频特性
相频特性
伯德图见图5.9(b),此电网络是系统校正中常用的滞后校正装置(见第六章),呈现以下特点:
1) 转折频率
与
之间渐近线斜率为-20dB/dec,起积分作用;
2)((()在整个频率范围内都<0,具有相位滞后作用,故名滞后校正装置;
3)((()有滞后最大值(m。
5.8 已知最小相位系统开环对数幅频特性如图5.13所示。
(1)写出其传递函数;
(2)绘出近似的对数相频特性。
解:(a)
1) 由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K
由于低频段的斜率为0dB/dec,该系统为0型系统。由
,求出K=1000。
2)确定串联的各典型环节
第一个转折频率(1=1rad·s-1,且斜率减小20dB/dec,有一个惯性环节
;
第二个转折频率(2=10rad·s-1,且斜率减小20dB/dec,有一个惯性环节
;
第三个转折频率(3=300 rad·s-1,且斜率减小20dB/dec,有一个惯性环节
。
3)综上所述,该系统的开环传递函数为
4) 绘出近似的对数相频特性
对于最小相位系统,对数频率特性的低频渐近线斜率为-20vdB/dec,相频特性((()|(→0=-90v°,均与积分环节的个数v有关;当( → (时,若n>m,高频渐近线斜率为-20(n-m)dB/dec的斜线,((()|(→∞=-90(n-m)°。因此,本开环系统相频特性有,((0)=0°,((∞)=-270°。
最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同,即若L(()的斜率减小(或增大),则((()的相位也相应地减小(或增大);如果在某一频率范围内,对数幅频特性L(()的斜率保持不变,则在这些范围内,相位也几乎保持不变。因此,系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化,并可直接求取几个典型频率处(如转折频率)的相位,以提高曲线的准确性。如果系统有开环零点,则在相关转折频率处特性曲线出现凹凸。
转折频率处相位为:((1)=-51.7°,((10)=-131°,((300)=-223°。
本系统近似的对数相频特性见图5.14(a)。
解:(b)
1)由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K
低频段的斜率为-20dB/dec,该系统为I型系统,v=1。将低频渐近线延长线上的点L(100)=0,代入低频渐近线的表达式L(()=20lgK-20lg(,可以求出K=100。
2)确定串联的各典型环节
第一个转折频率(1=1rad·s-1,且斜率减小20dB/dec,有一个惯性环节
;
第二个转折频率(2=100rad·s-1,且斜率减小20dB/dec,有一个惯性环节
;
3)综上所述,该系统的开环传递函数为
4) 绘出近似的对数相频特性
与题(a)的分析相同,本开环系统相频特性满足,((0)=-90°,((∞)=-270°。转折频率处相位为:((1)=-135°,((10)=-180°,((100)=-225°。系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图5.14(b)。
解:(c)
1)由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K
低频段的斜率为0dB/dec,该系统为0型系统。由
,求出K=10。
2)确定串联的各典型环节
第一个转折频率(1=5rad·s-1,且斜率减小40dB/dec,有一个二阶振荡环节,其时间常数为
,由
,此振荡环节为
;
第二个转折频率(1=80rad·s-1,且斜率增加40dB/dec,所以有一个二阶微分环节,其时间常数为
,由
,此二阶微分为
。
3)综上所述,该系统的开环传递函数为
4) 绘出近似的对数相频特性
本开环系统相频特性满足,((0)=0°,((∞)= 0°,转折频率处相位为((5)=((80)=-91°。系统的相频特性在每个二阶振荡环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图5.15(c)。
解:(d)
1)由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K
由于低频段的斜率为+20dB/dec,该系统有一个纯微分环节。低频渐近线表达式为L(()=20lgK+20lg(,将点L(10)=0代入,可求出K=0.1。
2)确定串联的各典型环节
转折频率(=100rad·s-1,且斜率减小20dB/dec,有一个惯性环节
。
3)综上所述,该系统的开环传递函数为
4) 绘出近似的对数相频特性
同上,本开环系统相频特性满足,((0)= 90°,((∞)=0°。系统的相频特性在惯性环节的转折频率处为((100)=45°。本系统近似的对数相频特性见图5.15(d)。
5.10 已知系统的开环传递函数如下
(1)当K=1时,求系统的相位裕量;
(2)当K=10时,求系统的相位裕量;
(3)分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。
解:(1)当K=1时,求系统的相位裕量;
绘制开环伯德图如图5.18对数频率特性(a)所示。低频段斜率为-20dB/dec,并通过点L(1)=20lgK-20lg1=0dB。经过转折频率(1=1rad·s-1后斜率为-40dB/dec,经过转折频率(2=10rad·s-1后最终斜率为-60dB/dec。
系统的幅值穿越频率(ca=1 rad·s-1,代入系统的相频特性有
相角穿越频率(g=3.16 rad·s-1,可求得系统的幅值裕量为
Lh=-L((g)=20dB>0
因此,闭环系统稳定,并具有较好的稳定裕量。
(2)当K=10时,求系统的相位裕量;
绘制开环伯德图如图5.18对数频率特性(b)所示。相对于对数频率特性(a),开环传递系数增加10倍, L(()曲线上升20dB,相频特性保持不变。
系统的幅值穿越频率(cb=3.16 rad·s-1,也是系统的相角穿越频率,代入系统的相频特性有
系统的幅值裕量为
Lh=-L((g)=-L((c)=0dB
因此,稳定裕量为零,闭环系统处于临界稳定状态。
(3)分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。
由以上分析可见,对一结构、参数给定的最小相位系统,当开环传递系数增加时,由于L(()曲线上升,导致幅值穿越频率(c右移,从而使得相位裕量与幅值裕量都下降,甚至使系统不稳定。
第6章 控制系统的校正
6.8一单位负反馈系统固有部分的传递函数为
,若要求系统的静态速度误差系数Kv=5s(1,相位裕量γ(≥40º,幅值穿越频率(’c≥0.5rad/s,幅值裕量L’h≥10dB。试
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
所需串联滞后校正装置的传递函数。
解
(1)求校正前的开环频域指标
K=5时未校正系统的伯德图如图6.3中的曲线Lo(()所示。低频段过点Lo(1)=20lgK=14dB,且中频段穿越斜率为-60 dB/dec,可见开环对数频率特性不满足稳定性的要求。
由关系
dB
未校正系统的相位裕量为
系统是不稳定的。若采用超前校正,则需要校正装置提供的相位超前量为
可见校正装置所需提供的相角超前量过大,对抗干扰有不利影响,且物理实现较为困难。同时由于采用超前校正幅值穿越频率会右移,从原系统的相频特性可见,系统在原(c处相位急速下降,需要校正装置提供的相角超前量可能更大,因此不宜采用超前校正。
由于要求的
在
rad/s的左边,所以可以考虑采用串联滞后校正装置。
(2)确定校正后的幅值穿越频率
选择未校正系统伯德图上相位裕量为
时的频率,作为校正后的幅值穿越频率((c,根据下式确定
但直接求解此三角函数是比较困难的,根据题意可将((c=0.5 rad/s代入上式,求得
故选定((c=0.5rad/s。
(3)确定滞后网络的(值
未校正系统在((c处的对数幅值为
根据
可计算出(=10。
(4)确定滞后校正装置转折频率
选
rad/s,推出T=1/(2=10s,并有(1=1/(T=0.01rad/s。
滞后校正装置的传递函数为
(5)校验系统校正后的稳定裕量
与L(h
校正后系统的开环传递函数为
满足设计要求。
系统校正前后的频率特性见图6.3。
由于系统的相角穿越频率((g需通过复杂的三角函数才能正确求解,因此幅值裕量一般通过间接的方法验证,方法如下:
系统校正后的相频特性为
((()=(90(+ arctan10((arctan((arctan0.5((arctan100(
由图6.3可见,((g在频率范围(1,2)之间,可求得校正后(=1.3rad/s时的相位与对数幅值分别为
((1.3)= (179.4(
L(1.3)= (20lg1/0.5(40lg1.3/1=(10.6(dB)
因此判断出校正后的((g稍大于1.3rad/s,并由系统的频率特性可知,在频率大于1rad/s的范围内,随频率的升高,系统对数幅值与相位均呈下降的趋势,所以必有L((’g)<(10.6dB,即L’h>10.6dB,满足设计要求。
幅值裕量的验证也可通过精确的坐标系直接判断,见图6.3。
比较校正前后系统的性能,有
(1)滞后校正装置的负斜率段压缩了系统开环对数幅频特性的中频段,使穿越频率由-40dB/dec变为-20dB/dec,系统的幅值穿越频率(c由2.16rad/s左移到0.5rad/s,利用系统本身的相频特性使系统稳定,并具有40°的相位裕量与足够的幅值裕量。
(2)不影响系统的低频段,不改变系统的稳态精度。
(4)高频段对数幅值下降,抗干扰性能有所提高。
总的来说,系统串联滞后校正装置后,在保证稳态性能的前提下,改善了动态性能。
6.15原系统的开环传递函数为
,采用串联校正,期望校正以后的开环幅频特性曲线L(()如图6.10所示。试求:
(1)在原图上绘制所需校正装置的伯德图Lc((),求出此装置的传递函数Gc(s),并说明该装置的类型。
(2)简要说明系统校正前后性能的变化。
解:
(1)
方法一:绘制系统校正前的频率特性,如图6.11 Lo (()所示。根据
Lc(()= L(()( Lo(()
绘制系统所需校正装置的伯德图Lc((),见图6.11,可见所需装置为超前校正装置,其传递函数Gc(s)的求取过程如下:
校正装置低频段与0dB线重合,斜率为0dB/dec,推出传递系数为
K=1
确定各典型环节:
第一个转折点
=2.2rad/s,斜率增加20db/dec,有一个积分环节
;
第三个转折点
=8.8rad/s 斜率减小20dB/dec,,有一个惯性环节
。
因此,校正装置的传递函数Gc(s)为
方法二:根据图6.10所示系统校正后的期望特性L((),推出系统校正后的开环传递函数为
故所需校正装置为
(2)系统校正前,幅值穿越频率为
(c=1020/40=3.16rad/s
相位裕量为
串联超前校正装置后,开环对数幅频特性的中频段抬高,幅值穿越频率右移,增加了带宽,快速性改善;相位裕量
明显增加,系统稳定性改善;高频段对数幅值上升,抗干扰性下降。
第7章 非线性控制系统
7.1 求下列方程的奇点,并确定奇点的类型。
(1)
(2)
解:(1)
由题得:
式中
为解析函数。若以x为自变量,
为因变量,则上式可改写为
考虑到
,因此有
根据奇点的定义
,列方程组为
得到系统的奇点为
即奇点在坐标原点。在奇点(0,0)处,将
进行泰勒级数展开,保留一次项有
奇点附近线性化方程为
其特征方程为
特征根为
为s平面的右半部分的共轭复数根,故奇点为不稳定焦点。概略画出奇点附近的相轨迹如图7(a)所示:
(2)由题得:
由
得到
即奇点为(0,0)和(-1,0)。
1)在奇点(0,0)处,将
进行泰勒级数展开,保留一次项有
奇点(0,0)附近线性化方程为:
其特征方程为
特征根为:
为s平面的右半部分的共轭复数根,故奇点(0,0)为不稳定焦点。
2)在奇点(-1,0)处,将
进行泰勒级数展开,保留一次项有
在奇点(-1,0)处,进行坐标变换,令
,则
,
。即
坐标系的奇点(-1,0),变换为
坐标系下的奇点(0,0)。因此有
其特征方程为
特征根为:
为一正一负的两个实数根,故
坐标系下的奇点(-1,0)为鞍点。
概略画出奇点附近的相轨迹如图7(b)所示:
7.3 系统结构图如图7.71,设系统初始条件是静止状态,试绘制相轨迹图。系统输入为
(1)
,
解:(1)
非线性特性的数学表达式为
由结构图可知线性部分的传递函数为:
由此可得线性部分的微分方程为:
由比较环节:
,上式又可以写成
输入信号为阶跃函数,当
时,
,因此系统的微分方程为
根据已知的非线性特性,开关线
将相平面分为正饱和区II、线性区I、负饱和区III三个线性区域。
1)Ⅰ区(线性区):系统的微分方程为
SHAPE \* MERGEFORMAT
将代入上式,求得Ⅰ区相轨迹的斜率方程为
以
及
代入上式,得到
这说明相平面
的原点(0,0)为I区相轨迹的奇点,该奇点因位于I区内,故为实奇点。线性区I区的特征方程及特征值分别为
若
,则系统在I区工作于欠阻尼状态,这时奇点(0,0)为稳定焦点;若
,则系统在I区工作于过阻尼状态,这时的奇点(0,0)为稳定结点。为方便讨论奇点的性质及绘制相平面图,以下分析假定
。
若记等倾线斜率为
,则I区的等倾线方程为
当
时,该区的相轨迹是一簇螺旋线,收敛于相平面原点,如图解7-8(a)所示。当
时,该区的对应的相轨迹是一簇趋向相平面原点的抛物线。
2)Ⅱ、Ⅲ区(饱和区):系统的微分方程为
由微分方程知,系统没有奇点,但有渐近线。将
代入上式,求得Ⅱ、Ⅲ区相轨迹的斜率方程为
若记等倾线斜率为
,则分别求得II、III区的等倾线方程为
相轨迹方程为
常数,即等倾线斜率均为0。当相轨迹斜率
与等倾线斜率相等,即
时,直线
(II区)
(III区)
分别为II、III区内
的等倾线。由于II区的全部相轨迹均渐近于
,III区的全部相轨迹均渐近于
,故称
的两条等倾线为相轨迹的渐近线。
由此应用等倾线法,在相平面图的II、III区分别绘制的一簇相轨迹如图7.35(b)所示,II、III区相轨迹图对称于坐标原点。
3)非线性系统的相平面图
基于图7.35(a)、(b)将以上各区的相轨迹连接起来,可以绘制非线性系统的完整相轨迹图,见图(c),其中相轨迹的初始点由
来确定。
假使系统原来处于静止状态,则在阶跃输入(
,
)作用时,相轨迹的起始点应为
。此时的非线性系统的完整相平面图如图7-8( d)所示。正负饱和区的相轨迹与理想继电特性的相轨迹相同,但是由饱和点所决定,切换位置提前。由于线性区的奇点性质为稳定焦点,所以最后一次进入I区后,相轨迹不再进入其它工作区,在I区内经有限次衰减振荡后,最终收敛于原点。
从饱和特性的相平面分析可以看到:
(1) 阶跃输入作用时,系统是稳定的,其稳态误差为零。如果系统的固有部分具有良好的阻尼特性,系统最后进入I区后,在超调量、调节时间、振荡次数等方面均良好的动态特性,而且不产生自持振荡。最大超调量可从图中量得,为相轨迹第一次与负实轴的交点坐标的绝对值,而相轨迹绕原点的次数为过渡过程的振荡次数。
(2)饱和点的大小可以决定分区切换次数的多少。饱和点的值大,则线性工作区大, 分区切换次数少,非线性振荡次数少,饱和非线性对系统的影响小。饱和点的值小,则线性工作区范围小,分区切换次数增加,非线性振荡次数增多,饱和非线性对系统的影响就不可忽视。
当
时,I区的相轨迹为收敛于原点的抛物线,其他与
时相同。
7.8 图7.76所示为继电器控制系统的结构图,其线性部分的传递函数为
试确定自持振荡的频率与振幅。
解:带有滞环的继电器特性的描述函数为:
输入为e(t)=Asinωt。已知
,代入上式,则有
写出描述函数的负倒数特性为
由上式可知,
由
时,
,因此
曲线平行于负实轴,且
由
。
由题,线性环节的传递函数为:
将
代入上式,可得其频率特性为:
由于线性环节为0型3阶系统,故
曲线起于正实轴的(10, j0)点,幅值单调减小,沿顺时针方向终止于原点,最终相位为-270(,与正虚轴相切,并由
可求得与负实轴的交点为((0.5, j0)点。
作
曲线和
曲线,交于D点,如图所示。
自右向左移动,与曲线
有交点,从不稳定区域进入系统稳定区域,交点所对应的极限环是稳定的,系统存在自持振荡。
与曲线
交点的求取公式如下:
由于
即:
有
利用MATLAB求解此方程组,指令如下
[a,w] = solve('8/3.14/a*sqrt(1-(1/a)^2) =0.065*w^2-0.1','-8/3.14/a^2=0.005*w^3-0.16*w')
排除负根与复数根,得解为:
即系统有频率
,振幅
的自振。
注:自持振荡的频率和振幅也可通过相对描述函数(又称基准描述函数)
求得,公式如下
即将描述函数中部分非线性参数分离出来,乘到线性部分去,描述函数剩余部分的非线性参数都以相对值
的形式出现,Kn称为非线性特性的尺度函数,
称为负倒相对描述函数。
和
的相互关系,完全对应于
和
的相互关系。负倒相对描述函数
的特点是:把
作为一个变量,则
仅是
的函数,其函数值与非线性特性的特征参数M、a无关。显然,
与
成比例,绘制过程相同,但
的作图过程却比绘制
简单得多。
本题的基准描述函数为
通过
,所求得的系统自振参数与前面的计算结果完全相同。
第8章 离散控制系统的分析和综合
8.1 设时间函数的拉氏变换为
,采样周期Ts=1秒,利用部分分式展开求对应时间函数的z变换
。
(1)
(3)
解 (1)将
展成部分分式
则其
变换为
(3)将
展成部分分式
则其
变换为
8.4 设Ts=0.1秒,对图8.56的结构图。求
。
解 (a)
脉冲传递函数为
将Ts=0.1秒代入,整理得
(b)
系统脉冲传递函数为
将Ts=0.1秒代入,整理得
(c)
,
将Ts=0.1秒代入,整理得
8.5 求图8.57示各系统的
。
解 (a)
整理得
(b)
8.8 确定由下列特征方程表示的数字控制系统的稳定性。
解(3)
将
代入方程作双线性变换得到
整理化简后得
由于
,
,所以该系统不稳定。
8.13 设离散系统如图8.63所示,其中采样周期
,试求当
时,系统无稳态误差、过渡过程在最少拍内结束的
。
解 系统开环脉冲传递函数为
令
可取得
则
图1.8仓库大门自动控制系统
图1.9 仓库大门自动控制系统方框图
关门位置对应的电位
开门位置、
放大器
绞盘
-
ue
实际位置
电动机
大门
给定电位器
测量电位器
B(s)
C(s)
E(s)
R(s)
图2.9 题2.4系统动态结构图
10
� EMBED Equation.3 ���
�
连杆、电位器
图2.10 系统结构图
RLC网络
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
(c)
图2.11 题2.5系统结构图等效过程
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
-== r
� EMBED Equation.3 ���
+
+
+
+
-r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
(b)
图2.11 题2.5系统结构图等效过程
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
-r
(d)
图2.11 题2.5系统结构图等效过程
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
-r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
-r
图2.12 控制系统结构图
RLC网络
+
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
-== r
� EMBED Equation.3 ���
+
+
+
+
� EMBED Equation.3 ���
-r
-r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
(a)
图2.11 题2.5系统结构图等效过程
� EMBED Equation.3 ���
b
� EMBED Equation.3 ���
+== r
-== r
-== r
-r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
(a)
(e)
(d)
(c)
(b)
b
a
a
b
a
图2.13 题2.6(a)系统结构图简化过程
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
-r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
-== r
-r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
+== r
-== r
-== r
-r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
+== r
-== r
-== r
-r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
-r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
+
(a)
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
-r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
(b)
图2.22 题2.10(a)系统结构图等效变换
B== r
连杆、电位器
C== r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
C== r
B== r
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� = 3 \* GB3 �③�== r
� = 2 \* GB3 �②�== r
� = 1 \* GB3 �①�== r
A== r
A== r
� = 3 \* GB3 �③�== r
� = 2 \* GB3 �②�== r
� = 1 \* GB3 �①�== r
(c)
图2.25题2.10(d)系统结构图等效变换
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
+== r
+== r
+== r
� EMBED Equation.3 ���
(d)
-r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
-r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
-r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
(b)
-r
-r
-r
+== r
+== r
+== r
+== r
� EMBED Equation.3 ���
(a)
-r
-r
-r
+== r
+== r
+== r
+== r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
图3.3 加入速度负反馈的系统
图3.4 二阶系统的阶跃响应曲线
图3.5 反馈控制系统
(/ (rad·s-1)
L(()/(dB)
20lg(
((()/(
0
30
60
0
[+20]
(a) (b)
图5.9 题5.4伯德图
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
(/ (rad·s-1)
((()/(
L(()/(dB)
(/ (rad·s-1)
(/ (rad·s-1)
-90
0
0
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
[-20]
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
(m
(m
图5.13 题5.8图
(/ (rad·s-1)
-180
-90
0
1
10
100
300
(a)
图5.14 题5.8系统开环对数相频特性
-270
((()/(°)
(/ (rad·s-1)
-180
-90
0
1
10
100
(b)
-270
((()/(°)
图5.15 题5.8系统开环对数相频特性
(/ (rad·s-1)
-180
0
(c)
((()/(°)
(/ (rad·s-1)
90
45
0
1
10
100
(d)
((()/(°)
5
80
-90
-90
图5.18 题5.10控制系统的开环伯德图
1
-40
10
L(()/dB
100
[-20]
[-40]
(/ (rad·s-1)
0.1
((()/(°)
-180
(/ (rad·s-1)
ωca
[-60]
-270
40
-20
(g
20
1
10
100
0.01
ωcb
K=1
a
K=10
b
3.16
(=39.3(
-Lh= -20dB
((()/(
0.01
-90
-180
(c (()
( (()
( o (()
γ=(22.4(
0
-270
0.1
图6.3 题6.8系统校正前后的伯德图
Lo(()-未校正系统; Lc(()-校正装置; L(()-校正后系统
(o(()-未校正系统; (c(()-校正装置; ((()-校正后系统
L(()/dB
(2=0.1
((c=0.5
Lo(()
LC(()
L(()
-20
0
20
40
1
(c=2.16
[-20]
[-40]
60
2
[-60]
(/ (rad·s-1)
(/ (rad·s-1)
14
0.01
[-20]
[-40]
1
γ(=40(
(L(h
(2
L(()/dB
L(()
10
1
0.1
2.2
4.47
0
20
40
8.8
[-20]
[-20]
[-40]
[-40]
Lo(()-未校正系统,Lc(()-校正装置,L(()-校正后系统
图6.11 题6.15系统校正前后的伯德图
(/ (rad·s-1)
[-40]
Lo(()
LC(()
6
(a) (b)
图7.71 题7.1 奇点附近的相轨迹
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
图7. 5 题7.3含饱和特性的非线性系统相轨迹图
a
(a
a
(a
a
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
(a)
e
(a
� EMBED Equation.DSMT4 ���
(a
a
(a
a