2013年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
1. 填空题(本大题满分36分)本大题共有12题,要求直接填写结果,每题填对得3分,否则一律得0分
1.函数
的定义域是
2.方程
的解是
3.抛物线
的准线方程是
4.函数
的最小正周期是
5.已知向量
,
。若
,则实数
6.函数
的最大值是
7.复数
(
是虚数单位)的模是
8.在
中,角
所对边长分别为
,若
,则
9.在如图所示的正方体
中,异面直线
与
所成角的大小为
10.从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为 (结果用数值
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示)。
11.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前
项和
。
12.36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为
,所以36的所有正约数之和为
参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为
二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的。考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内,选对得3分,否则一律得0分
13.展开式为
的行列式是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
14.设
为函数
的反函数,下列结论正确的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
15.直线
的一个方向向量是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
16.函数
的大致图像是( )
17.如果
,那么下列不等式成立的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
18.若复数
满足
,则
在复数平面上对应的点
( )
(A) 关于
轴对称 (B)关于
轴对称
(C) 关于原点对称 (D)关于直线
对称
19.
的二项展开式中的一项是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
20.既是偶函数又在区间
上单调递减的函数是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
21.若两个球的表面积之比为
,则这两个球的体积之比为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
22.设全集
,下列集合运算结果为
的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
23.已知
,“
”是“函数
的图像恒在
轴上方”的( )
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件
24.已知
为平面内两定点,过该平面内动点
作直线
的垂线,垂足为
.若
,其中
为常数,则动点
的轨迹不可能是( )
(A)圆 (B) 椭圆 (C) 抛物线 (D)双曲线
三、解答题(本大题满分78分)本大题共有7题,解答下列各题必须写出必要的步骤
25.(本题满分7分)
如图,在正三棱锥
中,
,异面直线
与
所成角的大小为
,求该三棱柱的体积。
26.(本题满分7分)
如图,某校有一块形如直角三角形
的空地,其中
为直角,
长
米,
长
米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且
为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积。
27.(本题满分8分)
已知数列
的前
项和为
,数列
满足
,求
。
28.(本题满分13分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分
已知椭圆
的两个焦点分别为
、
,短轴的两个端点分别为
(1)若
为等边三角形,求椭圆
的方程;
(2)若椭圆
的短轴长为
,过点
的直线
与椭圆
相交于
两点,且
,求直线
的方程。
29.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分
已知抛物线
的焦点为
。
(1)点
满足
。当点
在抛物线
上运动时,求动点
的轨迹方程;
(2)在
轴上是否存在点
,使得点
关于直线
的对称点在抛物线
上?如果存在,求所有满足条件的点
的坐标;如果不存在,请说明理由。
30.(本题满分13分)本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分
在平面直角坐标系
中,点
在
轴正半轴上,点
在
轴上,其横坐标为
,且
是首项为1、公比为2的等比数列,记
,
。
(1)若
,求点
的坐标;
(2)若点
的坐标为
,求
的最大值及相应
的值。
31.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分,第3小题满分6分
已知真命题:“函数
的图像关于点
成中心对称图形”的充要条件为“函数
是奇函数”。[来源:学§科§网Z§X§X§K]
(1)将函数
的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数
图像对称中心的坐标;
(2)求函数
图像对称中心的坐标;
(3)已知命题:“函数
的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数
是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明)。
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参考答案
一.(第1至12题)每一题正确的给3分,否则一律得0分
1.
2.3 3.
4.
5.
6. 5
7.
8. 7 9.
10.
11.
12. 4836
二.(第13至24题)每一题正确的给3分,否则一律得0分
13.B 14.B 15.D 16.A 17.D 18.A 19.C 20.B 21.C 22.A 23.D 24.C
三.(第25至31题)
25.[解]因为
.
所以
为异面直线
与
.所成的角,即
=
。
在Rt
中,
,
从而
,
因此该三棱柱的体积为
.
26.[解]如图,设矩形为
,
长为
米,其中
,
健身房占地面积为
平方米。因为
∽
,
以
,
,求得
,
从而
EMBED Equation.DSMT4 ,
当且仅当
时,等号成立。
答:该健身房的最大占地面积为500平方米。
27.[解]当
时,
。
且
,所以
EMBED Equation.DSMT4 。
因为
,所以数列
是首项为1、公比为
的无穷等比数列。
故
EMBED Equation.DSMT4 。
28.[解](1)设椭圆
的方程为
。
根据题意知
, 解得
,
故椭圆
的方程为
。
(2)容易求得椭圆
的方程为
。
当直线
的斜率不存在时,其方程为
,不符合题意;
当直线
的斜率存在时,设直线
的方程为
。
由
得
。
设
,则
因为
,所以
,即
,
解得
,即
。
故直线
的方程为
或
。
29.(1)设动点
的坐标为
,点
的坐标为
,则
,
因为
的坐标为
,所以
,
由
得
。
即
解得
代入
,得到动点
的轨迹方程为
。
(2)设点
的坐标为
.点
关于直线
的对称点为
,
则
解得
若
在
上,将
的坐标代入
,得
,即
或
。
所以存在满足题意的点
,其坐标为
和
。
30.[解](1)设
,根据题意,
。由
,知
,
而
,
所以
,解得
或
。
故点
的坐标为
或
。
(2)由题意,点
的坐标为
,
。
。
因为
,所以
,
当且仅当
,即
时等号成立。
易知
在
上为增函数,
因此,当
时,
最大,其最大值为
。
31.(1)平移后图像对应的函数解析式为
,
整理得
,
由于函数
是奇函数,
由题设真命题知,函数
图像对称中心的坐标是
。
(2)设
的对称中心为
,由题设知函数
是奇函数。
设
则
,即
。
由不等式
的解集关于原点对称,得
。
此时
。
任取
,由
,得
,
所以函数
图像对称中心的坐标是
。
(3)此命题是假命题。
举反例说明:函数
的图像关于直线
成轴对称图像,但是对任意实数
和
,函数
,即
总不是偶函数。
修改后的真命题:
“函数
的图像关于直线
成轴对称图像”的充要条件是“函数
是偶函数”。
B
A
C
D
A1
B1
C1
D1
D
y
x
0
C
y
x
0
A
B
y
x
0
y
x
0
B
C
A
C1
A1
B1
C
B
A
P2
0
x
y
A
P1
P3
P4
E
P
F
C
B
A
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