物理光学与应用光学(第二版)课件第四章

nullnull第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性4.1 晶体的光学各向异性 4.2 理想单色平面光波在晶体中的传播 4.3 平面光波在晶体界面上的反射和折射 4.4 晶体光学元件 4.5 晶体的偏光干涉 例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 null4.1 晶体的光学各向异性 4.1.1 张量的基础知识 1. 张量的概念 张量是使一个矢量与一个或多个其它矢量相关联的量。例如，矢量p与矢量q有关，则其一般关系应为 (4.1 - 1) p＝T·qnull式中，T是关联p和q的二阶张量。在直角坐标系O-x1x2x3中，上式可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为矩阵形式 (4.1 - 2) 式中，三个矩阵分别表示矢量p、二阶张量T和矢量q。二阶张量有9个分量， 每个分量都与一对坐标(按一定顺序)相关。(4.1-1)式的分量表示式为 null(4.1 - 3) 其一般分量形式为 (4.1 - 4) 按照爱因斯坦求和 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf ：若在同一项中下标重复两次，则可自动地按该下标求和，将上式简化为  pi=Tijqj i,j=1, 2, 3 　　　　(4.1 - 5) 由上述讨论可以看出，如果T是张量，则p矢量的某坐标分量不仅与q矢量的同一坐标分量有关， 还与其另外两个分量有关。 null　　如果矢量p与两个矢量u和v相关，则其一般关系式为 (4.1-6)分量表示式为 pi=Tijkujvk i, j, k=1, 2, 3 (4.1-7)式中，uv为并矢；T为三阶张量，包含 27 个分量，其矩阵形式为 (4.1-8) null 实际上，一个标量可以看做是一个零阶张量，一个矢量可以看做是一个一阶张量。从分量的标记 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 看， 标量无下标， 矢量有一个下标，二阶张量有两个下标，三阶张量有三个下标。 因此， 下标的数目等于张量的阶数。 null(4.1-9) null其分量表示形式为 i, j, k, l=1, 2, 3 (4.1-10) 这就是张量变换定律。如果用张量的新坐标分量表示原坐标分量，可通过逆变换得到 (4.1-11) 如果考虑的是矢量，则新坐标系中的矢量表示式A′与原坐标系中的表示式A间的矩阵变换关系为 (4.1-12) null其分量变换 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 为 i, j=1, 2, 3 (4.1-13) null 3. 对称张量 一个二阶张量［Tij］，如果其Tij=Tji，则称为对称张量，它只有六个独立分量。与任何二次曲面一样，二阶对称张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有三个对角分量非零，为对角化张量。于是，当坐标系进行主轴变换时， 二阶对称张量即可对角化。例如，某一对称张量 null最后应指出，张量与矩阵是有区别的，张量代表一种物理量， 因此在坐标变换时，改变的只是表示方式，其物理量本身并不变化，而矩阵则只有数学意义。因此，有时把张量写在方括号内， 把矩阵写在圆括号内，以示区别。 null4.1.2 晶体的介电张量 　　由电磁场理论已知，介电常数ε是表征介质电学特性的参量。在各向同性介质中，电位移矢量D与电场矢量E满足如下关系： 在此，介电常数ε=ε0εr是标量，电位移矢量D与电场矢量E的方向相同，即D矢量的每个分量只与E矢量的相应分量线性相关。 对于各向异性介质(例如晶体)，D和E间的关系为 (4.1 - 15) (4.1 - 14) null介电常数 是二阶张量。 (4.1-14)式的分量形式为 i, j=1, 2, 3(4.1-16) 即电位移矢量D的每个分量均与电场矢量E的各个分量线性相关。 在一般情况下，D与E的方向不相同。 　　又由光的电磁理论，晶体的介电张量e是一个对称张量， 因此它有六个独立分量。 经主轴变换后的介电张量是对角张量， 只有三个非零的对角分量， 为 (4.1-17) nullε11, ε22, ε33(或经常表示为e1、e2、e3) 称为主介电系数。由麦克斯韦关系式 还可以相应地定义三个主折射率n1, n2,n3。在主轴坐标系中，(4.1-16)式可表示为 (4.1-19) (4.1-18) null 进一步，由固体物理学知道，不同晶体的结构具有不同的空间对称性，自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同，分为七大晶系：立方晶系、四方晶系、六方晶系、三方晶系、 正方晶系、单斜晶系、三斜晶系。由于它们的对称性不同， 所以在主轴坐标系中介电张量的独立分量数目不同，各晶系的介电张量矩阵形式如表 4 - 1所示。由该表可见，三斜、单斜和正交晶系中，主相对介电系数ε1≠ε2≠ε3,这几类晶体在光学上称为双轴晶体；三方、四方、六方晶系中，主相对介电系数ε1=ε2≠ε3,这几类晶体在光学上称为单轴晶体；立方晶系在光学上是各向同性的，其主相对介电系数ε1=ε2=ε3。 null表 4 - 1 各晶系的介电张量矩阵 null4.2 理想单色平面光波在晶体中的传播 4.2.1 光在晶体中传播特性的解析法描述 根据光的电磁理论， 光在晶体中的传播特性仍然由麦克斯韦方程组描述。 1. 麦克斯韦方程组 在均匀、不导电、非磁性的各向异性介质(晶体)中， 若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为 (4.2 - 1) (4.2 - 2) null(4.2-3) (4.2-4) 物质方程为 (4.2-5) (4.2-6) 　　为简单起见，我们只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性。 这样处理，可不考虑介质的色散特性，同时，对于任意复杂的光波，因为光场可以通过傅里叶变换分解为许多不同频率的单色平面光波的叠加， 所以也不失其普遍性。 null　　2. 光波在晶体中传播特性的一般描述 　　1) 单色平面光波在晶体中的传播特性 　　(1) 晶体中光电磁波的结构 设晶体中传播的单色平面光波为 (4.2-7) null由这些关系式可以看出： 　　① D垂直于H和k，H垂直于E和k，所以H垂直于E、D、k， 因此，E、D、k在垂直于H的同一平面内。并且，在一般情况下， D和E不在同一方向上。 null　　② 由能流密度的定义 S=E×H 可见，H垂直于E和s(能流方向上的单位矢量)，故E、D、s、k同在一个平面上，并且在一般情况下，s和k的方向不同，其间夹角与E和D之间的夹角相同(图 4-1)。 　　由此，我们可以得到一个重要结论：在晶体中，光的能量传播方向通常与光波法线方向不同。 　　(2) 能量密度　根据电磁能量密度公式及(4.2-8)式、(4.2-9)式， 有 (4.2-12) (4.2-13) null图 4-1 平面光波的电磁结构null于是， 总电磁能量密度为 (4.2-15) 对于各向同性介质，因s与k同方向，所以有 (4.2-14) (4.2-16) null　　(3) 相速度和光线速度　相速度vp是光波等相位面的传播速度，其表示式为 (4.2 - 17) 光线速度vr是单色光波能量的传播速度，其方向为能流密度(玻印廷矢量)的方向s，大小等于单位时间内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量除以能量密度，即 (4.2 - 18) 由(4.2-15)～(4.2-18)式可以得到 (4.2 - 19) 即如图 4-2 所示，单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方向上的投影。 null图 4-2　vp与vr的关系 (AB表示波阵面) null　　2) 光波在晶体中传播特性的描述 　　(1) 晶体光学的基本方程 由麦克斯韦方程组出发，将(4.2-8)和(4.2-9)式的H消去，可以得到 再利用矢量恒等式 A×(B×C)=B(A·C)-C(A·B) 变换为 D=ε0n2［E-k(k·E)］ (4.2- 20) null式中，方括号［E-k(k·E)］所表示的量实际上是E在垂直于k(即平行于D)方向上的分量，记为E⊥(图4-3)。由此，(4.2-20)式可以写成 D=ε0n2E⊥ 　　我们还可以将(4.2-20)式、(4.2-21)式写成如下所述的另外　一种形式。 　　因为 E⊥=E cosα 所以 (4.2 - 22) (4.2 - 23) (4.2 - 21) null图 4-3 E⊥和D⊥的定义 null根据折射率的定义 可以在形式上定义“光线折射率”(或射线折射率、 能流折射率)nr: (4.2 - 25) 由此可将(4.2-23)式表示为 (4.2 - 26) (4.2 - 27) (4.2 - 24) 或null　　(2) 菲涅耳方程　为了考察晶体的光学特性，我们选取主轴坐标系，因而物质方程为 Di=ε0εiEi i=1, 2, 3 　　① 波法线菲涅耳方程(波法线方程)。将基本方程(4.2-20)式写成分量形式 Di=ε0n2［Ei-ki(k·E)］ i=1, 2, 3 　　 (4.2-29) 并代入Di～Ｅi关系，经过整理可得 (4.2-30)(4.2-28)null由于D·k=0， 因而有 将(4.2-30)式代入后， 得到 (4.2-31) 该式描述了在晶体中传播的光波法线方向k与相应的折射率n和晶体光学参量(主介电张量) e 之间的关系。 null　　(4.2-31)式还可表示为另外一种形式。根据vp=c/n，可以定义三个描述晶体光学性质的主速度： 它们实际上分别是光波场沿三个主轴方向x1，x2，x3的相速度。由此可将(4.2-31)式变换为 (4.2-33) (4.2-32) null　　在由(4.2-31)、(4.2-33)式得到与每一个波法线方向k相应的折射率或相速度后，为了确定与波法线方向k相应的光波D和E的振动方向，可将(4.2-30)式展开 (4.2-34) 将由(4.2-31)式解出的两个折射率值n′和n″分别代入(4.2-34) 式，即可求出相应的两组比值　　　　　　和　　　　　　，从而可以确定出与n′和n″分别对应的E′和E″的方向。再由物质方程的分量关系求出相应的两组比值　　　　　　和 　　　　　　，从而可以确定出与n′和n″分别对应的D′和D″的方向。由于相应于E′、E″及D′、D″的比值均为实数，所以E和D都是线偏振的。 null　　进而可以证明，相应于每一个波法线方向k的两个独立折射率n′和n″的电位移矢量D′和D″相互垂直。证明过程如下： 　　利用(4.2-30)式， 建立D′和D″的标量积： nullnull由于(n′)2和(n″)2都是(4.2-31)式的解，所以上式方括号中的第一、三、五项之和为零，第二、四、六项之和也为零。 因此， D′·D″=0 　　由此，可以得到晶体光学性质的又一重要结论：一般情况下，对应于晶体中每一给定的波法线方向k，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，它们的D矢量相互垂直(因而振动面相互垂直)，具有不同的折射率或相速度。 由于E、D、s、k四矢量共面，因而这两个线偏振光有不同的光线方向(s′和s″)和光线速度(vr′ 和vr″ )。通常称这两个线偏振光为相应于给定k方向的两个可以传播的本征模式，其方向关系如图 4-4 所示。 (4.2-35) null图 4-4 与给定的k相应的D、E和s null　　② 光线菲涅耳方程(光线方程)。上面讨论的波法线菲涅耳方程确定了在给定的某个波法线方向k上，特许的两个线偏振光(本征模式)的折射率(或相速度)和偏振态。类似地，也可以得到确定相应于光线方向为s的两个特许线偏振光的光线速度和偏振态的方程——光线菲涅耳方程(射线菲涅耳方程、光线方程)。该方程是由(4.2-27)式出发推导出的，推导过程从略，下面只给出具体结果： (4.2-36) null或 (4.2-37) (4.2-36)式和(4.2-37)式描述了在晶体中传播的光线方向s与相应的 光线折射率nr、光线速度vr和晶体的光学参量e 、主速度v1、 v2、v3之间的关系。 　　类似前面的讨论可以得出如下结论：在给定的晶体中， 相应于每一个光线方向s，只允许有两个特定振动方向的线偏振光(两个本征模式)传播，这两个光的E矢量相互垂直(因而振动面相互垂直)，并且，在一般情况下，有不同的光线速度、不同的波法线方向和不同的折射率。 null　　最后，注意到(4.2-20)式和(4.2-27)式在形式上的相似性， 可以得到如下两行对应的变量： (4.2-38) 如果任何一个关系式在(4.2-38)式关系中某一行的诸量成立，则将该关系式中的各量用(4.2-38)式对应关系中的另一行相应量代替，就可以得到相应的另一个有效的关系式。应用这一规则，(4.2-36)式和(4.2-37)式分别可以由(4.2-31)式和(4.2-33)式直接通过变量代换得出。 并且，无论是根据波法线方程(4.2-31)式、(4.2-33)式，还是根据光线方程(4.2-36)式、(4.2-37)式，都可以同样地完成光在晶体中传播规律的研究。 null　　3. 光在几类特殊晶体中的传播规律 　　上面从麦克斯韦方程组出发，直接推出了光波在晶体中传播的各向异性特性，并未涉及具体晶体的光学性质。下面， 结合几类特殊晶体的具体光学特性，从晶体光学的基本方程出发， 讨论光波在其中传播的具体规律。 　　1) 各向同性介质或立方晶体 　　各向同性介质或立方晶体的主介电系数ε1=ε2=ε3=n02。 　　根据前面讨论的有关确定晶体中光波传播特性的思路， 将波法线菲涅耳方程(4.2-31)式通分、整理, 得到 null代入ε1=ε2=ε3=n20，并注意到k21+k22+k23=1，该式简化为 (4.2-39) 由此得到重根 n′=n″=n0。这就是说，在各向同性介质或立方晶体中，沿任意方向传播的光波折射率都等于主折射率n0 ，或者说，光波折射率与传播方向无关。 进一步，把n′=n″=n0的结果代入(4.2-34)式，可以得到三个完全相同的关系式 k1E1+k2E2+k3E3=0 (4.2-40) null此式即为k·E=0。它表明，光电场矢量E与波法线方向垂直。因此，E平行于D，s平行于k。所以，在各向同性介质或立方 晶体中传播的光波电场结构如图 4-5所示。由于(4.2-40)式只限定了E垂直于k，而对E的方向没有约束，因而在各向同性介质或立方晶体中沿任意方向传播的光波，允许有两个传播速度相同的线性不相关的偏振态(二偏振方向正交)，相应的振动方向不受限制，并不局限于某一特定的方向上。 null图 4-5 各向同性介质中D, E, k, s的关系 null 2) 单轴晶体 单轴晶体的主相对介电系数为 (4.2 - 41) 其中，ne>no的晶体，称为正单轴晶体；ne < no 时，称为负单轴晶体。 　　(1) 两种特许线偏振光波(本征模式)　为讨论方便起见，取k在x2Ox3平面内，并与x3轴夹角为θ，则 k1=0, k2=sinθ, k3=cosθ (4.2 - 42) null将(4.2-41)式和(4.2-42)式的关系代入(4.2-31)式，得到 即 (4.2-43) 该方程有两个解 (4.2-44) (4.2-45) null第一个解n′与光的传播方向无关，与之相应的光波称为寻常光波(正常光波)，简称o光。第二个解n″与光的传播方向有关，随θ变化，相应的光波称为异常光波(非寻常光波、非常光波)， 简称e光。对于e光，当θ=π/2时，n″=ne; 当θ=0 时，n″=no。 可见，当k与x3轴方向一致时，光的传播特性如同在各向同性介质中一样，n′=n″=no，并因此把x3轴这个特殊方向称为光轴。因为在这种晶体中只有x3轴一个方向是光轴，所以称之为单轴晶体。 null 下面确定两种光波的偏振态。 ① 寻常光波。将n=n′=no及k1=0, k2=sinθ, k3=cosθ代入(4.2-34)式， 得到 (4.2-46) 第一式中，因系数为零，所以E1有非零解；第二、 三式中，因系数行列式不等于零，所以是一对不相容的齐次方程，此时，只可能是E2=E3=0。因此，o光的E平行于x1轴，有E=E1i。对于一 般的k方向，o光的E垂直于k与光轴(x3)所决定的平面。又由于D= εon2oE，所以o光的D矢量与E矢量平行。 null　　② 异常光波。 将n=n″及k1=0，k2=sinθ，k3=cosθ代入(4.2-34)式，得到 (4.2-47) 在第一式中，因系数不为零，只可能是E1=0；在第二、三式中，因系数行列式等于零，E2和E3有非零解。可见，e光的E矢量位于x2Ox3平面内。对于一般的k方向，e光的E矢量位于k矢量与光轴(x3)所确定的平面内。同时，由于D1=ε0ε1E1=0，因而D矢量也在x2Ox3平面内，但不与E矢量平行。另外，e光的s矢量、k矢量和光轴共面，但s与k不平行。仅当θ=π/2时，E2=0, E矢量与光轴平行，此时，D∥E, k∥s，相应的折射率为ne。 null　　综上所述，在单轴晶体中，存在两种特许偏振方向的光波(本征模式)：o光和e光。对应于某一波法线方向k有两条光线：o光的光线so和e光的光线se，如图 4-6 所示。这两种光波的E矢量(和D矢量)彼此垂直。对于o光，E矢量和D矢量总是平行，并且垂直于波法线k与光轴所确定的平面；折射率不依赖于k的方向；光线方向so与波法线方向重合。这种特性与光在各向同性介质中的传播特性一样，所以称为寻常光波。对于e光，其折射率随k矢量的方向改变；E矢量与D矢量一般不平行，并且都在波法线k与光轴所确定的平面内，它们与光轴的夹角随着k的方向改变；折射率随k矢量的方向变化；光线方向se与波法线方向不重合。这种特性与光在各向同性介质中的传播特性不一样，所以称为异常光波或非常光波。 null图 4-6　单轴晶体中的o光和e光null (2) e光的波法线方向和光线方向　由上分析已知，单轴晶体中e光波法线方向与光线方向之间存在着一个夹角，通常称为离散角。确定这个角度，对于晶体光学元件的制作和许多应用非常重要。因此，下面对该角度问题进行较详细的讨论。 由光的电磁理论，相应于同一e光光波的E, D, s, k均在垂直于H的同一平面内。若取图4-6中的x3轴为光轴，E, D, s, k均在主截面x2Ox3平面内，k与x3轴的夹角为θ, s与z轴的夹角为j，且所取坐标系为单轴晶体的主轴坐标系， 则有 null因而有 (4.2-49) 根据图4-6中的几何关系，有 (4.2-50) (4.2-48) null将(4.2-49)式中的两个式子相除， 并利用(4.2-50)式， 可得 (4.2-51) 进一步，根据离散角α的定义，应有如下关系： (4.2-52) 将(4.2-51)式代入， 整理可得 (4.2-53) null由该式可见： ① 当θ=0°或 90°，即光波法线方向k平行或垂直于光轴时，α=0。这时，s与k、E与D方向重合。 ②θ<π/2时，对于正单轴晶体，ne>no, α>0，e光的光线较其波法线靠近光轴；对于负单轴晶体，ne no，则称为正单轴晶体(如石英晶体)，折射率椭球是沿着x3轴拉长了的旋转椭球； 若ne< no，则称为负单轴晶体(如方解石晶体)， 折射率椭球是沿着x3轴压扁了的旋转椭球。 null 设晶体内一平面光波的k与x3轴夹角为θ，则过椭球中心作垂直于k的平面Π(k)与椭球的交线必定是一个椭圆(图4-13)。其截线方程可用下述方法得到：由于旋转椭球的x1(x2)轴的任意性， 可以假设(k，x3)面为x2Ox3平面。若建立新的坐标系O-x1′x2′x3′，使x3′轴与k重合， x1′轴与x1轴重合，则x2′轴在x2Ox3平面内。这时，Π(k)截面即为x1′O x2′面，其方程为 (4.2-78) 新旧坐标系的变换关系为(图 4 - 14) null图 4 - 13 单轴晶体折射率椭球作图法 null图 4 - 14 两个坐标系的关系 null将上面关系代入(4.2-77)式，再与(4.2-78)式联立， 就有 经过整理，可得出截线方程为 (4.2-79) 其中 (4.2-80) null或表示为 (4.2-81) null 下面讨论两种特殊情况： ① θ=0 时，k与x3轴重合，这时，ne′=no，中心截面与椭球的截线方程为 这是一个半径为no的圆。可见，沿x3轴方向传播的光波折射率为no ， D矢量的振动方向除与x3轴垂直外，没有其它约束，即沿x3轴方向传播的光可以允许任意偏振方向，且折射率均为no，故x3轴为光轴。因为这类晶体只有一个光轴，所以称为单轴晶体。 (4.2-82) null ② θ=π/2 时，k与x3轴垂直，这时，ne′=ne, e光的D与x3轴平行。中心截面与椭球的截线方程为 (4.2-83) 由于折射率椭球是旋转椭球，x1、x2坐标轴可任意选取，所以包含x3轴的中心截面都可选作x3Ox1平面(或x3Ox2平面)。对于正单轴晶体，e光有最大折射率；而对于负单轴晶体，e光有最小折射率。 运用图 4-12 所示的几何作图法，可以得到D∥E, k∥s。 null (3) 双轴晶体 ① 双轴晶体中的光轴。对于双轴晶体，介电张量的三个主介电系数不相等，即ε1≠ε2≠ε3，因而n1≠n2≠n3，所以折射率椭球方程为 (4.2-84) 若约定n1no，球面内切于椭球；对于负单轴晶体， ne