数理逻辑史节录_王宪钧

数 理 逻 辑 史 节 录 ’ 王 宪 钓 一 、 数浏里公理辑史分期 数理逻辑和一些学科都有密切的联系 。 关于数理逻辑的性质和范围 , 有狭义的理解 , 也 有广义的理解 。 根据广义的理解 , 数理逻辑大致有以下几点特征 。 第一 , 数理逻辑是边缘性的学科 , 在它的范围内 , 逻辑内容和数学的内容时常是交织在 一起的 。 它和数学其它分支 、 计算机科学 、 人工智能及语言学等都有广泛的联系 , 并 日益显 示其重要作用 。 数理逻辑可以分为五个部分 , 即 � 逻辑演算 、 证明论 、 公理集合论 、 递归论 和模型论 。 第二 , ’ 从逻辑角度考虑 , 数理逻辑是研究演绎方法的科学 。 演绎方法包括演绎推理及以 演绎推理为基础的证明和公理方法 。 演绎推理的前提和结论之间有必要联系 , 如果前提真则 结论为真。 演绎推理的对错 以其结构为准则 。 所谓公理方法就是 , 从若干称为公理的命题出发 , 根据一些特定的演绎规则推导出称为定 理的另一些命题 , 从而构成一命题系统 。 这种系统称为公理系统 。 科学的公理系统要满足一 些要求 , 如无矛盾性 �或称一致性 、 协调性 � 和完全性等 。 数理逻辑的内容包括演绎推理的 结构和公理系统的性质 。 除一般公理系统以外 , 数理逻辑着重地研究数学的公理系统 , 如集 合论的公理系统和数学分析的公理系统 。 一 第三 , 在方法方面 , 数理逻辑使用了特制的符号语言并且在不同部分引用了不同程度的 数学方法 。 自然语言中许多词句有歧义且不精炼 。 为了精确地 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达思想并便于推演 , 数理逻辑使用 了特制的表意符号 。 表意符号不是拼音符号 , 一般地一个表意符号可以表示一个概念 , 例如 用“� ”表示 “如果⋯⋯那么⋯⋯ ” 。 其结果是 , 在数理逻辑中可以用公式表达命题 , 如用“甲。 乙 ”表示“如果甲则乙 ” 。 因之可以一目了然 , 便于用数学方法进行推演 。 数理逻辑的不同部分引用了不同的数学方法 , 如初等数论 、 代数方法 、 集合论方法等 。 有的部分所引用的多些或难些 , 另一部分所引用的则少一些或较为浅近 。 引用数学方法最少 的部分为逻辑演算 , 这部分只需用初等数论的方法 , 如变元代入和数学归纳法 。 本文系王宪钧教授所著 《数理逻辑引论》 �将由人民教育出版社出版 � 一书中第三篇的引言和第二 节 , 由本刊编辑部节录 。 —编者 此外 , 随着数理逻辑的进展 , 还出现了一些新方法 , 这些方法是形式化方法 , 算术化方 法 , 以及递归论和模型论的方法等等 。 第四 , 数理逻辑的很大部分 内容已经成长为数学的分支。 从历史发展看 。 十九世纪末至二十世纪初 , 数理逻辑处于用符号语言和简单数学方法来 研究和处理演绎推理的阶段 。 本世纪三十年代以 后 , 适应数学的需要 , 引用了复杂的数学方 法和数学知识 , 数理逻辑 已经能够将演绎方法作数学的处理 , 能够将逻辑问题转换为数学的 问题 , 从而取得了数学的性质 , 并由此迅速进展 , 逐渐成长为数学大家庭的成员 。 在数理逻 辑的五个分支之中 , 逻辑演算部分既包括古典二值外延系统 , 也包括并非由数学的需要而发 展起来的内涵逻辑 、 模态逻辑 、 规范逻辑等等 。 这一部分的数学内容是很少的。 至于其它四 个分支 , 证明论和公理集合论都是以数学理论为其研究对象 , 并且使用了复杂的数学方法 。 递归论起源于证明论所创建的算术化方法 , 从逻辑角度考虑 , 它研究推理的机械性 , 同时 , 它现已发展成为一有丰富内容的数学理论并且在数学的其它分支和计算机科学技术方面都有 重要的应用 。 模型论研究公理系统与其解释即模型之间的关系和构造模型的方法 , 是用代数 和集合论方法的数学理论 。 在 目前数理逻辑已被认为是在数学领域中与代数几何等并列的学 科之一 。 第五 , 数理逻辑的逻辑方面是现代的形式逻辑 。 形式逻辑这名词里的 “形式 ”指的是思维 的结构 。 形式逻辑的传统 内容有三段论和假言推理的理论等等 。 这名词在逻辑历史上公认的 用法只包括演绎法而不包括归纳法 。 形式逻辑是从结构方面研究演绎方法的学科 , , 它在现代 的发展就是数理逻辑的逻辑方面 , 这是逻辑发展的历史事实 。 以上列举了数理逻辑的五个特征 , 根据这些特征 , 我们可以给数理逻辑划出一个约略的 范围 。 狭义 的数理逻辑可 以说是用数学方法研究数学中演绎思维和数学基础 �如无穷问题 � 的学科 。 广义 的数理逻辑则包括一切用特制符号和数学方法来研究处理演绎方法的理论 。 广 义数理逻辑较之狭义数理逻辑多包括了例如逻辑代数 、 内涵逻辑和现代的规范逻辑 、 问答句 逻辑等等 。 广义数理逻辑有时也被称为符号逻辑 。 符号逻辑这名词是在数理逻辑发展的初期 十九世纪八十年代提出的 �� �� 〕年英国逻辑学家文恩 � � � �� �� 。 目前还在继续刊行的 , 历史上 最早出版的数理逻辑专科期刊就是以 “符号逻辑杂志 ” 命名的 , 与此相联系的学会也称为 “符 号逻辑学会 ” 。 我们将采用广义 的理解 。 数理逻辑从十七世纪末叶莱布尼茨起至今 日约有三百年的历史。 对于数理逻辑史如何分 期有不同的看法 , 本文认为以下分期法是可取的 。 第一阶段 。 这是开始用数学方法研究和处理形式逻辑的时期 , 是初始的阶段 。 本阶段从 十七世纪七十年代的莱布尼茨到十九世纪中叶 的布尔以及后期的德摩根 、 施履德等共延续了 约二百年 , 其成果是逻辑代数和关系逻辑 。 第二阶段 。 十九世纪中叶数学科学的发展提出了研究数学思想方法和数学基础问题的必 要性 。 数理逻辑适应数学的需要 , 联系数学实际 , 在六十年的时间内奠定了它的理论基础 , 创建了特有的新方法 , 取得了飞跃的发展 , 成长为一门新学科 。 这阶段可以从四个方面来说 明 。 �� � 集合论的创建 。 在十九世纪七十年代 , 德国数学家康托尔由于婆卜攀匕分 析理论的 需 要 , 创建了集合论 , 奠定了以后发展的基础。 �� � 公理方法的发展 。 公元前约三百年欧几里得的《儿何原本》是一实质公理学 , �� � �年 希尔伯特的《儿何基础》继承了前人的成果少构成了几何的形式公理系统 。 在此时间内也发展 了关于公理方法的逻辑理论 , 用求模型方法论证一组公理的一致性和相互独立性 。 �� � 逻辑演算的建立 。 为了理解数学命题的性质和数学思维的规律 , 从十九世纪七十年 代到二十世纪初期 , 弗雷格 、 皮亚诺和罗素建立了逻辑演算 、 命题,演算和谓词演算 。 逻辑演 算突破了古典形式逻辑的局限性 , 是一个完整的逻辑体系 。 �� � 证明论的提出及其后果。 二十世纪初关于无穷集合的客观性以及如何证明数学存在 的问题 , 在数学家�中引起了严重意见分歧和争论 。 为了保全数学的科学成果 , 希尔伯特于二 十年代提出了他的著名MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1714235141359_0 。 希尔伯特计划要求 , 将数学理论陈述为一形式化的公理系统 , 然后根据他的 “有穷观点” , 用一种不假定实无穷的能行方法来论证这种公理系统的一致性。 这就是所谓的证明论 。 希尔伯特计划推动了直至三十年代末约有十余年时间的集中研究 , 获得了丰富和重大的 结果 。 哥德尔 � � � 年的不完全性定理虽然否定了证明论原来的主要设想 , 但却加深 了对 公 理方法的认识 , 创建了新的数学分支和方法—递归论 。 在此期间之内 , 直观的能行性即机械可计算过程这个概念得到了精确的数学意义 , 并因之而和计算机科学有了密切联系 。 形式语 言系统 , 语法 、 一 语义等这些重要思想也是在此期间内引入的 。 总之 , 数理逻辑 已经成熟 , 它 的理论基础已经奠定 , 成为一门具有丰富内容的学科 。 第三阶段 。 � � � 年前后到七十年代是数理逻辑的发展阶段 。 本阶段数理逻辑的主要 内容 大致可以分为五个方面 � 逻辑演算 、 证明论 、 公理集合论 、 递归论和模型论 。 目前数理逻辑 已成长为数学的分支 , 并与数学的其它分支和计算机科学等有了广泛的联系 , 得到了重要的 结果 。 二二、 集合论的创建 集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论 。 数学里遇到的无穷有 � 无穷过程、 无穷小 和无穷大 。 必须能作数学的处理 , 能进行运算 , 这样的无穷才能算作数学的对象 。 人们对于 无穷的认识经历了很长的过程 。 中国古代和西方希腊时期 , 数学家已接触到了无穷过程和无穷小 , 可是还不能掌握其规 律 , 对它们没有本质的认识 。 十七世纪中叶微积分出现以后 , 由于用到了无穷小增量 , 引起了对无穷小钓 ‘讨论及唯心 主义的攻击。 同时在无穷级数求和问题上也遇到了困难 。 到了十九世纪二十年代 , 哥西 �� �� ��� �� � , � � �一�� �� � 吸收了前人的经验 , 明确了如收敛性 、 极限等许多概念 , 建立了极 限理论 。 极限理论使得人们通过是否收敛 , 对于无穷过程有了本质的认识 , 初步掌握了它的 规律 。 极限论对于无穷小也给与了明确的说明, 即是 , 取值任意小而趋于零的变量 。 但极限 论有其使人遗憾的后果和不足之处 。 既然无穷小有 了明确的解释 , 数学家们就认为这是唯一 的解释 , 从此否定了作为数量的实无穷小 。 直到本世纪六十年代通过模型论的方法 , 既非零 又 非有限数量的无穷小量才又作为科学的数量重新得到肯定 , 并在此基础上建立了非 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 分 析 。 极限理论的令人遗憾 的后果终于得到了纠正 。 不足之处是 , 哥西没有给 出 无 理 数 的定 义 , 没有一个实数系作为极限论的根据 , 因之一个以无理数为极限的无穷序列也就找不到它 的极限 。 这个不足之处直到魏尔斯特思 �� � � �� � �� � � � � , � � � �一� � ! � 、 戴德金 �� , � � � � � �� � , �龄 卜 一 � �� � � 和康托尔 �� � � �� � � , � � � �一 � � � �� 给出无理数定义后才得到完全的解决 。 对 无穷大来说 , 极限论只是简单地把它理解为取值可无限增长的变量 , 对于无穷大数量 , 极限 论没有进一步阐明 。 无穷大数量和集合的研究直到十九世纪七十年代才发展起来 。 十九世纪七十年代前 , 数学分析理论研究要求对不连续函数和连续统有进一步的理解 , 这都牵涉到无穷集合问题 , 当时有一些数学家从事这方面的研究 。 康托尔是第一个获得成熟 结果的 , 可以说是集合论的创建者 。 下面介绍康托尔工作的要点 。 �一 � 无穷集的分类 康托尔对无穷集提出过两种分类标准 。 先提出的第一种分类法 , 他后来在集合论中不再 应用, 我们只作最简要的说明 。 康托尔研究无穷集是从证明“函数展开为三角级数的唯一性 ”开始的 。 他这方面的论文共 有 �� �� , �� � � , � � � � 三篇 。 在 � � ! 论文里他提出了第一种分类法 。 这种分类是以一集合的 导数集的性质为准则的 。 他把无穷集分为二类 。 如一无穷集 � 的高阶导数集皆为无穷 , 例如 � 与 � 之间的有理数 , 则 � 属于第一类 。 贝。。 属。二 。 否、 例如 � 为�� , 一爵参 ·一扒 �⋯ 联系到第一种分类法还要谈到康托尔的无理数理论和康托尔公理 。 定义导数集要用到极 限的概念厂 而极限的存在 又必须以实数系为前提 。 因之他在论文开始时就提出了他的无理数 理论 , 那就是 , 用后来他自称为基本序列 �即哥西序列� 来引入无理数 。 实数系建立以后 , 可知直线上每一点都有对应的实数 , 但是 , 相对于每一实数 , 是否直 线上都有一相应的点 , 这就必须通过公理才能保证 。 康托尔在 � � � � 的论文里提出了 这 个 公 理 , 后来就被称为康托尔公理 。 据此 , 实数集和直线上的点集有了一一对应 , 康托尔后来就 是这样来考察一线段上的点的。 以下介绍康托尔对无穷集的第二种分类法 。 康托尔的第二种分类法在 � � ! 的论文 《关于一切代数 实 数的 一 个 性 质》 里提 出 , 是 以“一一对应 ”为准则的 。 此论文拟证明 � �� 一切代数实数和一切正整数有一一对应 。 �� 一 线段上的实数与正整数没有一一对应 。 关于康托尔做这工作的目的, 有人曾猜想是为了要研究超越数 。 为此 , 英国数学家和数 学史家朱德因 �� � � 玖 �� � � � � �� , �� �一 � � � � � 曾写信问康托尔 。 康托尔于 �� � � 年 � 月 � � 日答复说 � “不记得是为研究超越数。 在 � � � 我从线性连续统是否和一切整数有一一对应这 问题出发 , 而得到不是这 么回事的严格证明。 这是我的出发点 。 ” �朱得 因 《超穷数理论的发 展》, � � � ��� � � � � � � � � � � �� , � � � � , 第�一 � � 页� 康托尔开始时曾估计连续统也是可数的 , 后来才得到以上的结果 。 这篇论文的重要意义在于 � �� � 证明了一切代数数是可数的 。 论文题 目一虽只限于 代数实数 , 实际上证明却包括了一 切代数数。 � � �� � 证明了一线数上的实数不可数 。 �� � 从而也证明了超越数不可数。 �� � 说明了并非一切无穷集都可数 , 无穷集是有区别的 , 有大小的 。 ��� � 应用了一一对应的概念。 上面最后一点是康托尔第二种分类的关键性思想 , 是认识上的一个飞跃 。 对无穷集合来 说 , 如果把一一对应作为是否相等的标准 , 则一个无穷集就会和它 自己的真部分相等 。 这是 和有穷领域里人们的常识以及数学知识“全体大于部分”相矛盾的 。 无穷集可 以和它的真部分 有� 一对应 , 被人发现已久。 从中世纪的普娄克洛 �� �� �� �� � , 到伽利略 , 到莱布尼 茨 , 时 常有人提出 。 哥西也因为正整数和其平方有一一对应而否认实无穷的存在。 捷克数学象波尔 查诺 �� ��� �� �� , �了� �一� � � �� 努力研究无穷 , 遗有专著《无穷之谜》于 � � � �年出版 。 虽然 他坚决承认实无穷 , 也并不把“和真部分一一对应”看作悖论 , 但没有把一一对应当作相等的 标准 , 而是要求还有其它根据 �第 �� 节� 用一一对应作分类标准 , 从而得到重要成果的 , 康 托尔是第一人 , 应该指出, 思想认识上这个飞跃 , 其基础正是康托尔的唯物主义精神 。 原 因 是 , 如果以 “和真部分一一对应”为悖论 , 就必须否认实无穷 。 相反地 , 如果数学实四说明了 实无穷的必要性 , 而实无穷又确实有此特征 , 那么就必须承认这是无穷和有穷的本质差别 , 只有这样才能用一一对应作为对无穷进行分类的标准 。 无穷和有穷本来就是矛盾的两方面 , 我们不能勉强要求无穷具有有穷的一切性质 。 �二 � 多维连续统 发现两个不同的无穷集一自然数集和连续统—以后 , 康托尔 自然会想到是否还有更大的无穷 , 以及平面上所有的点集是否就是那更大的无穷 。 � � � �年他开始考虑这问题 。 朋友 们告诉他 , 把平面映射到线性连续统上 , 这思想是荒诞的 。 因为很明显 , 两个自变元不能归 结为一个 自变元 。 康托尔本人也估计 , 二维连续统不能等于线性连续统 。 经过三年的思索和 探究 , 他终于得到了初步的结果 , 但是和他始料柑反 , 线性连续统和 � 维空间有一一对应 。 � � �年 � 月他写信给戴德金 , 请审阅所得到的证明 � 信 中还说 � “我见到了 , 但我 不 相 信 。 ” 因为这结果似乎是抹煞了维度的区别 。 康托尔的论文于 � � � � 年送到 《柯莱尔杂志》 �� �� ���� �� �� � �� � , 因此文 内容在当时尚难以理解 , 虽经魏尔斯特思推荐 , 终于经过拖延才得 发表 。 论文发表后引起了很大怀疑 。 杜波雷蒙 �� � � �� � � �� � � �� 说它破坏了维度的概念 , 是“违 背常识”的, 是“唯心主义者的虚构” 。 康托尔的老师柯朗尼克 �� � � �� �� ! � �� � � � 一 � � � ! 始 终就是反对的 。 当然这只能说明这些人的偏执和不顾科学事实 。 康托尔的结果是科学的 , 它 不但没有破坏维度概念 , 反而促进了对维度和一一对应关系的研究 。 由于康托尔结果的直接 影响 , 吕洛特 �� � �此 � �� �� � � 年证明了一维连续统不能和二维连续统有连续的一一对应 。 一般的情况待到 �� 年才得到解决 。 �三 �更大的无穷 既然 � 维空间不是更大的无一穷 , 进一步的何题是 , 有没有更大的无穷 , 是否能从 已知的 无穷集根据确凿的数学运算来形成更大的无穷 。 解答这个问题有两个途径 , 一是根据序数理 论从序数集来形成更大的无穷 , 另一途径是用一集合的幕集来形成较原集合为大的无穷 。 康 托尔先用了第一种方法 , 后来又用了第二种方法 。 在此我们也先介绍第一种方法 。 康托尔在《关于无穷线性点集 �五�》� � � � 这篇文章里提出了良序集和序数的概念 。 他说 , 有穷集和无穷集的重要差别在于 � 在有穷集的情况下 , 不论其中元素的顺序如何 , 所得 的序 数相同 � 对无穷集来说 , 由于元素的顺序不同 , 从一无穷集可以形成无穷多个不同的良序集 , 因而得到不同的序数 。 从正整数这个可数无穷集 , 可以形成具有序数 � , 。 � � , 。 � � , ⋯ , � 。 , ⋯ , 。� , 等的无穷多个良序集 。 他引入了 “数类 ”这个概念 。 第一数类是一切有穷序数的类 。 第二数类 则包括其 “权 ” 或基数为可数 �次。� 的超穷序数 。 由此逐步上升可以得到第三数类 , 第四数类 等 。 为了从已给定序数得 出新序数 , 康托尔引入了二个构成原则。 第一构成原则 。 对一已给 定的数 , 可增加一单位 。 如从 。 , 可得 �� � 。 第二构成原则 。 给定任一有特定顺序 , 但其 中无最大元素的集合 , 可 以作为原集合的极限或后继者而得一新数 。 例如 , 从已给定有穷序 数的集合 � � , � , � , ⋯ , � , ⋯ , 可得 。 。 根据这两个原则, 从 。开始 , 我们可构成无穷多 个序数 , 如 。 , 。 � � ⋯ , � � � �� � � �� � 一 � � ⋯ � � 。 一 , 。 � � � , � , 扩 , 等等 。 相当于这些序数的权都是可数的 。 一切这种序数的集合就是所谓的第二数类 。 然后康 托尔证 明 , 第二数类的权不可数 , 他把这个权记作次 。, 而且第二数类中的序数无最大的 。 因 之根据第二构成原则 , 在这些序数之后又有一新序数。� 。 这是第三数类的始数 。 如此逐步上 升可以得到一系列的始序数 � � 一 � � 一 �� � , 以及其相应的权��� � �� �或基数 次 。, 次 � , 次 , , 等等 。 除了两个构成原则以外 , 康托尔还引入了第兰个原则 , 限制原则 。 限制原则的 目的在 于保证 , 一个新数类的权大于前一数类的权而且是第一个这样大的 。 最后康托尔说 � “用这种方法遵守这三原则 , 人们能够有最大信心和根据来得到一个又一 个的新数类 , 并且得到一切在物质世界和精神世界中出现的不同的逐渐增长的权 。 因之而得 到的新数也和 以前的一样 , 是完全具有同样的明确性和实在性的 。 我确实不知道 , 什么能够 限制我们这种形成新数的活动 , 只要可以说明 , 为了科学的发展 , 引入一个这种无穷的新数 对于研究是需要的或者是不可少的。 ” �四 �康托尔定理 根据序数理论构成了一系列无穷数之后 , 康托尔又利用幕集构成了一个比一个大的集合 和权 。 他在《集合论的一个根本问题》� � � �论文里用对角线法证明了 � �� 没有最大的权 , 即是 , 给定任一 集 合 � , 总 有 另 一集 合 � , 其 权 较 � 之 权 为 强 。 ��� �一切只取 � 或 � 为值的单值实变函数 � ��� � 尸� 匕� 兰 �� 的权大于线性连续统自钾仪。 如果把这类函数的权记作� , 把线性连续统的权记作 � , 则有 �� �。 康托尔在 �� 给戴德金信中说 , �的� 论文里的结果可以用以下公式表达 �� � � 其中 � 为某一集合的权 。 这就是所谓的康托尔定理 。 定理说 � 一集合的一切子集合所构成的 集合 , 亦即一集合的幂集 , 其权较原集合的权为大 。 给定一集合 , 我们可以通过其幂集来形 成一更大的集合 � 给定一权 , 我们可以得到一更大的权 。 因之 , 没有最大的集合 , 也没有最 大的权。 给定一集合 � , 现把 � 的子集所构成 的集合记作 �� , 我们有下列一系列一个比 一个大的集合 � , �� , � �� , 如 � 的权为 � , 其相应的一个比一个大的权为 � , � � , � � � , ⋯ 。 等。 以上是用幂集来构成更大的集合和更大的权的办法 。 至此 , 我们有了两个系列的权或无 穷基数 。 第一系列 � 次。, 次 � , 次广· 第二系列 � 次。, , 次。�二�� , � 泛� � ⋯。 次。和 � 之间是杏还有一无穷数 , 或者说 , 翻“是否就等于次 , 这就是连续统假设问题 。 联系到康托尔定理 , 他还讲到了不协调的系统 。 既然没有最大的集 , 当然不能有包括一 切集合的集合 。 根据康托尔定理 , 如承认有包括一切集合的集合 , 就必然导致矛盾。 因之可 以说 , 这所谓“包括一切集合的集合”实在不是一个集合 。 康托尔在我们上文所说的那封信里 说 � “⋯有一些多数体 ��� � �� �� � , 它们并不是统一体 , 这就是说 � 它们是这样的多数体 , 在其 中 , 一个真正的 ‘一切元素的共存 , 是不可能的。 我把这些叫作 ‘不协调的系统 , , 其它的我叫 作 ‘集合 , 。 ” �《康托尔全集》, 第 �� � 页� �五 � 良序定理 连续统假设 两个无穷集是否常能比较 , 这是集合论里一个根本问题 。 凡良序集都能比较 , 因之如一 切集合都能 良序 , 则一切集合都能比较 。 良序定理说 , 每一集合都能良序 。康托尔在 � � � � 年 就见到了良序定理的重要性 , 他在《关于无穷线性点集 �五�》那篇论文里说 � “良序集这概念对 于全部集合论是根本的 。 每一确定的集合总可以作成一 良序集 , 我认为这是一个带有根本性 的 , 内容丰富的, 由于其普遍有效而特别值得注意的思维规律 。 我将在以后的一篇论文里讲 至少仑。�� 《康托尔全集》� 第 � �� 页、 康托尔没有履行他的诺言 , 他后来没有给出一个良序定理的证明 。 关于连续统假设 , 康托尔在 � � � � 的论文结尾处作为一个估计首次讲到 。 � � � � 年心关于无 穷线性点集 �五�》中, 他在讲到线性连续统的权时说 � “我希望 , 不久就能够有一个严格的证 明来解答, 那所寻求的权不是别的 , 正是我们的第二数类的权 。 ” 仅康托尔全集》, 第 � �� 页� 他在《关于无穷线性点集 �六�》文 中说 , 连续统假设是可证的 。 据康托尔的传记作者们说 , 他在 � �� � 年夏秋都曾经试图解决此间题 , 但没有成功 ‘ �六 �实无穷与潜无穷 实无穷问题是数学基础的一个根本问题 。 有关实无穷的各种问题在一段时期内又扣于数理 逻辑的发展起了主导的作用 。 实无穷论者认为 , 无穷 �在数学中表现为无穷集� 是一个现实的 , 完成的 , 存在着的整 体 , 是可以认识的 。 潜无穷论者否认实无穷 , 认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是 无穷的 , 无穷只是潜在的 。 康托尔集合论于十九世纪七十年代开始提出 , 当时多数数学家还是潜无穷论者 。 康托尔 集合论以无穷集为对象 , 肯定了作为完成整体的实无穷 , 当然会遭到反对和攻击 。 他在 《关 于无穷线性点集 �五�》的单行本 , 书名为《集合通论基础 , 无穷理论的数学和哲学的探讨》�� � � 的序言中说 � “我很了解 , 这样作 , 我正使 自己对立于广泛流传的关于数学无穷 的观 点, 也 使 自己对立于 目前流行的关于数的性质的意见 。 ” 但是他表示 , 他“不只是希望而且是有坚定 信心 ” , 他的工作经过一定时间 , 将被认为是“简单 的 , 合适的并且是 自然的 ” 。 康托尔的著作遭到了一些数学家和哲学家的批评和攻击 。 数学家中攻击最强烈的是他的 老师柯朗尼克 。 柯朗尼克是一个有穷论者和构造论者 。 他反对任何 自然数的无穷体系 , 他不 承认无理数 , 说是根本“不存在 ” 。 他不只是说集合论没有意义 , 也反对函数论 。 他常和魏尔 斯特思辩论 , 讥笑魏的工作说 , “有趣 , 可惜不是数学 。 ”柯朗尼克 � � � � 年甚至在柏林大学学 生前公开地批评康托尔 , 这在当时被认为是很不公平和不恰当的 。 为了解决一些理论问题 , 为了答复这些人的批评和攻击 , 康托尔作 了大量工作 。 在康托 尔的著作和通信中 , 理论和哲学的讨论占了不少篇幅 。 其中内容很多 , 现只就有关实无穷问 题的讨论概括地介绍康托尔的观点如下 � � � �数学理论必须肯定实无穷。 �甲�康托尔认为 , 数学证明中应用实无穷 �无穷集合� 由来已久 , 是不可避免的 。 后来 �� 数学家们 , 如拉格朗 日 �� � � � � � � � � � � , � � � �一 � � � �� 、 勒让德 、� ‘ � � � � � � � � � � , � � �一 � � � � � 、 狄黎席勒 �� � � � � � � �� �� � �� � , �� �一2859) 、 哥西 、 魏尔斯特思 、 波尔查诺等人在证 明中都用 。 康托尔曾举一复杂的证明为例 (《康托尔全集》, 第210 一212 页) , 简略地说是 , 如 把一无穷点集分为有穷个子集 , 其中必有一个为无穷点集 。 ( 乙)康托尔在 1886 年给维万提 (V iv 会nt i) 的信 (《康托尔全集》, 第 41 0 页) 中说 , 实无 穷必须肯定 。 因为 , ( 一)无理数的建立必须以这样或那样的实无穷为基础 。 戴德金切或康托 尔的基本序列都假定实无穷 。 ( 二)承认作为变量的潜无穷必然要承认实无穷 。 变量如能取无 穷多个值 , 就要有一个从其中取值的“域 ” 。 这个域必然是一个实无穷 , 而且应该先行给定不 能再是变化的 。 这才能有固定的基础 。 (丙)康托尔在1886年给奥伦贝 (E ul en b erg) 信 ((( 康托尔全集》, 第 4 00 页)中给出了几个实 无穷的例证 。 这些是 , ( 一 )一切正整数 , ( 二)圆周上的一切点 , ( 三)一切作为物体组成部分 的单子 。 (丁)康托尔在早年 18 83的一篇论文里说出了他的体会 。 他说 , 把无穷大不只是作为无限 增长的量 , 而是以完成 的无穷的形式犷 数学地通过数量来确定下来 , 这种思想韶我是经过多年 科学上的努力和研究 , 儿乎违背我的意愿⋯⋯ , 逻辑地被迫承认的 。 ” ( 2 ) 不能把有穷所具有的性质强加于无穷 , 无穷有其固有的本质 。 1 8 8 5 年 11 月康托尔给信埃奈斯特姆(Ene st ro m )讨论实无穷问题 , 此信的部分内容后来 作为《论对实无穷的各种观点》论文发表 。 信中在讲到高斯 (C . F . G au ss , 1 7 7 7 一1855) 、 哥西 和莱布尼茨等人之后 , 康托尔说 , 这些人的反对意见实在是一种逻辑上的预期理由 。 一切关 子“实无穷不可能” 的所谓证明都是错误的 , 其原因在于 “⋯这些证明一开始就期望那些数要 具有有穷数的一切性质 , 或者甚至于把有穷数的性质强加于无穷 。 可是相反 , 这些无穷数 , 如果它们能够以任何形式被理解的话 , 倒是由于它们和有穷数的对立 , 它们必须具有完全新 的数量特征 , 这些性质完全依赖于事物的本性 , ⋯⋯ , 而并非来 自我们的主观任意性或我们 的偏见 。” (《康托尔全集》第 371 页)康托尔在这里没有说 , 那完全新的数量的特征是什么 。 · 他 当然会想到 , “与本身的真部分有一一对应” , “权相同的两个无穷序集的序数可不相同” , 以及 加祛和乘法运算对序数一般不交换 , 等等 。 ( 3 ) 有穷的认识能力可以认识无穷, 哲学的无穷和数学的无穷 。 数学家以外 , 还有哲学家和神学家的疑难 。 康托尔在 18 83 论文里讨论了洛 .克 、 斯 一宾 诺 莎 、 莱布尼茨的观点 。 康托尔认为 , 这些人的思想虽有很多不同之处 , 但在无穷问题上 , 以 下看法基本上是一致的 。 这就是 , “有穷性是数的概念的一部分 ;另一方面 , 真正的无穷 , 那 就是上帝 , 是不允许有任何 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 的 。 ”反对实无穷的人还有一个理由是 , 人类认识能力是有限 的 , 人们形成数量的能力只限于有穷 。 康托尔的反驳一方面是有力的和直截了当的 , 另一方面也表现出他对唯心主义和宗教的 调和 。 ( 甲)康托尔说 , 人的认识能力虽然有限 , 却可以认识无穷 。 无穷和有穷一样 , 是可以“通 过确定的 , 明确的 , 彼此不同的数量”来表达和理解的 。 在一定意义下 , 也可以说人们有“无 限的才能” , 一步一步地去形成更大的数类或集合 , 去形成一个比一个更强的权 。 事实上人们 已经认识了无穷 , 康托尔本人的工作就说明了这一点 。 ( 乙)康托尔认为 , 数学一的无穷与哲学的神学的无穷不同。 超穷数可以增添 , 这是数学的 无穷 , 与宗教和上帝无关 。 哲学上的绝对与神学上的上帝都不能被规定, “一切规定 都 是杏 定” , 因之也不能增添 。 他又说 , 人们可以有坚定的信心必然能够认识那“绝对的存在” 。 (本文作者工作单位: 北京大学哲学系)