高考数学一轮复习人教A版立体几何中的向量方法名师公开课省级获奖课件

第八章·第七节第八章　立体几何第八章·第七节第七节　立体几何中的向量 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 第八章·第七节考纲导学1.能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直．2．理解直线的方向向量与平面的法向量．3．能用向量方法解决线面、面面的垂直与平行问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，体会向量方法在立体几何中的作用．4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.第八章·第七节第八章·第七节1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(　　)A．45°　　　　　　　　　B．135°C．45°或135°D．90°第八章·第七节解析：cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(1,1·\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，即〈m，n〉＝45°，其补角为135°.∴两平面所成二面角为45°或135°.答案：C第八章·第七节2．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为(　　)A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2,3)第八章·第七节解析：如图，建立空间直角坐标系O－xyz，令正四棱锥的棱长为2，则A(1，－1,0)，D(－1，－1,0)，S(0,0，eq\r(2))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)，\f(\r(2),2)))，eq\o(SD,\s\up16(→))＝(－1，－1，－eq\r(2))．∴cos〈eq\o(AE,\s\up16(→))，eq\o(SD,\s\up16(→))〉＝eq\f(\o(AE,\s\up16(→))·\o(SD,\s\up16(→)),|\o(AE,\s\up16(→))||\o(SD,\s\up16(→))|)＝－eq\f(\r(3),3).∴AE、SD所成的角的余弦值为eq\f(\r(3),3).答案：C第八章·第七节3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)A．相交B．平行C．垂直D．不能确定第八章·第七节解析：∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，∴eq\o(MB,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1B,\s\up16(→))，eq\o(CN,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up16(→))，∴eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CN,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1B,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(A1B1,\s\up16(→))＋eq\o(B1B,\s\up16(→)))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(B1B,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DA,\s\up16(→)).第八章·第七节答案：B又∵eq\o(CD,\s\up16(→))是平面B1BCC1的法向量，且eq\o(MN,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(B1B,\s\up16(→))＋\o(BC,\s\up16(→))＋\f(2,3)\o(DA,\s\up16(→))))·eq\o(CD,\s\up16(→))＝0，∴eq\o(MN,\s\up16(→))⊥eq\o(CD,\s\up16(→))，即MN∥平面B1BCC1.第八章·第七节4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)第八章·第七节答案：B解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建空间直角坐标系，则C1(0,1,1)，Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，显然eq\o(DA1,\s\up16(→))＝(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量．又eq\o(OC1,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0))，∴点O到平面ABC1D1的距离d＝eq\f(|\o(DA1,\s\up16(→))·\o(OC1,\s\up16(→))|,|\o(DA1,\s\up16(→))|)＝eq\f(|－\f(1,2)|,\r(2))＝eq\f(\r(2),4).第八章·第七节5．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，则m＝__________.解析：∵l∥α，∴l的方向向量与平面α的法向量垂直，即(2，m,1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))＝0.∴2＋eq\f(1,2)m＋2＝0.∴m＝－8.答案：－8第八章·第七节1．两个重要向量(1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有①______个．(2)平面的法向量：直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有②______个，它们是共线向量．第八章·第七节2．直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线l1的方向向量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．如果l1∥l2，那么u1∥u2⇔u1＝λu2⇔③____________________；如果l1⊥l2，那么u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔④____________________.第八章·第七节(2)直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)．若l∥α，则u⊥n⇔u·n＝0⇔⑤______________.若l⊥α，则u∥n⇔u＝kn⇔⑥______________.(3)平面α的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为u2＝(a2，b2，c2)．若α∥β，u1∥u2⇔u1＝ku2⇔(a1，b1，c1)＝⑦__________________；若α⊥β，则u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔⑧______________________.第八章·第七节3．利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角：设a、b分别是两异面直线l1、l2的方向向量，则第八章·第七节(2)求直线与平面所成的角：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ.则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝⑪____________.第八章·第七节(3)求二面角的大小：(Ⅰ)若AB、CD分别是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量eq\o(AB,\s\up16(→))、eq\o(CD,\s\up16(→))的夹角(如图①所示)．(Ⅱ)设n1、n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图②③)．第八章·第七节①　②　③第八章·第七节答案：①无数　②无数　③a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2④a1a2＋b1b2＋c1c2＝0　⑤a1a2＋b1b2＋c1c2＝0⑥a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2　⑦k(a2，b2，c2)　⑧a1a2＋b1b2＋c1c2＝0　⑨eq\f(|a·b|,|a||b|)　⑩eq\f(a·b,|a||b|)　⑪eq\f(|a·n|,|a||n|)第八章·第七节第八章·第七节1．平面α的法向量的求法(1)先在平面α内任找两不共线的向量a和b.(2)设平面α的法向量为n，则n⊥a且n⊥b，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·n＝0,b·n＝0))(3)求出法向量n，n为一组平行向量，不唯一，为了便于运算，我们经常利用这一组平行向量中形式(坐标)最简单的一个．第八章·第七节2．证明直线与直线平行的方法：若直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2⇔v1∥v2，且l1与l2不重合．3．证明直线与平面平行的方法有两种：若直线l的方向向量为v，平面α内的两个不共线向量是v1和v2，平面α的一个法向量为n，则①l∥α⇔存在实数x，y，使v＝xv1＋yv2，且l⊄α；②l∥α⇔v⊥n，且l⊄α.第八章·第七节4．证明平面与平面平行的方法是将问题转化为直线与直线平行或直线与平面平行，然后利用向量方法证明．也可以用如下方法：若平面α的一个法向量为n1，平面β的一个法向量为n2，则α∥β⇔n1∥n2，且α与β不重合．5．证明直线与直线垂直的方法：若直线l1和l2的方向向量为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.第八章·第七节6．证明直线与平面垂直的方法：若直线l的方向向量为v，平面α的一个法向量为n，则l⊥α⇔v∥n.7．证明平面与平面垂直的方法：若平面α的一个法向量为n1，平面β的一个法向量为n2，则α⊥β⇔n1⊥n2.8．利用空间向量证明线面的位置关系时，注意解题步骤要准确、 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，且要做好过渡与转化，如果要证明AB与CD垂直，在证明了eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(CD,\s\up16(→))垂直后，应再说明AB与CD垂直．第八章·第七节9．若异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，它们所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.10．利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：一是分别求出斜线和它在平面内的射影所在直线的方向向量，将问题转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，则其余角就是斜线和平面所成的角，若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则直线l与平面α所成角θ的正弦值为：sinθ＝eq\f(|m·n|,|m|·|n|).第八章·第七节11．利用空间向量求二面角也可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)，即cosθ＝±eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|).利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角．第八章·第七节考点一利用空间向量证明平行与垂直问题例1如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：第八章·第七节(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.第八章·第七节证明：如图建立空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．(1)取AB中点为N，则N(2,0,0)，又C(0,4,0)，D(2,0,2)，∴eq\o(DE,\s\up16(→))＝(－2,4,0)，eq\o(NC,\s\up16(→))＝(－2,4,0)，∴eq\o(DE,\s\up16(→))＝eq\o(NC,\s\up16(→)).∴DE∥NC，又NC在平面ABC内，故DE∥平面ABC.(2)eq\o(B1F,\s\up16(→))＝(－2,2，－4)，eq\o(EF,\s\up16(→))＝(2，－2，－2)，eq\o(AF,\s\up16(→))＝(2,2,0)，第八章·第七节eq\o(B1F,\s\up16(→))·eq\o(EF,\s\up16(→))＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，则eq\o(B1F,\s\up16(→))⊥eq\o(EF,\s\up16(→))，∴B1F⊥EF，∵eq\o(B1F,\s\up16(→))·eq\o(AF,\s\up16(→))＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，∴eq\o(B1F,\s\up16(→))⊥eq\o(AF,\s\up16(→))，即B1F⊥AF.又∵AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF.第八章·第七节【师说点拨】1.用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示．第八章·第七节2．用向量法证垂直问题：(1)证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为0；(2)证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直；(3)证明面面垂直，只需证明两平面的法向量的数量积为0，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．第八章·第七节变式探究1　如图所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC.(1)证明：A1C⊥平面BED；(2)写出平面DA1E的一个法向量．第八章·第七节解析：以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.依题意得，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)，第八章·第七节则eq\o(DE,\s\up16(→))＝(0,2,1)，eq\o(DB,\s\up16(→))＝(2,2,0)，eq\o(A1C,\s\up16(→))＝(－2,2，－4)，eq\o(DA1,\s\up16(→))＝(2,0,4)．(1)因为eq\o(A1C,\s\up16(→))·eq\o(DB,\s\up16(→))＝0，eq\o(A1C,\s\up16(→))·eq\o(DE,\s\up16(→))＝0，故A1C⊥DB，A1C⊥DE.又DB∩DE＝D，所以A1C⊥平面BED.(2)设向量n＝(x，y，z)是平面DA1E的一个法向量，则n⊥eq\o(DE,\s\up16(→))，n⊥eq\o(DA1,\s\up16(→)).第八章·第七节故2y＋z＝0,2x＋4z＝0.令y＝1，则z＝－2，x＝4，n＝(4,1，－2)．第八章·第七节考点二利用空间向量求线线角与线面角例2如图，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．第八章·第七节解析：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D－xyz.则eq\o(DA,\s\up16(→))＝(1,0,0)，eq\o(CC′,\s\up16(→))＝(0,0,1)．连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.第八章·第七节设eq\o(DH,\s\up16(→))＝(m，m,1)(m＞0)，由已知〈eq\o(DH,\s\up16(→))，eq\o(DA,\s\up16(→))〉＝60°，由eq\o(DA,\s\up16(→))·eq\o(DH,\s\up16(→))＝|eq\o(DA,\s\up16(→))||eq\o(DH,\s\up16(→))|cos〈eq\o(DA,\s\up16(→))，eq\o(DH,\s\up16(→))〉，可得2m＝eq\r(2m2＋1).解得m＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\o(DH,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).(1)因为cos〈eq\o(DH,\s\up16(→))，eq\o(CC′,\s\up16(→))〉＝eq\f(\f(\r(2),2)×0＋\f(\r(2),2)×0＋1×1,1×\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以〈eq\o(DH,\s\up16(→))，eq\o(CC′,\s\up16(→))〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.第八章·第七节(2)设DP与平面AA′D′D夹角为θ，平面AA′D′D的一个法向量eq\o(DC,\s\up16(→))＝(0,1,0)．因为sinθ＝|cos〈eq\o(DH,\s\up16(→))，eq\o(DC,\s\up16(→))〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\f(\r(2),2)×0＋\f(\r(2),2)×1＋1×0,1×\r(2))))＝eq\f(1,2)，可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.第八章·第七节【师说点拨】求线线角与线面角时，一般采用空间向量的坐标运算，需注意的是一不要写错点的坐标，二不要忘记角的范围．第八章·第七节变式探究2　如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝eq\f(1,2)AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为(　　)A.eq\f(\r(6),6)　　　　　　　　　B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(2),3)第八章·第七节解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，eq\o(AG,\s\up16(→))＝(a，a,0)，eq\o(AC,\s\up16(→))＝(0,2a,2a)，eq\o(BG,\s\up16(→))＝(a，－a,0)，eq\o(BC,\s\up16(→))＝(0,0,2a)，第八章·第七节答案：C设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1,1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AG,\s\up16(→))·n1＝0,\o(AC,\s\up16(→))·n1＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax1＋ay1＝0,2ay1＋2a＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1,y1＝－1))⇒n1＝(1，－1,1)．sinθ＝eq\f(\o(BG,\s\up16(→))·n1,|\o(BG,\s\up16(→))||n1|)＝eq\f(2a,\r(2)a×\r(3))＝eq\f(\r(6),3).第八章·第七节考点三利用空间向量求二面角及点面距离例3如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A－A1D－B余弦值的大小；(3)求点C到平面A1BD的距离．第八章·第七节解析：(1)取BC中点O，连接AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.第八章·第七节取B1C1中点O1，以O为原点，eq\o(OB,\s\up16(→))、eq\o(OO1,\s\up16(→))、eq\o(OA,\s\up16(→))的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，eq\r(3))，A(0,0，eq\r(3))，B1(1,2,0)，∴eq\o(AB1,\s\up16(→))＝(1,2，－eq\r(3))，eq\o(BD,\s\up16(→))＝(－2,1,0)，eq\o(BA1,\s\up16(→))＝(－1,2，eq\r(3))．∵eq\o(AB1,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝－2＋2＋0＝0，eq\o(AB1,\s\up16(→))·eq\o(BA1,\s\up16(→))＝－1＋4－3＝0，∴eq\o(AB1,\s\up16(→))⊥eq\o(BD,\s\up16(→))，eq\o(AB1,\s\up16(→))⊥eq\o(BA1,\s\up16(→))，又∵BD∩BA1＝B，∴AB1⊥平面A1BD.第八章·第七节(2)设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)，eq\o(AD,\s\up16(→))＝(－1,1，－eq\r(3))，eq\o(AA1,\s\up16(→))＝(0,2,0)．∵n⊥eq\o(AD,\s\up16(→))，n⊥eq\o(AA1,\s\up16(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AD,\s\up16(→))＝0，,n·\o(AA1,\s\up16(→))＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y－\r(3)z＝0，,2y＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)z，,y＝0.))令z＝1得n＝(－eq\r(3)，0,1)为平面A1AD的一个法向量．由(1)知AB1⊥平面A1BD，第八章·第七节∴eq\o(AB1,\s\up16(→))为平面A1BD的法向量．cos〈n，eq\o(AB1,\s\up16(→))〉＝eq\f(n·\o(AB1,\s\up16(→)),|n|·|\o(AB1,\s\up16(→))|)＝eq\f(－\r(3)－\r(3),2×2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4).∴二面角A－A1D－B余弦值的大小eq\f(\r(6),4).(3)由(2)知，eq\o(AB1,\s\up16(→))为平面A1BD的法向量．∵eq\o(BC,\s\up16(→))＝(－2,0,0)，∴eq\o(AB1,\s\up16(→))＝(1,2，－eq\r(3))．第八章·第七节∴点C到平面A1BD的距离d＝eq\f(|\o(BC,\s\up16(→))·\o(AB1,\s\up16(→))|,|\o(AB1,\s\up16(→))|)＝eq\f(|－2|,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2).第八章·第七节【师说点拨】利用向量法求点到平面的距离的步骤如下：①求出该平面的一个法向量n；②找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的向量a；③利用 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 d＝eq\f(|n·a|,|n|)求距离．第八章·第七节变式探究3　在四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝4，Q是PA的中点，则点P到平面BQD的距离为__________．第八章·第七节解析：建立以A为原点，以AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴的直角坐标系，则Q(0,0,2)，B(0,3,0)，D(4,0,0)，所以eq\o(BQ,\s\up16(→))＝(0，－3,2)，eq\o(BD,\s\up16(→))＝(4，－3,0)，设平面BQD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BQ,\s\up16(→))＝0,n·\o(BD,\s\up16(→))＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3y＋2z＝0,4x－3y＝0))，令y＝4，得x＝3，z＝6，则n＝(3,4,6)，所以A到平面BQD的距离即P到平面BQD的距离d＝|eq\f(n·\o(AB,\s\up16(→)),|n|)|＝eq\f(12,\r(32＋42＋62))＝eq\f(12\r(61),61).答案：eq\f(12\r(61),61)第八章·第七节•方法与技巧用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．第八章·第七节用向量知识求空间角主要是将空间角转化为平面角或两向量的夹角，则能建立空间坐标系，更方便．第八章·第七节•失误与防范用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．用向量知识求空间角时，应注意所求角的取值范围，尤其是二面角，先根据图形得出二面角是钝二面角还是锐二面角．第八章·第七节1．(2014·广东卷)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)A．(－1,1,0)　　　　　　　B．(1，－1,0)C．(0，－1,1)D．(－1,0,1)第八章·第七节解析：设选项中的向量与a的夹角为θ，对于选项A，由于cosθ＝eq\f(1×－1＋0×1＋－1×0,\r(12＋02＋－12)×\r(－12＋12＋02))＝－eq\f(1,2)，此时夹角θ为120°，不满足题意；对于选项B，由于cosθ＝eq\f(1×1＋0×－1＋－1×0,\r(12＋02＋－12)×\r(12＋－12＋02))＝eq\f(1,2)，此时夹角θ为60°，满足题意，故选B.答案：B第八章·第七节2．(2014·四川卷)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是(　　)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(2),3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)，1))第八章·第七节解析：易证AC1⊥平面A1BD，当点P在线段CC1上从C运动到C1时，直线OP与平面A1BD所成的角α的变化情况：∠AOA1→eq\f(π,2)→∠C1OA1(点P为线段CC1的中点时，α＝eq\f(π,2))，由于sin∠AOA1＝eq\f(\r(6),3)，sin∠C1OA1＝eq\f(2\r(2),3)＞eq\f(\r(6),3)，sineq\f(π,2)＝1，所以sinα的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1)).答案：B第八章·第七节3．(2014·江西卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝11，AD＝7，AA1＝12.一质点从顶点A射向点E(4,3,12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i－1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i＝2,3,4)，L1＝AE，将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是(　　)第八章·第七节ABCD第八章·第七节解析：根据反射的对称性，质点是在过A，E，A1的平面内运动．因为eq\f(7,11)<eq\f(3,4)，所以过A，E，A1作长方体的截面AA1NM如下图所示．第八章·第七节设点A关于平面A1B1C1D1的对称点为A′，易知它在z轴上，且A′A1＝AA1＝12，连接A′E并延长交平面ABCD于点E1，因为A1E＝5，所以AE1＝10，且E1到AB，AD的距离分别为6,8，即E1(8,6,0)，而它在线段AM上，从而知L1＝AE＝EE1＝L2；事实上，只需要在AA1NM内，过E1作AE的平行线交MN于点E2，再过E2作E1E的平行线交A1N于点E3，可知EE1>E2E3＝L4>E1E2＝L3，故L1＝L2>L4>L3，故选C.答案：C第八章·第七节4．(2014·泰安联考)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，则该二面角的大小为(　　)A．150°B．45°C．60°D．120°第八章·第七节解析：由条件知eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝0，eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝0，eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→)).∴|eq\o(CD,\s\up16(→))|2＝|eq\o(CA,\s\up16(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up16(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up16(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＋2eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＋2eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈eq\o(CA,\s\up16(→))，eq\o(BD,\s\up16(→))〉＝(2eq\r(17))2.∴cos〈eq\o(CA,\s\up16(→))，eq\o(BD,\s\up16(→))〉＝－eq\f(1,2)，〈eq\o(CA,\s\up16(→))，eq\o(BD,\s\up16(→))〉＝120°，〈eq\o(AC,\s\up16(→))，eq\o(BD,\s\up16(→))〉＝60°.∴二面角的大小为60°.答案：C第八章·第七节5．(2014·大同测试)如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是__________．第八章·第七节解析：不妨设棱长为2，选择基向量{eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(BB1,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))}，则eq\o(AB1,\s\up16(→))＝eq\o(BB1,\s\up16(→))－eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(BM,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up16(→))，cos〈eq\o(AB1,\s\up16(→))，eq\o(BM,\s\up16(→))〉＝eq\f(\o(BB1,\s\up16(→))－\o(BA,\s\up16(→))·\o(BC,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(BB1,\s\up16(→)),2\r(2)·\r(5))＝eq\f(0－2＋2＋0,2\r(2)·\r(5))＝0，故填写90°.答案：90°第八章·第七节