2.3.4 平面向量共线的坐标
表
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示
[A级 基础巩固]
一、选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于( )
A.- B. C.-或 D.0
解析:由题意知,1×2-m2=0,所以m=±.
答案:C
2.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A.e1=(0,0),e2=(1,-2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,7)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=
解析:A中向量e1为零向量,所以e1∥e2;C中e1=e2,所以e1∥e2;
D中e1=4e2,所以e1∥e2.
答案:B
3.如果向量a=(k,1),b=(4,k)共线且方向相反,则k等于( )
A.±2 B.2 C.-2 D.0
解析:由a,b共线得k2=4,又两个向量的方向相反,故
k=-2.
答案:C
4.已知点P(-3,5),Q(2,1),向量m=(-λ,1),若∥m,则实数λ等于( )
A. B.- C. D.-
解析:由题意得=(5,-4),因为∥m,所以4λ=5,即λ=,故选C.
答案:C
5.已知向量a=(x,2),b=(3,-1),若(a+b)∥(a-2b),则实数x的值为( )
A.-3 B.2
C.4 D.-6
解析:因为(a+b)∥(a-2b),a+b=(x+3,1),a-2b=(x-6,4),所以4(x+3)-(x-6)=0,解得x=-6.
答案:D
二、填空题
6.已知向量a=(1,m),b=(3m,1),且a∥b,则m2的值为_______.
解析:因为a∥b,所以1-3m2=0,所以m2=.
答案:
7.已知点A(1,-2),若线段AB的中点坐标为(3,1),且与向量a=(1,λ)共线,则λ=________.
解析:由题意得,点B的坐标为(3×2-1,1×2+2)=(5,4),则=(4,6).
又与a=(1,λ)共线,
则4λ-6=0,则λ=.
答案:
8.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为________.
解析:由b∥a,可设b=λ a=(-2λ,3λ).设B(x,y),则=
(x-1,y-2)=b.
由⇒
又B点在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0,所以B或.
答案:或
三、解答题
9.如图所示,在平行四边形ABCD中,A(0,0),B(3,1),C(4,3),D(1,2),M,N分别为DC,AB的中点,求,的坐标,并判断,是否共线.
解:由已知可得M(2.5,2.5,),N(1.5,0.5),
所以=(2.5,2.5),=(-2.5,-2.5),
又2.5×(-2.5)-2.5×(-2.5)=0,
所以,共线.
10.已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,k a-b与a+2b共线?
(2)若=2a+3b,=a+m b且A,B,C三点共线,求m的值.
解:(1)k a-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).
因为k a-b与a+2b共线,
所以2(k-2)-(-1)×5=0,解得k=-.
(2)因为A,B,C三点共线,
所以=λ,λ∈R,即2a+3b=λ(a+m b),所以解得m=.
B级 能力提升
1.若a=,b=,且a∥b,则锐角α为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
解析:因为a=,
b=,a∥b,
所以×-sin α·cos α=0,
即sin α·cos α=.
把α=30°,45°,60°,75°代入验证可知45°能使上式成立.
答案:B
2.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-3b共线,则=________.
解析:由向量的坐标运算知,ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-3b=(5,-3).由两向量共线可得5×(3m+2n)=-3×(2m-n),化简得=-.
答案:-
3.已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).
(1)求实数x,使两向量,共线;
(2)当两向量∥时,A,B,C,D四点是否在同一条直线上?
解:(1)=(x,1),=(4,x).
因为,共线,所以x2-4=0,
则当x=±2时,两向量,共线.
(2)当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),
则∥,此时A,B,C三点共线,
又∥,
从而,当x=-2时,A,B,C,D四点在同一条直线上.
当x=2时,A,B,C,D四点不共线.