线性代数超强总结

√ 关于 ： ①称为 的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 基， 中的自然基，单位坐标向量； ② EMBED Equation.DSMT4 线性无关； ③ EMBED Equation.DSMT4 ； ④ ； ⑤任意一个 维向量都可以用 线性表示. √ 行列式的计算： ① 若 都是方阵（不必同阶）,则 ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： √ 逆矩阵的求法: ① EMBED Equation.DSMT4 ② EMBED Equation.DSMT4 ③ EMBED Equation.DSMT4 ④ ⑤ √ 方阵的幂的性质： √ 设 ，对 阶矩阵 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 ： 为 的一个多项式. √ 设 EMBED Equation.DSMT4 的列向量为 , 的列向量为 ， 的列向量为 , √ 用对角矩阵 左乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵 右乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即： EMBED Equation.DSMT4 √ 矩阵方程的解法：设法化成 当 时, √ 和 同解（ 列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系. √ 判断 是 的基础解系的条件： ① 线性无关； ② 是 的解； ③ . 1 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 2 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 3 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. 4 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. 5 两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. 6 向量组 中任一向量 EMBED Equation.DSMT4 ≤ ≤ 都是此向量组的线性组合. 7 向量组 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示. 向量组 线性无关 向量组中每一个向量 都不能由其余 个向量线性表示. 8 维列向量组 线性相关 ； 维列向量组 线性无关 . 9 . 10 若 线性无关，而 线性相关,则 可由 线性表示,且表示法惟一. 11 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 12 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 向量组等价 和 可以相互线性表示. 记作： 矩阵等价 经过有限次初等变换化为 . 记作： 13 矩阵 与 等价 EMBED Equation.DSMT4 作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵 与 作为向量组等价 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 矩阵 与 等价. 14 向量组 可由向量组 线性表示 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ≤ . 15 向量组 可由向量组 线性表示,且 ，则 线性相关. 向量组 线性无关,且可由 线性表示,则 ≤ . 16 向量组 可由向量组 线性表示,且 EMBED Equation.DSMT4 ,则两向量组等价； 17 任一向量组和它的极大无关组等价. 18 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. 19 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 20 若 是 矩阵,则 ,若 ， 的行向量线性无关； 若 ， 的列向量线性无关,即： 线性无关. 线性方程组的矩阵式 向量式 矩阵转置的性质： 矩阵可逆的性质： 伴随矩阵的性质： 线性方程组解的性质： √ 设 为 矩阵,若 ,则 ,从而 一定有解. 当 时,一定不是唯一解. ,则该向量组线性相关. 是 的上限. √ 矩阵的秩的性质： ① ② ≤ ③ ≤ ④ ⑤ ⑥ ≥ ⑦ ≤ ⑧ ⑨ ⑩ 且 在矩阵乘法中有左消去律: 标准正交基 个 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. . 是单位向量 . √ 内积的性质： ① 正定性： ② 对称性： ③ 双线性： 施密特 线性无关, 单位化： 正交矩阵 . √ 是正交矩阵的充要条件： 的 个行（列）向量构成 的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质：① ； ② ； ③ 是正交阵,则 （或 ）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1. 的特征矩阵 . 的特征多项式 . 的特征方程 . √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的 各元素. √ 若 ,则 为 的特征值,且 的基础解系即为属于 的线性无关的特征向量. √ √ 若 ,则 一定可分解为 = 、 ,从而 的特征值为： , . √ 若 的全部特征值 ， 是多项式,则: ① 的全部特征值为 ； ② 当 可逆时, 的全部特征值为 , 的全部特征值为 . √ √ 与 相似 （ 为可逆阵） 记为： √ 相似于对角阵的充要条件： 恰有 个线性无关的特征向量. 这时, 为 的特征向量拼成的矩阵， 为对角阵,主对角线上的元素为 的特征值. √ 可对角化的充要条件： 为 的重数. √ 若 阶矩阵 有 个互异的特征值,则 与对角阵相似. 与 正交相似 （ 为正交矩阵） √ 相似矩阵的性质：① 若 均可逆 ② ③ （ 为整数） ④ ,从而 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即: 是 关于 的特征向量, 是 关于 的特征向量. ⑤ 从而 同时可逆或不可逆 ⑥ ⑦ √ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质： ① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 ； ③ 不同特征值的特征向量必定正交； ④ 重特征值必定有 个线性无关的特征向量； ⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有 个线性无关的特征向量, 可能有重的特征值,重数= ）. 可以相似对角化 与对角阵 相似. 记为： （称 是 的相似标准型） √ 若 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算） . √ 设 为对应于 的线性无关的特征向量,则有： . √ 若 , ,则： . √ 若 ,则 , . 二次型 为对称矩阵 与 合同 . 记作： （ ） √ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是： √ 两个矩阵合同的必要条件是： √ 经过 EMBED Equation.DSMT4 化为 标准型. √ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由 惟一确定的. √ 当标准型中的系数 为1，-1或0时,则为 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 形 . √ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数. √ 任一实对称矩阵 与惟一对角阵 合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形: 1 求出 的特征值、特征向量； 2 对 个特征向量单位化、正交化； 3 构造 （正交矩阵）, ； 4 作变换 ,新的二次型为 , 的主对角上的元素 即为 的特征值. 正定二次型 不全为零， . 正定矩阵 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）： 1 正惯性指数为 ； 2 的特征值全大于 ； 3 的所有顺序主子式全大于 ； 4 合同于 ，即存在可逆矩阵 使 ； 5 存在可逆矩阵 ，使 （从而 ）； 6 存在正交矩阵，使 （ 大于 ）. √ 成为正定矩阵的必要条件： ； . PAGE 12 _1240552865.unknown _1241078747.unknown _1244904707.unknown _1245044966.unknown _1245046526.unknown _1245050401.unknown _1246016277.unknown _1246016377.unknown _1246016498.unknown _1246016499.unknown _1246016496.unknown _1246016497.unknown _1246016405.unknown _1246016346.unknown _1246016367.unknown _1246016287.unknown _1246016104.unknown _1246016220.unknown _1246016235.unknown _1246016205.unknown _1245239072.unknown _1246016082.unknown _1245239784.unknown _1245239024.unknown _1245047626.unknown _1245048416.unknown _1245049871.unknown _1245050264.unknown _1245049747.unknown _1245049465.unknown _1245048029.unknown _1245048415.unknown _1245048017.unknown _1245046666.unknown _1245046675.unknown _1245046665.unknown _1245045612.unknown _1245046346.unknown _1245046383.unknown _1245046525.unknown _1245045628.unknown _1245045202.unknown _1245045485.unknown _1245045055.unknown _1244966541.unknown _1244978413.unknown _1245044274.unknown _1245044398.unknown _1245044529.unknown 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