nullnull4.2 李雅普诺夫第一法4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义4.3 李雅普诺夫第二法4.4 李雅普诺夫MATCH_
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_1714226683981_0在线性系统中的应用4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用null4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义4.1.1 系统状态的运动及平衡状态设所研究系统的齐次状态方程为null开始观察的时间变量。 对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的，例如对线性定常系统：null 对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式(3)所
确定的常值解．例加系系统：4.1.2 稳定性的几个定义null在n维状态空间中，有：nullnull4.2 李雅普诺夫第一法4.2.1 线性系统的稳定判据 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
意义上看，往往更重视系统的输出稳定性。null的极点全部位于s的左半平面。4.2.2 非线性系统的稳定性null称为雅可比(Jacohian)矩阵。null 在一次近似的基础上，李雅普诺夫给出下述结论：null4.3 李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思路不是通过求解系统的运动
方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出
判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。4.3.1 预备知识1.标量函数的符号性质null2．二次型标量函数 二次型函数在李雅普诺夫第二方法分析系统的稳定性中起着很重要的作
用。null矩阵 P 的符号性质定义如下：3．希尔维斯特判据设实对阵矩阵：nullnull4.3.2 几个稳定性判据用李雅普诺夫第二法分析系统的稳定性，可概括为以下几个稳定性判据。nullnull4.3.3 对李雅普诺夫函数的讨论nullnull4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.4.1 线性定常连续系统渐近稳定判据设线性定常连续系统为：4.4.2 线性时变连续系统渐近稳定判据设线性时变连续系统状态方程为：null而系统的李雅普诺夫函数为：证明 设李雅普诺夫函数取为：null 式(3)是黎卡提(Riccati)矩阵微分方程的特殊情况，其解为：null4.4.3 线性定常离散时间系统渐近稳定判据设线性定常离散时间系统的状态方程为：null4.4.4 线性时变离散系统渐近稳定判据设线性时变离散系统的状态方程为：是系统的李雅普诺夫函数。null4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用 从前面分析可知，线性系统的稳定性具有全局性质，而且稳定判据的条件是充分必要的。但是，非线性系统的稳定性却可能只具有局部性质。4.5.1 雅町比(Jacobian)矩阵法null 则系统在原点渐近稳定的充分条件是：任给正定实对称阵P ，使下列
矩阵null是系统的一个李雅普诺大函数。4.5.2 变量梯度法 变量梯度法也叫舒茨一基布逊(Shultz—Gibson)法，这是他们在1962
年提出的一种寻求李雅普诺夫函数较为实用的方法。nullnull或写成矩阵形式，得：2．变量梯度法
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