2-平面汇交力系的合成与平衡

nullnullnull§2.1 平面汇交力系的合成与平衡的几何法一、平面汇交力系合成的几何法 —多边形法则从汇交点出发，依次将力系中各分力首尾相连接，最后连接第一个力的始点和最后一个力的终点，即得原力系的合力。合力作用线仍过原力系的汇交点。——力的多边形法则 （适用于平面汇交力系）对于由n个力组成的汇交力系 null§2.1 平面汇交力系的合成与平衡的几何法一、平面汇交力系合成的几何法 —多边形法则矢量加法的交换律★由矢量加法的交换律与结合律可知，力的多边形的形状不唯一 A + B = B + A矢量加法的结合律A + B + C = A+（ B + C ）力的相加顺序可改变null例：平面汇交力系，F1 = 3kN，F2 = 1kN，F3 = 1.5kN， F4 = 2kN。方向如图所示，求此力系合力。解：几何法。 将力系中各力依次首尾连接，最后连接第一个力的始端和最后一个力的未端由几何关系合力沿右下方与水平方向成69.5°FR = 3.325kNnull§2.1 平面汇交力系的合成与平衡的几何法二、平面汇交力系平衡的几何条件1.汇交力系的平衡条件 汇交力系平衡的充分必要条件是力系的合力为零 2.平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充分必要的几何条件是力的多边形自行封闭第一个力的始点与最后一个力的终点重合null例：构架由AB、AC组成，A、B、C三点都是铰接。A点受向下力G，杆重忽略不计。求AB、AC杆的受力。解：取整个构架为研究对象，画受力图平衡平衡力系力系的平衡条件由几何关系null§2.2 力在坐标轴上的投影一、力在轴与平面上的投影1.力在轴上的投影 abBA从力的始端和未端分别向 n 轴做垂线连线ab 称为力 F 在 n 轴上的投影：Fnab 指向与 n 轴正向一致时，投影为正；反之为负力在轴上的投影等于力的大小乘以力与轴的正向间夹角的余弦null§2.2 力在坐标轴上的投影一、力在轴与平面上的投影2.力在平面上的投影 abBA从力的始端和未端分别向平面做垂线矢量ab 称为 力 F 在 xy平面上的投影：Fxy大小为Fxy=F cosθFxynull§2.2 力在坐标轴上的投影二、力在直角坐标轴上的投影1.力在平面直角坐标轴上的投影 FxFyFx=F cosθFy=F sinθnull§2.2 力在坐标轴上的投影二、力在直角坐标轴上的投影2.力在空间直角坐标轴上的投影 OFyFzFx直接投影法Fx=F cosαFy=F cosβFz=F cosγnull§2.2 力在坐标轴上的投影二、力在直角坐标轴上的投影2.力在空间直角坐标轴上的投影 OFyFzFx二次投影法Fx=F cosθ cosφFy=F cosθ sinφFz=F sinθnull§2.2 力在坐标轴上的投影三、力的投影与分力的比较1.联系O力在直角坐标轴上投影的大小与其沿相应轴分力的模相等，且投影的正负与分力的指向相应一致 F =Fxy+Fz Fxy =Fx+Fy Fx =Fx i Fy =Fy j Fz =Fz k F =Fx+Fy+Fz = Fx i +Fy j +Fz ki、j、k表示沿xyz轴方向的单位矢量|Fx | =Fx|Fy | =Fy|Fz | =Fznull§2.2 力在坐标轴上的投影三、力的投影与分力的比较1.联系O力在直角坐标轴上投影的大小与其沿相应轴分力的模相等，且投影的正负与分力的指向相应一致| F | =cos (F , i ) = Fx / Fcos (F , j ) = Fy / Fcos (F ,k ) = Fz / FFx2+Fy2+Fz2F =F 方向余弦null§2.2 力在坐标轴上的投影三、力的投影与分力的比较2.区别①分力是矢量，投影为标量。 ②在斜坐标系中，分力的模不等于投影。O力 F 在两坐标轴上投影 Fx、Fy力 F 在两坐标轴上分力 Fx、Fy|Fx | ≠Fx|Fy | ≠Fy在图示斜坐标系中，假设null§2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法一、平面汇交力系合成的解析法（合力的大小和方向）对于由n个力组成的平面汇交力系 于是 FR =FRx i +FRy j +FRz k定义i、j、k表示沿xyz轴方向的单位矢量 Fi =Fix i +Fiy j +Fiz kFRx i +FRy j +FRz k = ∑(Fix i +Fiy j +Fiz k)= (∑Fix) i + (∑Fiy) j + (∑Fiz) knull§2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法一、平面汇交力系合成的解析法（合力的大小和方向）合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和 —— 合力投影定理FRx = ∑FixFRy = ∑FiyFRz = ∑Fiz= ∑Fx= ∑Fy= ∑Fznull§2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法一、平面汇交力系合成的解析法（合力的大小和方向） 于是可得合力FR大小| FR | =FRx2+FRy2+FRz2(∑Fx)2+ (∑Fy)2 + (∑Fz)2cos (F , i ) = ∑Fx / FRcos (F , j ) = ∑Fy / FRcos (F , k) = ∑Fz / FRFR方向余弦FR =null§2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法一、平面汇交力系合成的解析法（合力的大小和方向） 于是可得合力FR大小| FR | =FRx2+FRy2+FRz2(∑Fx)2+ (∑Fy)2 + (∑Fz)2cos (F , i ) = Fx / Fcos (F , j ) = Fy / Fcos (F , k) = Fz / FFR方向余弦FR =null§2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法一、平面汇交力系合成的解析法（合力的大小和方向） 于是可得合力FR大小| FR | =FRx2+FRy2+FRz2(∑Fx)2+ (∑Fy)2 + (∑Fz)2cos (F , i ) = Fx / Fcos (F , j ) = Fy / Fcos (F , k) = Fz / FFR方向余弦FR =平面汇交力系null例：平面汇交力系，F1 = 3kN，F2 = 1kN，F3 = 1.5kN， F4 = 2kN。方向如图所示，求此力系合力。解：解析法。 以汇交点O为原点，建立直角坐标系于是合力大小FRx =∑Fx = 0-F2+F3cos60°+F4cos45°FRy =∑Fy =-F1+0+F3sin60°-F4cos45°FR=合力方向tanθ= | FRy /FRx |= 3.115 / 1.164 = 2.676θ= 69.5°null§2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法二、平面汇交力系平衡的解析条件—平衡方程 于是可得合力FR大小为0，即汇交力系平衡的充分必要条件是力系的合力为零 汇交力系中各力在任一轴上的投影的代数和均为零 —汇交力系平衡的充必要的解析条件—汇交力系的平衡方程null§2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法二、平面汇交力系平衡的解析条件—平衡方程 于是可得合力FR大小为0，即汇交力系平衡的充分必要条件是力系的合力为零 汇交力系中各力在任一轴上的投影的代数和均为零 —汇交力系平衡的充必要的解析条件—汇交力系的平衡方程平面汇交力系null例：构架由AB、AC组成，A、B、C三点都是铰接。A点受向下力G，杆重忽略不计。求AB、AC杆的受力。解：①取整个构架为研究对象，画受力图 ②选投影轴 ③列平衡方程求解解得∑Fx = 0-FB sin60°+FC sin30°= 0∑Fy = 0FB cos60°+FC cos30°-G= 0null例：构架由AB、AC组成，A、B、C三点都是铰接。A点受向下力G，杆重忽略不计。求AB、AC杆的受力。解：①取整个构架为研究对象，画受力图 ②选投影轴 ③列平衡方程求解解得∑Fx = 0FC - G sin60°= 0∑Fy = 0FB - G sin30°= 0使尽可能多的未知力垂直于投影轴