分析静力学

第第55章章 分析静力学分析静力学 5.1 5.1 约束及其分类约束及其分类 第第11节节 约束及其分类约束及其分类 ‡约束：对质点系运动预加的强制性限制，其 数学 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式为数学表达式为 ( ) 0f t ≥r r v v1 1( , , ..., , , ..., ) 0i N Nf t ≥r r v v 可简记为 ( , , ) 0i j jf t ≥r vi j j ‡约束的形式和机理是千差万别的 由刚性杆连接的两个质点：刚性约束 圆盘在粗糙平面上纯滚动 摩擦约束圆盘在粗糙平面上纯滚动：摩擦约束 导弹运动方向瞄准目标： 控制约束 第第11节节 约束及其分类约束及其分类 ‡ 单面约束和双面约束 ‡ 如约束表达式为等式，则称为双面约束或等式 约束，约束表达式又称约束方程；否则称为单 面约束或不等式约束 ‡ 对于单面约束，质点的运动可以分阶段考虑单 束 质点 动 分 考虑 （无约束阶段和双面约束阶段） x lθ 刚性杆 x lθ 柔索 y θ A y θ A研究质点A 第第11节节 约束及其分类约束及其分类 ‡ 几何约束和微分约束 ‡ 如约束表达式中不包含速度，则称其为几何约 束；否则称为微分约束 yy A ϕ C O A ϕo r l B xOxo 研究 和 组成的质点系 研究纯滚动圆轮 0, A Cv y r= =2 2 2 , 0A A Bx y r y+ = = 研究A和B组成的质点系 研究纯滚动圆轮 2 2 2 , ( ) A A B B A A y y x x y l− + = 0Cx r− ϕ =�� 第第11节节 约束及其分类约束及其分类 ‡ 完整约束和非完整约束 ‡ 几何约束、可积分为几何约束的微分约束，称 为完整约束，不可积微分约束称为非完整约束 y C T ϕ C O A M θv 研究导弹 xO 0=Av Cx rϕ− = 0�� 积分 0Av C C x r x r ϕ ϕ 0 − = 0 tany x θ=� �不可积 不可积 第第11节节 约束及其分类约束及其分类 ‡ 不可积证明 反证法：假设存在函数 ( , , , ) 0f x y tθ = df f f f f∂ ∂ ∂ ∂�函数对时间求全导数： 0df f f f fx y dt x y t θθ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + =∂ ∂ ∂ ∂ �� � 代入约束方程 df f f f f∂ ∂ ∂ ∂代入约束方程： ( tan ) 0df f f f fx dt x y t θ θθ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + =∂ ∂ ∂ ∂ �� 由于 相互独立 有θ��由于 相互独立，有, x θ� tan 0, 0, 0f f f fθ θ ∂ ∂ ∂ ∂+ = = =∂ ∂ ∂ ∂ 不显含f, ,x y tθ∂ ∂ ∂ ∂ 由于 任意θ 0, 0f f∂ ∂= =∂ ∂ 不显含f , , , x y tθ x y∂ ∂ 第第11节节 约束及其分类约束及其分类 ‡ 定常约束和非定常约束 ‡ 如约束表达式中不显含时间，则称为定常约束； 否则称为非定常约束 x x ϕ l x ( )l tϕ y A y A 研究质点A 0222 =−+ lyx AA 2 2 2 ( ) 0A Ax y l t+ − = 研究质点A yAA 第第11节节 约束及其分类约束及其分类 ‡ 牛顿力学观点 ‡ 力是改变运动的唯一原因。 ‡约束都可以用力代替 这个力称为约束‡约束都可以用力代替，这个力称为约束 反力。 分析力学观点‡ 分析力学观点 ‡约束和力都是改变运动的原因。 ‡在力的作用下，物体在约束限制的范围 内运动 。内运动 。 5.2 5.2 虚位移虚位移 第第22节节 虚位移虚位移 可能位置 ：在给定时刻t系统各点矢径ri都满足系统 的几何约束 则称系统处于可能位置(有无穷多个)的几何约束，则称系统处于可能位置(有无穷多个)。 质点M 沿平面运动 约束方程 z 质点M 沿平面运动 (即平面运动方程) 0z ut− = u M M 的可能位置 x yM 的可能位置： 平面上任何位置 x 第第22节节 虚位移虚位移 z可能位移 ：在t＋dt时 刻 系统的可能位置为 可能位移刻，系统的可能位置为 ri＋Δri (无穷多个) ，则 可能位移 dt t+ u M Δri称为系统从可能位置 ri出发在Δt内的可能位 ΔrΔr x yi移(无穷多个)。 第第22节节 虚位移虚位移 真实位移：在无穷多的可能位移中，满足动力学方程真实位移：在无穷多的可能位移中，满足动力学方程 (牛顿第二定律，右端不含约束力)及其初始条件的， 是唯 的 用d 表示是唯一的。用dr表示。 按牛顿力学观点，真实位 d 真实位移可能位移 按牛顿力学观点，真实位 移是动力学方程(牛顿第二 定律 右端包含约束力)在 z dt t+ M ′d ΔrΔr 定律，右端包含约束力)在 给定初始条件下的唯一解 M ′dr t y Mu O x 第第22节节 虚位移虚位移 虚位移：定常约束情况下 的可能位移，非定常情况 真实位移可能位移的可能位移 非定常情况 下假想约束“冻结”时的 可能位移 用δr表示 虚 z dt t+ 真实位移可能位移 可能位移，用δr表示。虚 位移也有无穷多个。在定 M ′dr ΔrΔr 常约束情况下，真实位移 是虚位移之一。 tMu δr δr是虚位移 t O y 虚位移 x 虚位移 第第22节节 虚位移虚位移 ‡ 变量的无穷小增量称为微分，函数的无穷小增量称为变分。 ‡ 在t固定时，从矢径r确定的位置变化到无限接近的r＋ δr， 得到的无穷小增量δr称为等时变分。等时变分运算的特点 是δt 0是δt = 0。 ‡ 在等时变分中不考察运动过程，只是比较两个无限接近的 可能位置可能位置。 ‡ 无穷小的真实位移就是位置r的微分。 无穷小的可能位移就是可能位置r的变分‡ 无穷小的可能位移就是可能位置r的变分。 ‡ 无穷小的虚位移就是可能位置r的等时变分。 分析力学中考虑无穷小虚位移 只需研究虚位移的方向‡ 分析力学中考虑无穷小虚位移，只需研究虚位移的方向， 以及虚位移之间的比例关系。 对约束方程的微分对约束方程的微分 ‡ 对几何约束方程进行微分运算，可得到质系各点的 无穷小位移之间的关系和/或同一个位移的不同分量无穷小位移之间的关系和/或同一个位移的不同分量 间的关系。 ( ( )) sinx x t lθ θ= =x lθ 刚性杆 ( ( )) sin ( ( )) cos x x t l y y t l θ θ θ θ= = y A 微分 2 2 2 0x y l+ − = cossin dx l d dy l d θ θ θ θ = = − 2 2 0xdx ydy+ 微分 y 2 2 0xdx ydy+ = x y A ( )l tϕ ( ( ), ) ( )sin ( ( ) ) ( ) x x t t l t t t l t θ θ θ θ = = y A ( ( ), ) ( ) cosy y t t l tθ θ= = 微分 2 2 2 ( ) 0A Ax y l t+ − = 微分 cos sindx l d l dtθ θ θ= + � 微分 cos sin sin cos dx l d l dt dy l d l dt θ θ θ θ θ θ = + = − + � 2 2 2 0xdx ydy lldt+ − =� 微分 2 2 2 0xdx ydy lldt+ = 对约束方程的变分对约束方程的变分 V 对几何约束方程进行变分运算，可得到质系各点的 无穷小可能位移之间的关系和/或同一个位移的不同无穷小可能位移之间的关系和/或同 个位移的不同 分量间的关系。 x ( ( )) sinx x t lθ θ= =x lθ 刚性杆 ( ( )) sin ( ( )) cos x x t l y y t l θ θ θ θ = = = = y A 变分 2 2 2 0x y l+ − = cossin x l y l θ θ θ θ Δ = Δ Δ = − Δ 2 2 0x x y yΔ + Δ = 变分 y 2 2 0x x y yΔ + Δ = x y ( )l tϕ ( ( ), ) ( )sin ( ( ) ) ( ) x x t t l t l θ θ θ θ = = y A 变分 ( ( ), ) ( ) cosy y t t l tθ θ= = 2 2 2 ( ) 0A Ax y l t+ − = 变分 cos sinx l l tθ θ θΔ = Δ + Δ� 变分 cos sin sin cos x l l t y l l t θ θ θ θ θ θ Δ = Δ + Δ Δ = − Δ + Δ� 2 2 2 0x x y y ll tΔ + Δ − Δ =� 变分 2 2 2 0x x y y ll tΔ + Δ − Δ = 对约束方程的等时变分对约束方程的等时变分 V 对几何约束方程进行等时变分运算，可得到质系各 点的虚位移之间的关系和/或同一个虚位移的不同分点的虚位移之间的关系和/或同 个虚位移的不同分 量间的关系。 ( ( )) sinx x t lθ θ= =x lθ 刚性杆 ( ( )) sin ( ( )) cos x x t l y y t l θ θ θ θ = = = = y A 等时变分 2 2 2 0x y l+ − = cossin x l y l δ θδθ δ θδθ = = − 2 δ 2 δ 0x x y y+ 等时变分 y 2 δ 2 δ 0x x y y+ = x y ( )l tϕ ( ( ), ) ( )sin ( ( ) ) ( ) x x t t l t l θ θ θ θ = = y A 等时变分 ( ( ), ) ( ) cosy y t t l tθ θ= = 2 2 2 ( ) 0A Ax y l t+ − = 等时变分 cosx lδ θδθ= 等时变分 cos sin x l y l δ θδθ δ θδθ = = − 2 δ 2 δ 0x x y y+ = 等时变分 第第22节节 虚位移虚位移 y A Aδ r ϕo r l B 2 2 2( )B A Ax x y l− + = xo B Bδ r δ δ δ+i jA A Ax yδ δ δ= +r i j B Bxδ δ=r i 等时变分B B 2( )( ) 2 0B A B A A Ax x x x y yδ δ δ− − + = 问题 有其它方法吗？问题：有其它方法吗？ 速度投影定理 A AB B ABδ δ⋅ = ⋅r e r e 元功元功 ‡ 力的元功 FFFA ddddd′ F iiziiyiixiii zFyFxFA ddddd ++=⋅=′ rF d´Ai不一定是函数的微分！i不 定是函数的微分 ‡ 力系的元功 n n 1 1 d d ( d d d ) n n i i ix i iy i iz i i i A F x F y F z = = ′ = ⋅ = + +∑ ∑F r ( ) ( )i( ) ( )d d de iA A A′ ′ ′= + 外力功 内力功 ‡‡力系的虚功力系的虚功：力系在虚位移上所做的元功 n 1 δ δi i i A = = ⋅∑F r 理想约束理想约束 理想约束理想约束：约束反力在质系任意虚位移上所做的虚功 恒等于零的约束恒等于零的约束。 δ 0 n i i⋅ =∑N r 1i= 无滑动的滚动无滑动的滚动 不可伸长的绳不可伸长的绳光滑曲面约束光滑曲面约束 N 伸伸 子连接的质点子连接的质点 Bδr N P F C Bδ Ar δ Br N ′N P δr F δ 0C =r δ 0C⋅ =N r A N δ δ 0A B′⋅ ⋅ =N r + N r δ⊥N r δ 0⋅ =N r δ 0CN r