递推数列求通项案例 递推数列求通项案例 湘东中学 337016 吴伏宝 类型一 1.当 , 为常数时,此时 为等差数列,直接用等差数列通项
公式
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可求到. 2.当 , 为关于 的
函数
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时,此时可以利用等差数列求通项的方法累加求通项. 例1 在数列 中, , ,求 . 解: 例2 在数列 中, , ,求 . 解: . 3.当 , 为0时,此时 为等比数列,可用等比数列通项公式求出. 4.当 , 的常数时,可构造等比数列求通项. 例3 在数列 中, , ,求 . 解: ,可设 ,可求得 ,即 故数列 是以首项为4,公比为2的等比数列. ,即 . 5. 当 , 为关于 的函数时, (1) 为等差数列通项公式时,可利用累加求解,也可以用构造等差等比来求. 例4 数列 中, , ,求 方法一: 求出. 方法二:由 ,可设 , 则有 ,从而有 故 , 数列 是首项为4,公比为2的等比数列, ,故 (2) 为等比数列通项公式时,可利用累加,求通项,也可以构造等比数列. 例5 数列 中, , ,求 . 方法一:同例4方法一. 方法二:由 ,可设 , 则有 ,从而有 故 , 数列 是首项为-2,公比为2的等比数列, . 方法三:等式两边同除以 可得.由 ,得 . 这样就变为 为常数形式,可构造等比数列来求. 6. 当 为关于 的函数, 为0时,可利用等比数列求通项时所用的方法求通项. 例6 数列 中, , ,求 . 解: 7. 当 为关于 的函数, 为常数时,可利用待定系数法先消去 ,变为类型6形式求解. 类型二 例7 已知数列 中, , , ,求 . 解:可设 或 , 即 ……………………………………………………………(1) 或 ……………………………………………………………(2) 由(1)知,数列 是以首项为3,公比为3的等比数列,则 ……(3) 由(2)知,数列 是以首项为2,公比为2的等比数列,则 ………(4) 由(3)-(4)得, . 注:由 ,可利用类型一中第5来做两边同除以 得到. 类型三 为常数 例8 已知数列 的各项均为正数,且满足, , , ,求 . 解:由 ,即 ， 令 , ,两边取以 底的对数,可得 令 = ,即 ,变成了第4种形式的可求出, 再求 最后求 即可. 类型四 为常数 1.当 时,两边取倒数可求出通项. 例9 在数列 中, , ,求 . 解:由 ,可得 ,故数列 是以1为首项, 为公差的等差数列, ,故 . 2.当 时,可先转换为上一种问题,即消去分子中的 ,再构造成等差或等比数列求解. 例10在数列 中, , ,求 . 解:用待定系数法,令 ,则有 , 或 .当 时, ,令 ,则有 变成 了上一种形式,两边取倒数即可求得.同样 也可以求出,结果一样. 类型五 递推公式为 与 的关系式 思路一:消 先求出 ,再求 ; 思路二:先消 ,再求 . 例11 数列 中,前 项和为 ,已知 , (1)求 ; (2)求 . 解:由当 时, , 当 ≥2时, , ,令 , 数列 为1,公差为1的等差数列, ,即 , 故有 注:(1)消 得 的关系式时,只要把 代替即可;(2)消 得 的关系式,就再得一个关系式 与 的关系式,两式相减即可得 与 的关系式,再求就即可. 类型六 例12 已知数列 中, 且 ,求 .
分析
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:先把 转换成 型. 解:由 得 ,令 ,即 ,再两边求倒数即可求得: ,转化为 为常数 型,构造等比数列即可. 类型七 归纳猜想法 例13 在数列 中, ,且 ,求 . 解: ………………………………………………… 猜想 . 下面用数学归纳法来
证明
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: ①当 , 时,显然成立; ②假设 , 时都成立,即 , 则 + = ,即当 时也成立. 猜想正确,故 .
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