2整除性

竞赛讲座02 －整数的整除性 1．  整数的整除性的有关概念、性质 （1）       整除的定义：对于两个整数a、d（d≠0），若存在一个整数p，使得 （2）       性质 1）  若b|a，则b|(-a)，且对任意的非零整数m有bm|am 2）  若a|b，b|a，则|a|=|b|; 3）  若b|a，c|b，则c|a 4）  若b|ac，而（a，b）=1（（a，b）=1表示a、b互质，则b|c； 5）  若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c； 6）  若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和） 例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。 证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z) 而        11｜11(3x-2y+3z), 且      11｜(7x+2y-5z), ∴       11｜4(3x-7y+12z) 又       (11,4)=1 ∴        11｜(3x-7y+12z). 2.整除性问题的证明方法 (1)    利用数的整除性特征（见第二讲） 例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜ INCLUDEPICTURE "http://www.cbe21.com/subject/maths/images/040401/575/575006.gif" \* MERGEFORMATINET 的值。 解72=8×9，且（8，9）=1，所以只需讨论8、9都整除 INCLUDEPICTURE "http://www.cbe21.com/subject/maths/images/040401/575/575009.gif" \* MERGEFORMATINET 的值。 若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２。 若9｜，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3。 （2）利用连续整数之积的性质 ①     任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除。 ②     任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。 这个性质可以推广到任意个整数连续之积。 例3（1956年北京竞赛题）证明：对任何整数n都为整数，且用3除时余2。 证明 ∵为连续二整数的积,必可被2整除.∴对任何整数n均为整数,∵ INCLUDEPICTURE "http://www.cbe21.com/subject/maths/images/040401/575/575026.gif" \* MERGEFORMATINET 为整数,即原式为整数. 又∵ INCLUDEPICTURE "http://www.cbe21.com/subject/maths/images/040401/575/575029.gif" \* MERGEFORMATINET 。 2n、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质，∴是能被3整除的整数.故被3除时余2. 例4         一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除. 证明  ∵a2+23=（a2-1）+24，只需证a2-1可以被24整除即可.∵2 .∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).∵k、k+1为二个连续整数，故k（k+1）必能被2整除，∴8|4k（k+1），即8|（a2-1）.又∵（a-1），a，（a+1）为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a（a-1）（a+1）=a（a2-1），∵3  a，∴3|（a2-1）.3与8互质, ∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除. (3)利用整数的奇偶性 例5         求证:不存在这样的整数a、b、c、d使：a·b·c·d-a=       ①a·b·c·d-b=       ②a·b·c·d-c=       ③ a·b·c·d-d=       ④ 证明  由①，a（bcd-1）=. ∵右端是奇数，∴左端a为奇数，bcd-1为奇数. 同理,由②、③、④知b、c、d必为奇数，那么bcd为奇数，bcd-1必为偶数，则a（bcd-1）必为偶数，与①式右端为奇数矛盾.所以命题得证. 例6         (1985年合肥初中数学竞赛题)设有n个实数x1,x2,…，xn，其中每一个不是+1就是-1， 且 试证n是4的倍数. 证明  设   (i=1,2,…，n-1)， 则yi不是+1就是-1，但y1+y2+…+yn=0，故其中+1与-1的个数相同，设为k，于是n=2k.又y1y2y3…yn=1，即（-1）k=1，故k为偶数，∴n是4的倍数. 其他方法： 整数a整除整数b，即b含有因子a.这样,要证明a整除b,采用各种公式和变形手段从b中分解出因子a就成了一条极自然的思路. 例7         (美国第4届数学邀请赛题)使n3+100能被n+10整除的正整数n的最大值是多少? 解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.若n+100能被n+10整除,则900也能被n+10整除.而且,当n+10的值为最大时,相应地n的值为最大.因为900的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890. 例8         (上海1989年高二数学竞赛)设a、b、c为满足不等式1＜a＜b＜c的整数，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能数组（a，b，c）. 解  ∵（ab-1）（bc-1）（ca-1）=a2b2c2-abc（a+b+c）+ab+ac+bc-1，①∵abc|（ab-1）（bc-1）（ca-1）.∴存在正整数k,使ab+ac+bc-1=kabc,     ② k=＜＜＜＜∴k=1. 若a≥3，此时1=-＜矛盾. 已知a＞1.   ∴只有a=2.当a=2时，代入②中得2b+2c-1=bc，即   1=＜ ∴0＜b＜4，知b=3，从而易得c=5. 说明：在此例中通过对因数k的范围讨论，从而逐步确定a、b、c是一项重要解题技巧. 例9         （1987年全国初中联赛题）已知存在整数n，能使数被1987整除.求证数 INCLUDEPICTURE "http://www.cbe21.com/subject/maths/images/040401/575/575075.gif" \* MERGEFORMATINET ，都能被1987整除. 证明∵×××（103n+），且能被1987整除，∴p能被1987整除. 同样，q=（）且∴ 故、102（n+1）、被除，余数分别为1000，100，10，于是q表示式中括号内的数被除，余数为1987，它可被1987整除，所以括号内的数能被1987整除，即q能被1987整除. 竞赛讲座21 -容斥原理 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集合A的元素个数(新教材中用 表示有限集合A的元素个数)。 原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行： 第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）； 第二步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素） 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣。 原理二：给定三个集合A，B，C。要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行： 第一步 求|A|+|B|+|C|； 第二步 减去|A∩B|，|A∩C|，|B∩C|； 第三步 加上|A∩B∩C|。 _1315419096.unknown