电路分析课件

1.1 Circuits and Circuit Models 电路与电路模型 1.1.1 Circuits 电路 电路是电荷流经的通路，它是为了实现特定的功能，将某些电路元件用导线连接而成的一个实体。 1.1.2 Circuit Elements 电路元件 电路元件是具有某种确定电磁特性的电子器件，它是组成电路的最小单元。例如：电阻、电容、电感等。 1.1.3 Ideal Circuits 理想电路 将实际电路进行抽象，建立起一个一般的电路模型，并用 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的元件符号画出，这样的电路叫理想电路。例如不计导线电阻，不计算灯泡的电感和线间电容等。 将实际电路，根据其工作条件建立一个模型，这个过程叫建模。 1.2 The Direction and Refrence Direction of Current and Voltage 1.2.1 Reference Direction 参考方向 实际电路在工作时，每条支路都有确定的电流方向和电压方向，这是电流和电压的实际方向。但是，在测量或者分析该电路之前，这些方向是未知的。为了方便，我们事先假定一个电流方向－叫“电流参考方向”。如果计算的结果 i > 0，说明电流实际方向与参考方向相同；如果计算的结果 i < 0 ，说明电流实际方向与参考方向相反。 1.2.2 Associated Reference Direction 关联参考方向 电流或者电压的参考方向是可以任意地、独立地指定。但是，如果恰好指定某元件的电流方向与电压的方向相匹配(或符合)，这种参考方向称为关联参考方向，否则称为非关联参考方向。 匹配是指电流从电压的正极流入，从电压的负极流出。电流的方向即电压降的方向。 1.3 Electric Power and Electric Energy 电功率与电能量 电流之所以能在电路里流动，是因为电源的驱动作用。 根据电位差的定义：UA－ UB ＝ UAB 为单位正电荷在电源的作用下，从A点到B点所做的功。 那么，单位时间里，从A点到B点的正电荷为 i，因此单位时间里，电源做的功也即功率为 P＝UAB i P(t)＝UAB(t) i(t) 在时间t 0 到 t 时间间隔内，电源做功为这些功被负载所吸收(以能量形式储存起来)或消耗(转化为热而消耗掉)。 注意— 在电流和电压参考方向为关联参考方向时，乘积 Ui 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示元件吸收功率； 在电流和电压参考方向为非关联参考方向时，乘积 Ui 表示元件发出功率； 进而可推知— 在关联参考方向时，Ui > 0，表示元件真吸收功率，Ui < 0时，表示元件发出功率； 在非关联参考方向时，Ui >0，表示元件真发出功率，Ui <0 时，表示元件真吸收功率。 1.4 Circuit Elements 电路元件 电路元件是构成电路的基本单元。为了讨论问题的简单，定义集总元件：在任何时刻，流入元件的电流等于流出元件的电流，元件两端的电压为单值量。这种元件叫集总元件。 集总元件的本质是将电路中的电现象和磁现象分开，并分别体现在某种元件上，我们可以用数学方法分别加以讨论。 由集总元件构成的电路叫集总电路。 元件与外部电路连接的端子可以有两个、三个或四个，分别叫二端元件、三端或四端器件。 1.5 Resistors 电阻元件 1.5.1. Linear Resistor 线性电阻元件 定义：在电压和电流取关联参考方向的情况下，任何时刻电阻两端的电压和流过它的电流服从欧姆定律 u (t) ＝ R × i ( t ) 此处R为实常数，这样的电阻称为线性电阻元件。 U－单位为伏V i－单位为安A R－单位为欧姆Ω G＝1/R单位为西门子S，G称为电导。 如果电阻的值随时间发生变化，则这种电阻称为时变电阻。 INCLUDEPICTURE "http://jpkc.nwu.edu.cn/dlfx/kejian/ch0/c1_r2.jpg" \* MERGEFORMATINET 1.5.2. Power and Energy 电阻元件消耗的功率与能量 采用关联参考方向，电阻吸收的功率： P(t) ＝U(t) × i (t)＝R (t) × i 2 (t) ＝ i 2 (t) /G(t) 如果 P(t)> 0 ，说明电阻真消耗电能，P(t) < 0 说明电阻发出电能。 1.6 Capacitors 电容元件 1.6.1. Ideal Capacitors 线性电容元件 电容两极板上积聚等量异种电荷，必然形成电位差。在任何时刻 t，满足下列关系式 q(t) ＝C·U(t) 的电容，为线性电容。其中C是一个实常数，由电容器的结构决定。 对上式求导，有： 即为电容的电压电流关系式。 注意： q 的单位为库仑 C， U 的单位为伏特 v， C 的单位为法拉 F。 1.6.2. Energy Storage 线性电容元件的储能 在电压电流关联参考方向下，线性电容吸收的功率和能量为 其中假设了在 t＝0 时，u＝0, q＝0。 如果假设 t＝t 时，u＝0 ，而在 t＝0 时，u＝U0，则： W ＝－C U 2(0) /2 由此说明： 电容器吸收的能量被储存下来，其大小与两端电压的平方成正比。电容是一个储能元件； 当给电容充电时，电容两端电压增大，电容储存电能 W增加； 当电容放电时，电容两端电压下降，储能 W减少。 实际电容会有漏电发生，即要消耗能量。另外，实际电路中存在着分布电容和杂散电容。 1.7 Inductors 电感元件 1.7.1. Ideal Inductors 线性电感元件元件 根据毕奥－萨伐尔定律，通电导线的周围会产生磁场，磁场的方向符合右手定则，大小与电流成正比。因此，如果电流恒定，螺线管就像一根条形磁铁。 又根据法拉第电磁感应定律，变化的磁场将在螺线管两端产生感应电动势。 磁通量、磁通匝链数、感应电动势的定义及计算如下： 在任何时刻，一个电感元件的自感磁通匝链Ψ与元件中的电流i成线性关系时 Ψ＝Li 这样的电感元件称为线性/理想电感元件。 电流单位取安培 A，磁通匝链取韦伯 Wb，电感的单位是亨利 H。 1.7.2 Energy Storage of Inductors 电感元件的储能性质 采用关联参考方向，对于理想的线形电感元件，它吸收的能量为 假定t＝0时，没有电流，则就没有磁场，也谈不上有能量。 对于 t1到 t2间隔电感储能的变化，由公式可见，当电流增加时，i(t2) >i(t1),电感储量能。反之电感释放能量。因此电感是一个储能元件，同时是一个无源元件。 实际电感是有电阻的，而且由于软铁芯，电感也是非线性的。 1.8 Independent Source 独立电源 能提供电能量的装置叫电源。常见的电源有发电机、干电池。根据电源提供电能形式的不同，电源分为电压源和电流源。 1.8.1. Voltage Source 电压源 电压源也称独立电压源。它的输出电压仅是时间的函数，而不随负载变化。 1.8.2. Output Power 电压源的输出功率 电压源作为提供能量的装置，约定：流过电压源的电流参考方向与其电压参考方向是非关联的，因此P(t) ＝U(t) i (t) 指的是电压源发出的功率，也即负载吸收的功率。显而易见，电压源不能被短路，短路是没有意义的。但可以开路。 1.8.3. Current Source 电流源 电流源也称独立电流源。它的输出电流仅是时间的函数，而不随负载变化。 1.8.4. Output Power 电流源的输出功率 电流源是一个电源，通常取电压参考方向与其电流参考方向为非关联的，则负载两端电压也即电流源两端电压，此时 P(t)＝U(t) i (t) 指的是电流源发出的功率，也就是负载吸收的功率。 显而易见，电流源是不能“开路”的，因为开路，i＝0，没有意义。但可以短路。 1.9 Controlled Source 受控电源 1.9.1. Concept of Controlled Source 受控电源的概念 受控电源是指受到电路另外一处电压或电流的控制，从而向外输出电能的一种电源，它本身不是独立的。 被控电源可以是电压源，也可以是电流源。而控制部分可以是电压，也可以是电流。因此有四种组合。 1.9.2. The Types of Controled Sources 四种受控电源 VCVS 电压控制电压源 VCCS 电压控制电流源 CCVS 电流控制电压源 CCCS 电流控制电流源 1.9.3. Attentions 受控电源应用说明 1 应用时，受控电源当作电源看待； 2 注意比例系数 μ、β 无量纲，γ 是电阻量纲，g 是电导量纲； 3 受控源画成四端元件，是为了画出控制源。 1.10 Kirchhoff 's Law 基尔霍夫定律 一个电路能够实现某种确定的功能，这个功能是通过每一个元件的功能与它们之间的配合而体现出来的。每一个元件的功能取决它的电磁特性，它满足特定的电压电流关系(如前面讲的电阻元件、电容元件、电感元件等)。而它们组合起来以后构成一个电路，元件之间的电压关系或电流关系满足基尔霍夫定律。 1.101. Concepts 基本概念 Branch 支路 连接在电路中的一个二端元件就是一条支路。通常有确定的电流流过该支路。（这个定义不是普遍的。比方，两个元件串在一起再连在电路里，也只能算一条支路。） Node 结点 支路与支路的连接点叫结点。通常电流在结点处分岔。 Loop 回路 由支路构成的闭合通路叫回路。 6个元件，6条支路，4个结点，3个独立回路。 1.10.2. Kirchhoff's Current Law 基尔霍夫电流定律KCL KCL的文字表述 “对于集总电路的任一结点，任何时刻流入的电流等于流出的电流(或者流出/入的电流代数和恒等于0)”。 KCL的数学表示： ∑ i ( t ) ＝ 0 KCL的物理含义：电荷守恒 注意：KCL不仅适用于一个结点，也适用于电路的一个部分，如上图的阴影部分：i3＝i6。 1.10.3. Kirchhoff's Voltage Law基尔霍夫电压定律KVL KVL的文字表述 “在集总电路中，任何时刻，沿任一回路，所有支路电压的代数和恒等于零(或电压降为0)”。 电压值的正负取决于电压参考方向和回路的绕行方向。通常约规定，电压的参考方向与绕行方向一致者，取正号，否则取负号。 KVL的数学表示： ∑ u (t) ＝0 KVL的物理含义：能量守恒。 1.10.4. Attention 基尔霍夫定律应用说明 基尔霍夫定律是电路应满足的普遍定律，与具体的元件性质无关； 基尔霍夫定律适用任何集总电路，即非线性、时变电路等； 应用步骤： A. 划分出支路，并编号； B. 指定支路电流、电压参考方向、一般要关联； C. 根据题意选择合适的节点，应用KCL； D. 或根据题意选择合适的回路，应用KVL，注意独立性。 例：应用 KVL 推导串联电阻电路中总电阻与分电阻的关系和分压公式。 按照图中标定的电流电压参考方向和回路绕行方向，应用KVL： -u+u1+u2+…+un = 0 或 u=u1+u2+…+un 因为每一个电阻的电压电流遵守欧姆定律：uk=iRk，故有： u = i × R1 + i× R2 +...... +i× Rn = i× ( R1+R2+…+Rn) = i Re 其中： Re=R1+R2+…+Rn ， 即为总电阻或等效电阻。uk = iRk=( u/Re ) Rk 即串联电路的分压公式 本章介绍电路的等效变换的概念。内容包括：电阻和电源的串、并联，电源的等效变换、一端口网络输入电阻的计算。 2.1 Resistors in Series and Voltag-Divider 电阻串联与分压器 n 个电阻串联，第 k 个电阻分得的电压： 结论：①串联电路中，总电阻阻值等于各分电阻阻值之和。 ②每个电阻上电压，按其阻值占总电阻阻值的比例大小分配总电压。 串联电阻电路的功率计算： 本小节电路也叫‘单回路电路－The Single Loop Circuit’。 随着串联电阻个数增加，电压源提供的功率增加还是减少？为什么？ 2.2 Resistors in Parallel and Current-Divider 电阻的并联与分流 应用KCL，并用 Gk 代替 1 / Rk ，则有： 结论：①并联电路中总电导等于各分电导之和。 ②每个电阻上的电流按其电导占总电导的比例大小分配总电流。 并联电阻电路的功率计算： 本小节电路也叫‘单对节点电路－The Single Node-Pair Circuit’。 随着并联电阻个数增加，电流源提供的功率增加还是减少？为什么？ 2.3 Complex Connection of Resistors 电阻的混联 对于所示的混联电阻电路，问什么情况下 i0＝0 ？ 分析：在 Us 给定的情况下， i0 取决于 R1 R2 R3 R4 的取值。也就是说， i0 是 R1 R2 R3 R4 的函数。当它们取某些特定值时， i0 将为 0 。 反过来，当 i0 为 0 时，R0 两端的电位相等，故必有： i 1 ＝ i 3 i 2 ＝ i 4 从数学角度看，将 5 条支路电流看做未知量，写出 5 个独立方程，解出 i0，再令其等于 0 ，即可得电路 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 应满足的关系式。 具体解法是：写出 3 个KVL方程，2 个KCL方程。然后将它们化简成 3 元 1 次方程组，解出 i0 。 即对应电阻必须成比例，这就是所谓的电桥平衡条件。(怎样找出合适的方程呢？) 2.4 Y-△ and △-Y Conversions 电阻的Y－△等效变换 “两个电路，有相同的连线端子，如果它们对应端子的电流方向和大小相同，对应两端子的电压方向和大小相同，则它们互为等效电路。” 如果把它们看成一个黑匣子，则它们的对外表现是相同的。 毫无疑问，两个等效电路内部必然有一个对应关系存在。换句话说，对于如图电路，知道其中一个电路中的三个电阻，就可计算出另一个电路中的三个电阻。 从电路 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 的角度看问题， 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 各端子的电流大小和方向、两两端子的电压大小和方向的指标已确定，则起码有两种电路形式存在。 对于Y 型连接的电路。根据KCL和KVL，写出三个独立方程： i1+ i2+ i3＝ 0 R1i1－ R2i2＝u12 R2i2－ R3i3＝u23 将电流看做未知量，是一个三元一次方程组，解得： 对于△型连接的电路，端子 1', 2', 3' 的电流为： 令：i1＝ i'1，i2＝ i'2，i3＝ i'3，得： 对于任何的u12，u23，u31，上式都要成立，只能是其系数等于 0 ，由此解得Y－△的等效电阻公式： 从上式也可解出△－Y的等效电阻公式： 2.5 Power in Series and Parallel电源的串联与并联 2.5.1 Series Connected Voltage Sources 电压源的串联 对于 n 个电压源的串联电路，可将其等效成一个电压源： us＝ us1+ us2+ … + usn＝ Σ usk 式中，usk 的方向与 us 方向一致者，取正号，反之取负号。 2.5.2 Parallel Connected Voltage Sources 电压源的并联 电压源并联时，必须是电压取值相等，且极性相同，其等效电压源是原电路中任一电压源。电流在原电路中的分配无法确定。 其它形式的电压源并联无意义。 2.5.3 Parallel Connected Current Sources 电流源的并联 对于 n 个电流源的并联电路，可将其等效成一个电流源： is＝ is1+ is2+ … + isn＝ Σ isk 式中，isk 的方向与 is 方向一致者，取正号，反之取负号。 2.5.4 Series Connected Current Sources 电流源的串联 电流源串联时，必须是电流取值相等，且方向一致，此时可将其等效成一个电流源。其等效电流源是原电路中任一电流源。在原电路中，电压如何分配无法确定。 其它形式的电流源串联无意义。 2.6 Two Models of Real Powers and Thear Equivalent Conversions 实际电源的两种模型与等效变换 2.6.1. 实际电源与理想电源 实际电源都有内阻，但其 V-I 特性曲线仍是直线。 认为实际电源内阻为 0 ，是将实际看成理想电源。 2.6.2 实际电源的等效电路－电压源串联一个电阻 图中 ru 为实际电压源内阻； us 为实际电源的开路电压； Isc 为实际电源短路电流： Isc ＝ us / ru 伏安特性：u＝ us － ru ×i 2.6.3 实际电源的等效电路－电流源并联一个电阻 图中 ri 为实际电流源内的电阻； is 为实际电源的短路电流； usc 为实际电源的开路电压： usc ＝ isri 伏安特性：i＝ is － Gu 2.6.4 两种等效电路的转换 一个实际电源可以用上述两种等效电路的任意一种来表示，还可以根据实际需要从一种转换成另一种。 2.6.5 举例 利用电源等效变换方法，求图示电路的电流 i。 答案： i=[2.5/(5+5)]/2=0.125A 2.7 Imput Resistors of Cercuits 电路的输入电阻 一个电路或一个电路的一部分，如果它向外引出了两个端子，电流从一个端子流入，从另一个端子流出，这样的电路叫做一端口网络，或二端网络。 如果一个二端网络中只有电阻性元件和受控源。那么，从该两端看进去，它们所呈现的电阻叫输入电阻，用 Rin 表示。 一个二端网络的输入电阻在数值上等于它的 “等效电阻”。因此，可用下列方法求该输入电阻： 给该二端网络加以电压源 us (或电流源 is )，计算出输入电流 i (或两端电压u )，然后取两者之比： Rin ＝ us / i 2.7.2 举例 图示电路中的电阻全部为1欧姆，求输入电阻 Rin。 加一个电压源 us，设流入的电流为 i，根据KVL，有： us＝i×1.6－1.2i＝0.4i 伏 Rin= us/i =0.4 欧姆 本章介绍线性电阻电路方程的建立方法。内容包括：电路图论的初步概念，支路电流法，网孔法，回路法和结点电压法。 3.1 The Graph of Circuits 电路的图 Kirchholff's 定律反映的是电路各支路中电流关系和电压关系，这种关系只与电路的结构有关，而与元件的具体性质无关。因此，在进行电路分析时，可将被分析的电路简化，即用数学中的点和线来表示实际电路。 3.1.1 图－实际电路的抽象表示 用线段表示电路的支路，用圆点表示电路的节点，那么，由这些线条和圆点构成的图形称为电路的图。 请注意： 电路的图说明了电路中的支路与节点之间的关系，图的形状、线段的曲直不影响图的性质。 电路的图不是唯一的。如果对电路中的某些支路进行等效变换，图的结点数和支路数也随之变化。 3.1.2 有向图与无向图 有向图:每条线段都有方向的图。其方向为对应支路的电流参考方向，电压则取关联参考方向。 无向图:每条线段没有赋予支路方向的图。 3.1.3Connected Graph，Non-Connected Graph 联通图与非联通图 Connected Graph连通图: 图G的任意两个结点之间至少存在一条路径时，G就称为连通图。 Non-Connected Graph非连通图: 图G中至少有两个结点不能用支路联通，G就称为非连通图。 3.1.4 Tree，Branch，Link 树、树支、连支 树 Tree－ 一个连通图的联通子图，它包含了图的全部结点和部分支路，但不构成任何回路。 树支、连支 Branch,Link－ 树上的支路称为树支，而其它支路则称为连支。树支和连支一起构成图的全部支路。 特别注意： 树不唯一； 树支数＝结点数－1＝n－1 连支数＝支路总数－树支数＝b－(n－1) 3.1.5 平面图与非平面图 一个电路中，各支路仅在结点处相交，除此之外不再相交，这样的图称为平面图，否则称为非平面图。 3.2 The Independent Equations of KCL and KVL KCL和KVL的独立方程数 3.2.1 KCL独立方程数与独立结点 将上四个式子相加，得出 0=0 的结果，说明这 4 个方程不是相互独立的（为什么？）。但是任意去掉一个方程后，剩下的三个方程是相互独立的。 结论：对于具有 n 个结点的电路，在任意 (n-1) 个结点上可以得出 (n-1) 个独立的 KCL 方程。相应的 (n-1)个结点称为独立结点。 3.2.2 回路与独立回路 在一个图中，从一个节点出发，经过其它节点仅一次，最后回到起始节点，那么，这条闭合路径就构成了该图的一个回路。 一个图中有多少个不同的、相互独立的回路呢？怎样确定出这些独立回路呢？ 3.2.3 依据连支数确定独立回路 对于一个给定的图，假设总支路数为 b ，总节点数为 n ， 则它的任何一个树的树枝数为： ( n - 1 ) ； 连支总数为： ( b - n +1 ) 。 对于一个给定的树，加入一个连支后，就会形成一个回路，并且此回路除所加连支外均由树支组成。这样的回路称为基本回路，也叫单连支回路。 对于一个选定的树，由它的全部连支形成的基本回路构成基本回路组，这基本回路组便是独立回路组。（这是因为每一个基本回路仅含一个连支，且这一连支并不出现在其它基本回路中)。 基本回路数目 = 连支数目= b - n + 1 例如下图：b＝8，n＝5，树支数＝n-1＝4，连支数＝b-(n-1)＝8-4＝4。 结论：对于具有 n 个结点，b 条支路的电路，根据其基本回路，可以得出 ( b - n + 1 )个独立的 KVL 方程。 3.2.4 依据网孔数确定独立回路 一个网孔就是平面图的一个自然 “孔” 。一个网孔中一定含有一条其它网孔不含的支路，因此，平面图的全部网孔就是一组独立回路，其数目是 ( b - n + 1 )。 特别注意：具体回路的选取，根据解决问题的方便而定。 此方法适用于非平面图吗？ 3.3 Branch Current Method 支路电流法 对于给定的电路，怎样计算出每一条支路的电流和电压呢？ 3.3.1 未知变量总数与独立方程总数 假设给定的电路具有： b 条支路， n 个结点； 采用关联电流电压方向，每条支路有未知量： i， u 两个； b 条支路一共有未知量： 2b 个，即 i k 、u k，( k =1,2, … b)； 独立方程数： ( n -1) 个独立的 KCL 方程； ( b - n + 1) 个独立的 KVL 方程； b 个 VCR 方程 (每条支路一个 u-i 关系式)； 方程总数： ( n -1) ＋ ( b - n + 1) ＋ b ＝ 2b 结论：以支路电压和支路电流为电路变量列写方程时，总计有 2b 个未知量。根据 KCL 列出 (n-1) 个独立方程，根据 KVL 列出 (b-n+1) 个独立方程，根据元件的 VCR 又可列出 b 个方程，总计方程数为 2b，与未知量数目相等，故可由 2b 个方程解出 b 个支路电压 uk 和 b 个支路电流 ik 。 3.3.2 支路电流法的原理 实际上，只要计算出所有支路的电流 i k ，问题就已解决。这是因为，知道 i k 后，如果还要求该支路上的电压 u k ，运用该支路的 VCR 即可。这种只计算支路电流的方法叫支路电流法。 支路电流法的应用步骤： 画出电路的图； 标出各支路的电流方向； 选定 ( n - 1 ) 个独立结点，写出 ( n - 1) 个 KCL 方程； 选定 ( b - n + 1 )个独立回路，并指定回路的绕行方向，写出 ( b - n + 1 ) 个 KVL 方程； 在 ( b - n + 1 ) 个 KVL 中，用电流 ik 表示出 uk ，即得 b 个含有 b 条支路电流的方程； 联立这 b 个方程，解出 b 个电流 i 。 3.3.3 举例 如图示电路，求各支路电流： i k n＝2，b ＝ 3 ，未知电流：i1、i2、i3； 怎样得知三个电阻上的电压？各元件吸收功率？(PU发= 18W) “支路电流法” 具有普适意义：1.适用任何结构的电路；2.直接求得每一条支路上的电流。 3.4 Mesh Current Method 网孔电流法 3.4.1 网孔电流法原理 “网孔电流” 是假想的沿着网孔边界流动的电流。 一个平面图的全部网孔是一组独立回路，故有 ( b - n + 1 ) 个网孔； 可以人为地指定 ( b - n + 1 ) 个网孔电流的方向； 对于每一个网孔，应用 KVL ，可得到 ( b - n + 1 ) 个方程； 解出网孔电流后，支路电流则是网孔电流的叠加。 “网孔电流法” 的特点是：求解方程数比支路电流法少，但支路电流还要进一步计算。 3.4.2 举例 图示电路，求解各支路电流： i k 可见： n = 4 ， b ＝ 6 ， 网孔数 ＝ b - n + 1 ＝ 3 ； 根据图设的三个网孔电流，有KVL方程： 将上面的 KVL 方程再改写： 式中 R11＝ R1+ R5+ R4 称为网孔 1 的自阻； R12＝－ R5 称为网孔 1 和网孔 2 的互阻； us11 ＝ us1 － us4 是对网孔 1 的电流有贡献的电压源的电压代数和。 直接使用公式计算时注意： 网孔电流按顺时针取向； 自阻取 “＋” 号，互阻取 “－” 号； usmm 按提供电流者取 “＋” 号，否则取 “－” 号。 对于本例题，从方程解出 imj 后，再叠加出每一条支路的电流ik。 3.5 Loop Current Method 回路电流法 网孔电流法只适用于平面图，回路电流法既适用平面图，也适用非平面图。 3.5.1 回路电流法的原理 一个联通图，支路数 b ，节点数 n ，树支数 ( n - 1 ) ，连支数 b - ( n - 1 )； 选定一个树，加上一个连支，就构成一个回路，指定回路电流为 i l1，也称为连支电流。对此回路应用 KVL ，得一 KVL 方程； 加上第二个连支，就构成第二个回路，指定回路电流为 i l2，对此回路应用 KVL ，又得一 KVL 方程； ………… 最后得到：(b － n + 1) 个回路电流变量，和同样多的 KVL 方程； 连立求解得各回路/连支电流； 再叠加求出各支路电流。 如果象下图粗线所示选取树，则基本回路就是三个网孔。这说明回路电流法比网孔电流法更普遍。 3.5.2 举例 类似，R 11称为自阻，R 12称为互阻。自阻恒取 “＋” ，互阻符号取法：当回路电流方向与支路电流方向一致时取 “＋” ，否则取 “－” 。电压源符号同网孔电流法。 3.5.3 无伴电流源的处理 问题的提出：回路电流法是基于KVL方程的，即： Σ u k ＝ 0 但方程中并没有未知量 uk ，而是用回路电流 ilk 表示每一个支路的电压 u k 的。如果某条支路电压不能用回路电流表示出来，怎么办？例如只有一个电流源？ 无伴电流源: 无并联电阻的电流源就称为无伴电流源。 处理方法: 除将回路电流 ilk 作为未知量外，将无伴电流源两端的电压 u 也作为一个未知变量列入方程，同时再增加一个该支路的电流方程 ik ＝ is。这样，虽然多了一个变量，但又多了一个方程，且无伴电流源所在支路的电流为已知。 3.5.4 举例 求如下图示电路中的电流 I1。 b = 5 ， n ＝ 3 ， b － n ＋ 1 ＝ 3 ； 未知量：5 个 ， 方程 5 个 ： 如果选取如下所示回路，问题变得更简单：4 个未知量，4 个方程： 支路电流同上。 3.6 Node Voltage Method 节点电压法 3.6.1 结点电压的定义 将电路中某一节点的电位指定为 0 ，其它节点相对于此节点的电压就称为节点电压。 图示电路： b ＝ 6 ， n ＝ 4 。 3.6.2 结点电压法原理 以结点电压 u n 为求解变量，列出每结点的 KCL 方程，然后求解。 选中一个节点，令其电位为 0 ； 用结点电压 u n 表示出各支路电流 i k ； 列出剩余 ( n － 1 ) 个节点的 KCL 方程； 求解方程，得节点电压 uk； 再计算每条支路的电流和电压。 G11是与节点①相联的电导，叫自由导，取 “＋” 号； G12是与节点①与节点②之间的互导，取 “-” 号； i 11是电流源流入节点①的电流代数和。 解出节点电压后，每条支路的电压也即算得，支路电流也就可得了。 本题各支路电流是多少？ 3.6.3 无伴电压源的处理 节点电压法可处理电路中任何形式的电流源，但不能处理无伴电压源。因为无伴电压源 usk 不能表示出该支路的电流 i k。 遇到此情况，将i k 作为一个未知量设出，再增加一个含有已知量u sk 的支路电压方程 unk ＝ usk ，再求解。 3.6.4 无伴电压源处理举例 用节点电压法计算图示电路中电源 uS2 提供的电流 iS2。 分析：b＝9，n＝5， 正常情况下，用节点电压法，列出 4 个方程即可； 但有三条支路是无伴电压源，要增加 3 个方程，共 7 个方程，那就不如用回路电流法－5个方程； 但题目要求用节点电压法，原则上可以用 7 个方程解决问题； 为了避免过多地设出电流变量，将部分无伴电压源部分包在一个闭合面 S 之内，在 S 面内的支路不用设出电流变量，仅仅 S 应用KCL即可； uS2不能包含在 S 面内，是因为要计算电流 iS2； 除 i1 外，所要用的支路电流都用节点电压表示出来； 后三式是辅助方程； 包括 S 平面，共有三个节点，故独立节点有两个： (验证 S 面的 KCL 不独立) ①和④两个方程有下列未知量： i1、un1、un2、un3、un4； 将三个辅助方程代入，将消去三个未知量： （最后一步是否正确？） | 00 | 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | 11 | 12 | 本章介绍一些重要的电路定理，其中有叠加定理（包括奇性定理）、替代定理、戴维宁定理、诺顿定理、特勒根定理、互易定理、对偶原理。 4.1 The Superposition Theorem 叠加定理 4.1.1 叠加定理的表述 在一线性电路中，当有多个独立电源共同作用时，则任一支路中的电压和电流都是各独立电源单独作用时，在相应支路上产生的电压或电流的代数叠加。 最值得研究的是，当考虑某一电源产生的响应时，其它电源如何处理？ 从以上四个表达式可以看出： i '2 是电压源 us在 R2 上产生的电流； i ''2 是电流源 is 在 R2上产生的电流； u '1 是电压源 us 在 R1上产生的电压； u ''1 是电流源 is 在 R1上产生的电压； 以同样的方式考察一下 R2 两端的电压，通过 R1 的电流 …… 故，可得结论： 不考虑电压源－将电压源置零，即将其短路； 不考虑电流源－将电流源置零，即将其开路； 推而广之： 多个电源共同作用时，各支路电压、电流将是每个独立电源分别激励时在相应的支路产生的电流、电压的叠加。 叠加定理体现了线性电路的本质特征 —— 可叠加性。 从数学角度讲，叠加定理体现了线性方程的可叠加性： 式中，xk 是待求变量，bjj 是激励源。解是激励源产生的响应的叠加！ 使用时注意事项： 叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路； 不作用的电压源置零，用短路代替；不作用的电流源置零，用开路代替。其它所有电阻都不动，内阻也保留； 叠加时，应注意各分量前的“+”、“-”号或方向； 受控源则保留在各分电路中，不参与叠加； 不能应用叠加定理计算功率，因为功率不是电压和电流的一次函数。 4.1.2 举例 图示电路，已知： R1＝2Ω， R2＝1Ω， us ＝10v， is＝3A， g＝2Ω，求 ix。 受控源不能独立作用电路，必须保留在电路中。 1. 先考虑 us 的作用，将 is 断开： 2. 再考虑 is 的作用，将 us 短路： 所求结果为： （能用其它方法验证吗？） 4.1.3 齐性定理 在线性电路中，当所有激励（电压源和电流源）都同时增大或缩小 K 倍（K 为实常数）时，响应（电压和电流）也将同样增大或缩小 K 倍。 注意： 激励是指独立电源； 必须是全部激励同时增大或缩小 K 倍； 用齐性定理分析梯形电路特别有效。 从方程组中可看出其原理： 对上一个例子，令电压源和电流源都增加 1 倍，并用网孔电流法验证两个定理的正确性： 4.2 The Substitution Theorem 替代定理 4.2.1 定理表述 对于一个线性电阻电路，如果其中第 k 个支路电压 uk 、电流 ik 已知，那么，该支路可用下列任一种元件来代替：① 电压为 uk 的电压源；② 电流为 ik 的电流源；③ 阻值为 R＝uk/ik 的电阻。替代后，原电路各支路电压电流不受影响。 4.2.2 说明 被替代的支路可以是电阻、电压源与电阻的串联、电流源与电阻的并联，甚至可以是一个网络。 注意：k 支路中含有受控源，则该支路不能被替代。 替代定理主要用在推导其它线性网络定理，它可以简化电路。 4.3 Tevenin's Theorem 戴维宁定理 4.3.1 定理表述 一个由独立电源、受控源和线性电阻组成的二端线性网络，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联来等效。此电压源的电压等于该线性网络的开路电压，电阻则等于该网络中所有独立电源全部置零后的输入电阻。由此得到的电路称为戴维宁等效电路。(等效电阻有时叫戴维宁等效电阻) 证明从略。 4.3.2 举例 用戴维宁定理计算图示电路中 RL 中的电流 i。 先用支路电流法求解如下： 用戴维宁等效电路求解如下： ① 求 uoc，如下图所示： ② 求 Req，如下图所示： 得所求电流： 得结论：戴维宁定理是成立的。 (能得到电桥平衡条件吗？) 4.4 Norton's Theorem 诺顿定理 4.4.1 定理表述 一个线性含源二端网络，可以用一个电流源和电阻的并联来等效。此电流源的电流等于网络的短路电流，电阻等于该网络中所有独立源置零后的等效电阻。电流源和电阻的并联称为诺顿等效电路。 证明从略。实际上，如果戴维宁定理成立，诺顿定理也一定成立。 4.4.2 举例 求图示电路的戴维宁等效电路和诺顿等效电路，其中：i c ＝ 0.75 i1。 ① 求开路电压 uoc： ② 求短路电流 isc： ③ 求电源内阻 Req： 决不能因为独立电源置零而使受控电流源为零，最后导致在其开路的情况下计算内阻！ ④ 验证戴维宁等效电路和诺顿等效电路是否等效？ 说明了：用诺顿等效电路是方便一些；用开路电压和短路电流可计算电源内阻。 最后注意：当含源一端口内部含受控源时，在它的内部独立电源置零后，输入电阻或输入电导有可能为零或为无限大，并有可能是一个线性负电阻。 4.5 Maxmum Power Transfer Theorem 最大功率传输定理 The maxmum power transfer theorem is important when you need to know the value of the load at which the most power is delivered from the source. 实际中，象电压源、电流源、信号源等，尽管它们的内部结构不同，但它们都属于有源二端网络，其目的是向外输出。因此可以把它们等效为电压源或电流源。 有意义的问题是与之相连的负载能得到多少能量？在什么条件下，负载获得的能量或功率达到最大？ 求传输功率最大的条件是： 通常称 RL＝R0 为最大功率匹配条件。 特别值得注意的是：不能将最大功率传输条件理解为，要使负载功率最大，则应使等效电源内阻 R0 等于负载电阻 RL。 实际上，当 R0 ＝ 0 时，负载获得的功率最大。 例题 图示电路，问 RL 取何值时得到的功率最大？该功率是多少？ ① 求负载电阻的取值： 从数值上讲，RL ＝ R0 时，获得功率最大，故求 R0 。 方法是将原电路中独立电源置零，外加一个电流源 is ，求输入电阻： ② 求负载电阻吸收的最大功率： 4.6 Tellogen's Theorem 特勒根定理 Tellogen's Theorem 是电路理论中与 Kirchholff 's Law 等价的一条基本定理，因此，它适用于一切集总参数的电路。 4.6.1 特勒根功率定理 对于一个具有 n 个节点和 b 条支路的电路，假设各支路电流与电压取关联参考方向，表示为：i1、u1 ， i2、u2 ， …… ，ib、ub，则在任何时刻 t ，有： 特勒根功率定理的实质是：功率守恒。这是一个普适定理，因此，它适用于一切集总电路，而不管它是线性的、非线性的、时变的、时不变的。 以特例来证明： 4.6.2 特勒根似功率定理 有两个电路，假设它们的节点数、支路总数相同，图也相同，支路上的元件可以不同。并假定各支路电流和电压取关联参考方向，则两电路对应支路电压和电流的交叉乘积代数和为零： 该定理描述的是两个具有相同拓扑结构的电路，其电压电流之间满足的一个数学关系式，没有具体的物理含义，因此称为 “ 似功率定理 ”。 证明与上述类似，此处从略。 4.7 Reciprocity Theorem 互易定理 4.7.1 互易定理的内容 在网孔电流法中，有互阻 R ij ＝ R ji ，在节点电压法中，有互导 G ij ＝ G ji ，这一现象已经向我们暗示出电路中一条重要性质－互易性。 互易定理则描述了线性电阻电路中的激励与响应的可互换性。 对于一个仅含线性电阻的电路，在单一激励下产生的响应，当激励和响应互换位置时，其比值保持不变。 4.7.1.1 互易定理的第一种形式 对于一个线性电阻电路，单一电压源 U s 在 1－1’支路中作用，而在 2－2’支路中产生了电流 i 2 ， i 2 的值等于将电压源 U s 移到 2－2’支路上作用，在 1－1’支路中产生的电流 i1 的值。电流电压方向选关联参考方向。 4.7.1.2 互易定理的第二种形式 对于一个线性电阻电路，单一电流源 i s 在 1－1’支路中作用，而在 2－2’支路中产生了电压 u 2 ， u 2 的值等于将电流源 i s 移到 2－2’支路上作用，在 1－1’支路中产生的电压 u1 的值。电流电压方向选关联参考方向。 4.7.1.3 互易定理的第三种形式 对于一个线性电阻电路，单一电流源 i s 在 1－1’支路中作用，而在 2－2’支路中产生了电流 i 2 ， i 2 的值等于将电流源 i s 移到 2－2’支路上作用，在 1－1’支路中产生的电流 i1 的值。电流电压方向选关联参考方向。 4.7.2 互易定理的证明 如下图所示，两电路图中的 NR 完全相同，因此两电路的图(Graph)相同，所不同的是 1－1’和 2－2’ 支路中的内容不同。 应用特勒根似功率定理，有： 互易定理第三种表述的证明读者自便。 4.7.3 互易定理的应用 电路如图所示，求电流 i。 如果用支路电流法求解：b=6 ，n=4 ， 要写出 b=6 个方程：3个节KCL方程＋3个回路KVL方程 再用互易定理，原电路图可改化如下： 计算如下： 4.8 Principle of Duality 对偶原理 电路理论中的许多概念、许多公式都是成对出现的，其表述方式、数学关系具有完全的相似性。 例如欧姆定律的数学表示式： 例如基尔霍夫定律的表述： 每个节点上各支路电流的代数和恒等于零 Σ ik＝0。 每一回路上各支路电压的代数和恒等于零 Σ uk＝0。 则可以说：节点←→回路，电流←→电压为对偶元素。 例如网孔电流法公式： 节点电压法的公式： 形式完全相似。即节点电压←→网孔电流为对偶元素。 对偶原理的表述：“ 如果电路中某一定理（或方程）的表述是成立的，则将其中的概念（或变量）用其相应的对偶概念（或变量）置换后所得到的对偶表述（或方程）也将是成立的。” 对偶原理的重要性在于，如果推导出一个结论，就等于同时推导出了另一对偶结论。 注：“对偶”与“等效”是两个根本不同的概念。 | 00 | 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | 11 | 12 | 本章介绍动态元件和动态电路的一些基础知识。 5.1 Dynamic Elements 动态元件 对于一个电路元件而言，流过它的电流与其两端电压呈时间的导数关系，那么，这种元件被称为动态元件。 象电容元件、电感元件就是动态元件。 动态元件的特点： 能够储存电磁能量； 具有记忆功能。 5.2 Unit-step Function and Unit-impulse Function 单位阶跃函数和单位冲激函数 分析动态电路中的电参量如电流、电压时，必须将其表示成一个随时间变化的函数。 实际上，在某个时刻，将开关闭合或断开，就可表示成一个函数。 5.2.1 Unit-step Function 单位阶跃函数 在 t ＝ t 0 时刻，将直流电压源 U 0 与电路接通，可表示成： 定义一个名为“单位阶跃函数”： 函数在 t ＝ 0 时，发生了跃变。但为了问题的方便，认定： ε ( t ＝ 0－ ) ＝ 0 ε ( t ＝ 0＋ ) ＝ 1 显而易见： 只要令 t' ＝ t － t0 即可。 上述直流电源的开关例子可表示为： u( t )＝ u0 ε ( t － t0 ) 一个幅度为 I0 的矩形脉冲，可以用单位阶跃函数表示成： 5.2.2 Unit-impulse Function 单位冲激函数 单位冲击函数是另一个奇异函数，用 δ (t) 表示，其定义为： 由定义可见， δ(t)只存在于 t ＝ 0 时刻，故有： δ(t)的性质有： δ(t) 与 ε(t) 的关系证明如下： 例如：如果在 t ＝ 0 时刻，将恒压源 U0 加到一个事先没有电荷的电容 C 上，则有： 得结论： 充电前后，电容电压发生跃变 0→U0； 流过电容的电流为冲激电流 CU0δ(t)； 电容极板上的电荷量的跃变是有限的，为冲激电流的强度 CU0。 又例如，如果在 t ＝ 0 时刻，将恒流源 I0 加到一个事先没有电流的电感 L 上，则有： 得结论： 给电感接上恒流源前后，迫使电感电流发生跃变 0→I0； 电感两端产生的感应电动势为冲激电压 LI0δ(t)； 电感中的磁匝链数的跃变是有限的，为冲激电压的强度 LI0。 5.3 Dynamic Circuits and Input-output Equations 动态电路及其输入输出方程 含有动态元件的电路称为动态电路。 动态电路所满足的电路方程称为输入输出方程。 基尔霍夫定律是分析电路的根本定律，适用于线性电路、非线性电路、时不变电路、时变电路。 对于一个简单的动态电路，已知电路元件参数 R、L、C，和电压源 us(t) ，求电容两端电压 uC (t) ： 解决此问题的思路是：先写出 KVL 方程，然后利用电容、电感的电流电压约束关系代换未知量，最后将方程整理成只含一个要求的未知函数 uC (t) 的方程。 如上所示，只要求得 uC ( t )，就可求得 i、uR ( t )、uL ( t )。 对于一个较复杂的动态电路，已知电路元件参数R1、L1、C1、R2、L2、C2，和电压源 us( t ) ，求电流 i1 ( t ) 随时间的变化： 解决此问题的思路是：写出两个回路的 KVL 方程，利用电容、电感的电流电压约束关系代换未知量，并消去未知量 i2 ( t )，最后得到只含一个要求的未知函数 i1 ( t ) 的微分方程。 解出 i1 ( t ) 后，就可求得其它元件的电压和电流表达式了。 由以上分析可得结论：对于一般的动态电路，运用基尔霍夫定律，总可以得到一个单未知量的输入输出方程。电路越复杂，动态元件越多，得到的微分方程的阶数越高。 (微分方程的阶数与动态元件的个数有关系吗？) 5.4 Circuit's Initial State and Equation's Initial Condition 电路的初始状态与方程的初始条件 由高等数学知识可知，n 阶常系数线性微分方程的通解中含有 n 个待定的积分常数。这些积分常数要由微分方程的初始条件来确定。 初始条件包括输出函数的初始值、输出函数的一阶到 ( n －1) 阶导数的初始值。即： y | t=0 、 y' | t=0 、 y'' | t=0 …… y (n-1) | t=0 的值。 一般选 t＝0 为初始时刻。它是电路与电源的接通、断开的时刻。 这种电路连接方式的突然改变、使得电路的电磁状态也突然改变的过程称为 “ 换路 ” ( Switching ) 。 这个过程被认为是在 t＝0 时刻瞬间完成的。 显然，在 t＝0 之前，电路是一种状态，在 t＝0 之后，电路是另一种状态。我们规定：t＝0－ 表示换路前的时刻，它与 t＝0 时刻的间隔趋于 0 ； t＝0＋ 表示换路后的时刻，它与 t＝0 时刻的间隔也趋于 0 。 因此，初始条件可表示成： y | t=0+ 、y' | t=0+ 、y'' | t=0+ …… y (n-1) | t=0+ 的值。 至于 t＝0－ 和 t＝0＋ 时刻电路参