第二章极限与连续2.5极限存在性定理与两个重要极限一、极限存在性定理1、夹逼定理：设在恒有:且有则极限存在，且注：（1）对极限的其他5种情形，也有类似的结论成立如在时，恒有：且则极限存在，且（2）对于数列的极限也有类似的夹逼定理成立，即：若存在正整数当时，有且则存在，且例1：求下列极限①②利用夹逼定理可求极限2、数列有界性、单调性的定义定义：设有数列（1）如果则称数列有界.（2）如果则称数列是单调增加的.（3）如果则称数列是单调减少的.特别地：若则称数列有上界.若则称数列有下界.3、数列极限存在准则定理：单调有界数列必有极限.（1）单调增加数列有上界，则极限存在.（2）单调减少数列有下界，则极限存在.注：二、两个重要极限1、ocBDAx证明：夹逼定理注：（1）当是等价的无穷小量与即（2）（3）即当与是等价的无穷小量.例2：求结论：①即当是与等价的无穷小量.（即当与是等价的无穷小量.③②例3：的应用举例.①②③替换定理：求两个无穷小量之比的极限，可用它们的等价无穷小量之比来代替.注：①无穷小量的替换只能在乘除关系中，不能用于加减关系的无穷小量；②替换的一定是等价无穷小量；③用形式简单的替换复杂的.则存在，且即:（1）在同一过程中，都是无穷小量（2）（3）存在；①②③④⑤在的过程中，常用的等价无穷小量注：②的下述做法正确吗？为什么？错，因为替换定理不能用于加减关系错，因为不满足极限四则运算的条件例4：替换定理的应用举例.②①③④2、注：⑴该极限的特征有四点：一是底数第一项为1，二是底数第二项在时趋于0，三是指数在时趋于∞，四是底数的第二项与指数互为倒数.⑵⑶⑷本重要极限的其他等价形式①②③④⑤⑥例5：的应用举例.①②③④一般地，求幂指函数极限时.若则：例6：求形如的函数，称为幂指函数.三、幂指函数的极限解例1：①四、例题解答②解例2、例3、例4：①②如书；解例4：③④如下③④解例5如下：①②③④解例6如书
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