线性代数第二章矩阵试题及答案

第二章矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由mn个数排列成的一个m行n列的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个mn型矩阵。例如2-101111102254-29333-18是一个45矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵:对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵:对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵:对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE.上三角矩阵:对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵:对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足AT=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)正交矩阵：若AAT=ATA=E，则称矩阵A是正交矩阵。（1）A是正交矩阵AT=A-1（2）A是正交矩阵2A=1阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足:①如果它有零行，则都出现在下面。②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零行数和台角位置是确定的。3、矩阵的线形运算1）加(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B(A-B),运算法则为对应元素相加(减).2）数乘:一个mn的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作cA,运算法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.④数乘结合律:c(d)A=(cd)A.⑤cA=0c=0或A=0.4、矩阵乘法的定义和性质（1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB.AB的行数和A相等,列数和B相等.AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.即：AmsBsnCmn矩的乘法在上与数的乘法有不同:①矩乘法有条件.②矩乘法无交律.即ABBA③矩乘法无消去律：即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A0推不出B=C.(无右消去律)注意不要犯一种常的:把数的乘法的性地搬用到矩乘法中来.矩乘法适合以下法:①加乘分配律A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性(cA)B=c(AB).③合律(AB)C=A(BC)（2）n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n矩A和B都可以相乘,乘AB仍是n矩.并且有行列式性:|AB|=|A||B|.如果AB=BA,A和B可交.方k是正整数,n矩A的k次方Ak即k个A的乘.定A0=E.然A的任何两个方都是可交的,并且方运算符合指数法:AkAh=Ak+h.②(Ak)h=Akh.但是一般地(AB)k和AkBk不一定相等!矩的多式：f(x)=amxm+am-1xm-1+⋯+a1x+a0,n矩A定f(A)=amAm+am-1Am-1+⋯+a1A+a0E.称A的一个多式.特注意在常数上加位矩E.乘法公式一般地,由于交性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式于n矩的不再成立.但是如果公式中所出的n矩互相都是互相可交的,乘法公式成立.例如当A和B可交换时,有:(AB)2=A22AB+B2;A2-B2=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B).二展开式成立:(AB)CAB等等.1前面两式成立是A和B可交的充分必要条件.乘积矩阵的列向量组和行向量组A是mn矩B是ns矩，A的列向量1,2,⋯,n，B的列向量1,2,⋯,s，AB的列向量1,2,⋯,s，根据矩乘法的定容易看出(也是分法的特殊情形):AB的每个列向量:i=Ai,i=1,2,⋯,s.即A(1,,⋯,s)=(A,A,⋯,As).212②=(b1,b2,⋯,bn)T,A=b11+b22+⋯+bnn.用两个性可以得到:如果i=(b1i,b2i,⋯,bni)T,i=AI=b1i1+b2i2+⋯+bnin.即:乘矩AB的第i个列向量i是A的列向量1,,⋯,n的性合，2合系数就是B的第i个列向量i的各分量。似地,乘矩AB的第i个行向量是B的行向量的性合，合系数就是A的第i个行向量的各分量。以上律在一般教材都没有,但只要矩乘法稍加分析就不得出.它无在理上和算中都是很有用的.利用以上律容易得到下面几个推:①用角矩从左乘一个矩,相当于用的角上的各元素依次乘此矩的各行向量，用角矩从右乘一个矩,相当于用的角上的各元素依次乘此矩的各列向量。111a1222a2mAmn3a33m44a41Ama1a2a3a422a23a34a41a1m②数量矩kE乘一个矩相当于用k乘此矩；位矩乘一个矩仍等于矩。③两个同角矩的相乘只用把角上的元素相乘。④求角矩的方只需把角上的每个元素作同次方。5、矩阵的行列式An方，由A的元素所构成的行列式称A的行列式，表示|A|。若A的行列式|A|0，称A为非奇异方阵，|A|=0，称A为奇异方阵|AB|=|A||B||cA|=Cn|A|.6、矩阵的转置把一个mn的矩A行和列互，得到的nm的矩称A的置，作AT(或A)。有以下律：(AT)T=A.②(A+B)T=AT+BT.③(cA)T=cAT.④(AB)T=BTAT.⑤|AT|=|A|7、矩阵的等价矩的等价的充分必要条件它型相同,秩相等.命题：两个m*n矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶满秩矩阵P及n阶满秩矩阵Q，使得A=PBQ8、矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)矩方程矩不能定除法，乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩方程:(I)AX=B.(II)XA=B.里假定A是行列式不0的n矩，在此条件下，两个方程的解都是存在并且唯一的(否解的情况比复.)。当B只有一列,(I)就是一个性方程.由克莱姆法知它有唯一解.如果B有s列,B=(1,2,⋯,s),X也有s列,X=(1,2,⋯,s),XXX有i=i,i=1,2,⋯,s,是s个性方程，由克莱姆法,它都有唯一解，AX从而AX=B有唯一解。些方程系数矩都是A，可同求解，即得(I)的解法：将A和B并列作矩(A|B)，它作初等行，使得A位矩,此B解X(A|B)(E|X)。(II)的解法：两置化(I)的形式:ATXT=BT，再用解(I)的方法求出XT，置得X.：(AT|BT)(E|XT)矩方程是年考中常的型,但是考真往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等形化以上基本形式再求解。可逆矩阵的定义与意义定：A是n矩，如果存在n矩B，使得AB=E，BA=E，称A可逆矩，此B是唯一的，称A的逆矩，通常作A-1。定：两个矩如果可以用初等互相化,就称它等价.如果A可逆，A在乘法中有消去律：AB=0B=0；AB=ACB=C.(左消去律)；BA=0B=0；BA=CAB=C.(右消去律)如果A可逆，A在乘法中可移(化逆矩移到等号另一)：AB=CB=A-1C，BA=CB=CA-1由此得到基本矩方程的逆矩解法：(I)AX=B的解X=A-1B(II)XA=B的解X=BA-1.种解法想法自然，好，但是算量比初等法大(多了一次矩乘运算).矩阵可逆性的判别与性质定理n矩A可逆|A|0.明充分性：AA-1=E两取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|0.(并且|A-1|=|A|-1.)必要性：因|A|0,矩方程AX=E和XA=E都有唯一解.B,C分是它的解,即AB=E,CA=E.事上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定得到A可逆.推如果A和B都是n矩,AB=EBA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,A和B都可逆并且互逆矩.可逆矩有以下性:如果A可逆,A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.②AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T.③当c0,cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1.④任何正整数k,Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.(定可逆矩A的整数次方A-k=(Ak)-1=(A-1)k.)如果A和B都可逆,AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(自己推广到多个可逆矩乘的情形.)⑥初等矩都是可逆矩,并且E(i,j)-1=E(i,j),E(i(c))-1=E(i(c-1)),E(i,j(c))-1=E(i,j(-c)).逆矩阵的计算和伴随矩阵算逆矩的初等法当A可逆,A-1是矩方程AX=E的解,于是可用初等行或列求A-1:初等行：A|EE|A1初等列：AEEA1个方法称求逆矩的初等法.它比下面介的伴随矩法得多.②伴随矩若A是n矩，Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式，定A的伴随矩A11A⋯An121A*=A12A22⋯An2=(Aij)T.A1nA2n⋯Amn注意，定n矩A的伴随矩并没有要求A可逆，但是在A可逆,A*和A-1有密切关系。基本公式:①AA*=A*A=|A|E.②A-1=A*/|A|,即A*=|A|A-1.因此可通求A*来算A-1.就是求逆矩的伴随矩法.和初等法比,伴随矩法的算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩.于2矩ab*d-bcd=-ca,ab1db因此当ad-bc0,1cdadbcca二例题一、填空1．1,2,3,,均4向量,A=[1,2,3,],B=[1,2,3,],且|A|=2,|B|=3,|A－3B|=______.解：|A3B|2122233=81233=8(1233123)8(|A|3|B|)562．设Aa1a2Lan，则AAT，ATA．a1解：AATa1,a2ana2a12a22an2ana1a12a1a2a1anTa2a1,a2ana1a2a22a2anAAana1ana2anan23．若任意n×1矩X,均有AX=0,A=______.解：假A1m,i是A的列向量。于j=1,2,⋯,m,Xj010T，第j个元素不0，所以1m010Tj0(j=1,2,⋯,m).，A=0。4．n向量(1,0,,0,1),矩AET,BE2T其中E22n位矩,AB=解：ABEaTaE2aTaEaTa2aTaaTaE113A2E,则B1=______.5．矩A,BA223解：A21111142323=87BA23A2E=14－33+20210=8769220*1B1B101=02|B|22211或者：2110211020012001011101116．n矩A足A22A3E0,则A1=______.解：由A22A3E0,得A(A2E)3E.所以|A||A2E||3E|0,于是A可逆.由A22A3E0,得A2E3A10,A11(A2E)37．A1019E)=______.答案：A3E201020,(A3E)1(A20100010028．若A2-2A+E=0，（A-2E）-1=解：A22AEAA2EEAA2EEA2E1A二、1．n矩A与B等价，必有A当Aaa0，BaB当Aaa0，BaC当A0，B0D当A0，B0解：Ap1p2BQ1Q22.下列命题正确的是()，并说明理由.A若A是n阶方阵且A≠O，则A可逆B若A，B都是n阶可逆方阵，则A+B可逆C若AB=O，且A≠O，则必有B=OD设A是n阶方阵，则A可逆AT必可逆.设A、B都是n阶方阵,下面结论正确的是A若A、B均可逆,则A+B可逆.B若A、B均可逆,则AB可逆.C若A+B可逆,则A－B可逆.D若A+B可逆,则A,B均可逆.解：若A、B均可逆,则(AB)1B1A14.则在B,C,D中与A等价的矩阵为，下述命题正确的是()A若A与B等价，则A=B.B若方阵A与方阵B等价，则AB.若A与可逆矩阵B等价，则A也是可逆矩阵.D若A，B，C，D均为n阶方阵，若A与B等价，C与D等价，则A+C与B+D等价.设A、B为同阶可逆矩阵,则AAB=BAB存在可逆矩阵P,使P1APBC存在可逆矩阵C,使CTACBD存在可逆矩阵P和Q,使PAQB解：因为A可逆,存在可逆PA,QA使PAAQAE.因为B可逆,存在可逆PB,QB使PBBQBE.所以PAAQA=PBBQB.于是PB1PAAQAQB1B令PPB1PA,QQAQB1.(D)是答案.120123等价，则a=7．已知240与2580032a61D2D3B4C5C6D7a=48．以下命题是正确的是()，且说明理由：(1)对任何矩阵A，均有AATATA.解：只有当A是方阵时，AAT(2)A，B,C，D均为n(n>1)阶方阵，若MAB，则MADBC.CD解：分块矩阵不满足这样的公式。(3)A，B，C，D均为n阶方阵，若MAB,则MTAC.CDBD解：MTATCT，（4）题答案：OAn2BTDTBO1AB(4)OAAB.A，B为n(n>1)阶方阵则OB(5)A，B为可逆矩阵，则AXBC有惟一解XA1CB1.11L110L0(6)22L2等价于00L0MMMMMMnnLnnn00L0nn三、计算题1.设310,110.求:i.AB－BAii.A2－B2iii.BTATA121B22534234114694656171717315159513918163261351122100可逆,并求其逆。2.k取什么值时,A0k0111100100解：|A|0k0k0，A101k011111k1解下列矩阵方程：解：(1)1235101110110246024601232211(2)X22(3)X140124.已知三阶矩阵A满足Aiii(i1,2,3)，其中1(1,2,2)T，2(2,2,1)T，3(2,1,2)T，试求矩阵A.解：Aa1a1,Aa22a2,Aa33a3Aa1,a2,a3a1,2a2,3a3122702146999335A243221029993322622122299933计算下列矩阵的值21n2121102121（1）23232013232300（2）设A10,求An01解：使用数学归纳法0000200A21010220010112220000300A322010323012201(12)323k00假设Ak=kk1k0(1k1)k2kk1kk0000则Ak1=kk1k010(1k1)k2kk1k01k100=(k1)kk10(1k)k1(k1)kk1n00n00所以：An=nn1n0=nn1n0(1n1)n2nn1nn(n1)n2nn1n26.设矩阵A（1）证明:n3时,AnAn2A2E100A101(E为三阶单位矩阵)（2）求A100.010100100解：因为A2110A3201001110100100100100A3AA2E101110010201010101001110所以A3A32A2E，假设AkAk2A2Ek1k13k12（k1）2A2E则AAAAAAAEA=A所以AnAn2A2Eii.A100A98A2EA962A22E50A249E5000490010050500049050105005000495001137.当A22时,A6=E.求A11.312213A*1313|A|221,所以A122112231|A|31A312222228.已知A、B为3阶矩阵，且满足2A1BB4E，其中E是3阶单位矩阵（1）证明：矩阵A-2E可逆。（2）若B120120，求矩阵A002解：2AA1BAB4A2BAB4AA2EB4A2E8EA2EB4E8EA2E8B4E1，9.设A，P均为3阶矩阵，PT100为P的转置矩阵，且PAP010，若T002Pa1,a2,a3,Qa1a2,a2,a3,则QTAQ为解：解：因为A6E，A11A12A1EA1此例明:乘矩AB的第i个列向量i是A的列向量1,2,⋯,n的性合，合系数就是B的第i个列向量i的各分量。似地,乘矩的第i个行向量是B的行向量的性合，合系数就是ABA的第i个行向量的各分量。四、关于矩阵的初等变化和初等矩阵知识点矩有以下三种初等行：①交任意两行的位置。②用一个非0的常数乘某一行的各元素。③把某一行的倍数加到另一行上。似地,矩有三种初等列，初等行与初等列称初等。位矩E作一次初等(行或列)，所得到的矩称初等矩。有三类初等矩阵：E(i,j)：交E的i,j两行(或列)所得到的矩。E(i(c))：用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩，也就是把E的角上的第i个元素改c。E(i,j(c))(ij)：把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩,也就是把E的(i,j)位的元素改c。初等矩阵都是可逆矩阵,并且E(i,j)-1=E(i,j),E(i(c))-1=E(i(c-1)),E(i,j(c))-1=E(i,j(-c)).命题：(右)乘它.矩作一次初等行(列)相当于用一个相的初等矩从左a11a12a13a21a22a230101.Aa21a22a23,Ba11a12a13,100,P1a31a32a33a31a21a32a22a33a23001有P2P1A=B,P2=解：P1A表示互A的第一、二行.B表示A先互第一、二行,然后将互后的矩的第一行乘以(－1)加到第三行.所以P2=100。0101012.A是3方，将A的第1列与第2列交得B,再把B的第2列加到第3列得C,足AQ=C的可逆矩Q010100010100011A100BB011C，A100011A100C.001001001001001解：BAp1p2B1p1p21A1p21p11A1p2p1A1BAppB1pp1A1p11p1A1ppA121212124.若可逆矩A作下列化，A1相地有怎的化?(1)A中i行与j行互；(2)A中i行乘上非零数k；i＜j时，A中第j行乘上数k加到第i行．解：（1）BEi,jAB1Ei,jA1A1Ei,j1A1Ei,jA1的i列与j列互换。（2）BEikAB1A1Eik1A1Ei1kA1的i列乘以1k（3）BEi,jkAB1A1Ei,jk1A1Ei,jkA1的i列乘以k加到第j列上。5.已知3阶矩阵A可逆，将A的第2列与第3列交换得到B，再把B的第1列-2倍加到第3列得C，则满足PA-1=C-1的矩阵P为。解：BAE2,3，CAE2,3E1,32C1E2,3E1,321A1C1PA1PC1AE2,3E1,321A1AE1,32E2,3102120E1,32010E1,32E2,30010010106.设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵为B，（1）证明B可逆，（2）求AB-1解：BEi,jABA，所以B可逆。B1Ei,jA1A1Ei,j1A1Ei,j，AB1Ei,j五、关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：A1A111A2A1A2AOO若As，则：As1AA1A2LAs；A1A1O②、O；（主对角分块）OBOB1③、OA1OB1；（副对角分块）BOA1OA1A1A1CB1④、C；（拉普拉斯）OBOB1A1A1OO⑤、CBB1CA1B1；（拉普拉斯）AAAABBBB⑥若A与B都是方阵（不必同阶）,则A(1)mnABBAE⑦若A,B都是n阶方阵,|ABE|EB求下列矩阵的逆矩阵2100cossin000015200iii.0010i.1100ii.sinacos0iv.2100122500101000012111310000011AO1A101100i.解：根据分块矩阵：，CBB1CA1B1200119303571112cossin1cossincossin0i根据分块矩阵A1sincossincossincos00010110100011200，00102500iii.A1iv.A11010010000132310000011332.设A、B都是n阶可逆矩阵,则2AT0等于0B1解：2AT0(2)2n|A||B|1。0B13.设A为n阶可逆矩阵，计算：（1）A1AEn（2）AA1（3）AEnTAEnEn（4）AEnAEnT（5）A1AEnEn解：（1）A1A,EnA1A，A-1EnEnA1，AAA1En（2）A1A1EnEnA1（3）TA,EnATAEnATAATA,EnEnAEn（4）A,EnA,EnTAEnATAATEnEn（5）A1A.EnA1AA1EnA1EnAEnAEn设A为n阶非奇异矩阵，a为n维列向量，b为常数，记分块矩阵PE0Aa(1)计算并化简PQ。aT*，QaTbAA解：PQAEAETAEATTAAb0ATA1b因为A?AA1aTAaAbaTAA1aAb（2）证明：矩阵Q可逆的充要条件是aTA1ab解：PQPQA(AaTA1ab)0Q0aTA1abx2x1x2x35.设f(x)2x22x12x22x3，则方程f(x)=0有几个根。3x33x24x53x54x4x35x74x3x2101x2100f2x21012x21005xx1x23x31x213x31x24x3x734x3x76A06.设A、B为n阶矩阵，A,B分别为A、B对应的伴随矩阵，分块矩阵C0B则C的伴随矩阵为：解：因为CC?CAB7.设A、B均为2阶矩阵，A,B分别为A、B对应的伴随矩阵，若A2,B3则分块矩阵0A的伴随矩阵为B003BB02B03AD02AA03AC2B03B02A0解：利用AAAE0A0A0A10B10ABB1B0B0B0ABA10BAA100AB02BBA03A08.设A,B均是n阶矩阵，A3A*，则C_________.Aa,Bb,C(1B)1O2解：直接利用上述公式简化行列式运算。CA3A*(1)nn(1B)13A*.(1B)1O22而(1B)12B12nb1，3A*3nA*3nAn13nan1。2A3A*n211*C((B)于是1B)1O1)23A(2n2nb13nan1n2nan11(1)2(1)6b六、关于伴随矩阵的知识点若A是n阶矩阵，记Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式，规定A的伴随矩阵AijT，因此有AA*=A*A=|A|E.若A可逆：A*=|A|A-1，即A-1=A*/|A|伴随矩阵的其它性质:③如果A可逆，则A*也可逆，并且(A*)-1=A/|A|=(A-1)*④(AT)*=(A*)TAT1A1T⑤(Ak)*=(A*)k(Ak)-1=(A-1)k⑥|A*|=|A|n-1⑦(cA)*=cn-1A*⑧(AB)*=B*A*(AB)T=BTAT(AB)-1=B-1A-1⑨当n>2时,(A*)*=|A|n-2A；n=2时,(A*)*=A.证明以上性质：（3）A?AA1AAA11AAA11AA?AA1A1A1A111A1A，所以AA（4）A?AA1ATATAT1AAT1A?AA1TAA1TA1TTAA1TAA再证明：AT1A1T，ATA1TA1ATE，所以AT1A1T所以ATAT，同理还有AkAk，A1kAk1（5）AkAkAk1AkA1kAA1kAk（6）A?AA1AAA1n1n1AAA（7）A?AA1CACACA1CnAA11Cn1AA1Cn1AC（8）ABABAB1ABB1A1BA同类型公式：ABTBTAT，AB1B1A1（9）AAA1n1An2AAAA设A为n阶可逆矩阵,则(－A)*等于(A)－A*(B)A*(C)(－1)n*(D)(－1)n－1A*A3.设n阶矩阵A非奇异(n2)，A*是A的伴随矩阵，则(A)(A*)*|A|n1A(B)(A*)*|A|n1A(C)(A*)*|A|n2A(D)(A*)*|A|n2A4.设A是任一nn3阶方阵，A?是其伴随矩阵，又k为常数，且k0,1，则??kAAAn2，kAn22n1An2解：因为AkA(kA)kA5.设A、B均为n阶矩阵，A2，B3，则2A?B1=2nA?B12nn11122n1解：AB1126.设A212,则A1____(A*)1___[(2A)*]1___433394A解：A1252，|A|=1，(A*)1A273|A|A*=|A|A-1，(2A)*|2A|(2A)1(2)3|A|A14A1(2)[(2A)*]1(4A1)1A4已知A为3阶方阵，且A=3，求（1）A1（2）A（3）2A（4）3A1（5）1A4A11（6）A3解：（1）A1A11（2）An1329A3（3）2A23A24（4）11113A3A3481（5）111141319（）1AAA4AAAAAA6A33310008.设矩阵A的伴随矩阵A*0100，且ABA-1=BA-1+3E，其中E是4阶单10100308位矩阵，求矩阵B.解：因为ABA-1=BA-1+3EABB3AAABAB3AA3BAAB3A，因为An13AA8A2BAAB3A2BAB6E12EAB6EB62EA9.设矩阵210，矩阵B满足ABA*2BA*E，其中A*为A的伴随矩A120001阵，E是单位矩阵，则B解：ABA*A2BA*AA，而A3，3AB6BA，(3A6E)BA，3A6EBA3，3A6E127，B.910.设矩阵A、B满足ABA2BA8E，其中100，E为单位矩阵，A020001A为A的伴随矩阵，则B=解：AA?BA2ABA8A，因为AA?A2，所以2B2AB8EABB4AEB4EB4AE1242111A111.设矩阵A111，矩阵X满足AX2X，其中A是A的伴随矩111阵，求矩阵X。解：AA?xAA12AxAxE2Ax，因为A44E2AxEx4E2A1，x1110011401112.设A为n（n2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，则A交换A*的第1列与第2列得B*.B交换A*的第1行与第2行得B*.C交换A*的第1列与第2列得B*.D交换A*的第1行与第2行得B*.解：E12AB，B*(E12A)*A*E*12A*E12E121A*E1213.设矩阵Aaij33，满足AAT，其中A是A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11,a12,a13为3个相等的正数，则a11为33AA?AEAATAEAATA3A2A3A或10A七、关于矩阵的秩(1)定义：一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等，称此数为矩阵A的秩，记作r(A)。于是r(A)=0A=0。如果A是mn矩阵，则r(A)Min{m,n}。当r(A)=m时，称A为行满秩的；当r(A)=n时，称A为列满秩的。对于n阶矩阵A，则行满秩和列满秩是一样的，此时就称A满秩。于是：命题：任何满秩矩阵都可以用初等变换化为单位阵。命题：任何满秩矩阵都可以表示成一组同阶初等矩阵的乘积。因此n阶矩阵A满秩有以下性质：n阶矩阵A满秩r(A)=n|A|0A可逆与单位矩阵等价。矩阵的秩还可以用它的非0子式来看：A的r阶子式:任取A的r行和r列，在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式，如果它的值不为0，就称为非0子式。关于A矩阵秩的描述：①r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话）②r(A)n，A中有n阶子式全部为0。③r(A)n，A中有n阶子式不为0。(2)计算命题①初等变换保持矩阵的秩不变.②阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.矩阵秩的计算:用初等变换将其化为阶梯形矩阵，则此阶梯形矩阵的非零行数就是原矩阵的秩。在矩阵运算中，矩阵的秩有性质：①若A0,则r(A)≥1②r(A)r(AT)r(ATA)③r(kA)r(A)若k0④rA0若k0r(A)r(B)B⑤A是mn矩阵，B是ns矩阵，r(A)r(B)nr(AB)≤minr(A),r(B)⑥r(AB)≤r(A)r(B)⑦若Amn,Bns,且r(AB)0,则r(A)r(B)≤n⑧若A列满秩，则r(AB)r(B)，若B行满秩，r(AB)r(A)⑨若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）n若r(A)n⑩A是n阶矩阵，r(A)1若r(A)n10若r(A)n1证明：②r(A)r(AT)r(ATA)解：设A为mn矩阵，x为n维列向量。若x满足Ax0，则有ATAx0，则ATAx0。若x满足ATAx0，则有xTATAx0AxTAx0Ax0即Ax0和ATAx0同解，因此r(A)r(AT)r(ATA)证明：⑤r(AB)≤minr(A),r(B)解：设ABC，即矩阵方程AxC有解xB，则满足rArA,C又因为rCrA,CrArABrA设ABC，BTATCT，rCTrBTrCrB所以：r(AB)≤minr(A),r(B)证明：⑥rABrArB解：设A、B为n阶矩阵，ABBAB因为rABrAB,BrA,BrArB证明：⑦若Amn,Bns,且r(AB)0,则r(A)r(B)≤n素的n-1阶子式不为0，rA1解：设矩阵B的列向量B1,B2Bs，则由分块矩阵的乘法可知，AAA0rArAnrA1，所以rA1AB1,B2BsAB1,AB2ABs0,00ABj0AX0若rAn1A0A的所有n-1阶子式全为0，所以A0B的列向量是齐次方程组AX0的解，AX0所含解向量的个数为nrA，所以rBnrArBrAn证明：⑨若P,Q可逆,则r(PA)r(AQ)r(A)解：因为P,Q可逆，所以P,Q是方阵，同理A也是方阵。设P,Q,A都是n阶方阵，rprQn又因为rABminA,B，rPArAQrA利用性质：rArBnrAB所以：rPrAnrArPArA所以rPArA，rPArAQrA同理证明：⑧若A列满秩，则r(AB)r(B)，若B行满秩，r(AB)r(A)n若r(A)n证明：⑩A是n阶矩阵，r(A)1若r(A)n10若r(A)n1求解下列问题：1.已知A是mn矩阵，B是ns矩阵,r(B)=n，AB=0，证明A=0.解：因为AB0rArBn，又因为rBn,所以rA0，已知A是mn矩阵，所以rA0，所以rA0，所以A=0或者：因为AB0B的列向量是Ax0的解，又因为rBn,所以Ax0至少有n个线性无关的解，至多有nrA个线性无关的解，所以nnrArA0，rA0，所以rA0，所以A=02.设A是nm矩阵，B是mn矩阵，满足ＡＢ＝Ｉ，试证明Ａ的行向量组线性无关，Ｂ的列向量组线性无关。证明：若nm，则rAmn,rBmn。又因rABnminrA,rB，和假设矛盾，只能nm所以rAn,rBn，又因为rArBnrABnrArB2nrAn,rBn解：若rAnA0A0rAn所以Ａ的行向