求数列通项公式的
方法
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求数列通项公式的方法 一、公式法 例1 已知数列 满足 , ,求数列 的通项公式。 解: 两边除以 ,得 ,则 ,故数列 是以 为首项,以 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 ,所以数列 的通项公式为 。 评注:本
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解题的关键是把递推关系式 转化为 ,说明数列 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 ,进而求出数列 的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。 解:由 得 则 所以数列 的通项公式为 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,进而求出 ,即得数列 的通项公式。 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。 解: 两边除以 ,得 , 则 ,故 因此 , 则 评注:本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,进而求出 ,即得数列 的通项公式,最后再求数列 的通项公式。 三、累乘法 例5 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。 解:因为 ,所以 ,则 ,故 所以数列 的通项公式为 评注:本题解题的关键是把递推关系 转化为 ,进而求出 ,即得数列 的通项公式。 例6已知数列 满足 ,求 的通项公式。 解:因为 ① 所以 ② 用②式-①式得 则 故 所以 ③ 由 , ,则 ,又知 ,则 ,代入③得 。 所以, 的通项公式为 评注:本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,进而求出 ,从而可得当 的
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达式,最后再求出数列 的通项公式。 四、待定系数法 例7 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。 解:设 ④ 将 代入④式,得 ,等式两边消去 ,得 ,两边除以 ,得 代入④式得 ⑤ 由 及⑤式得 ,则 ,则数列 是以 为首项,以2为公比的等比数列,则 ,故 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,从而可知数列 是等比数列,进而求出数列 的通项公式,最后再求出数列 的通项公式。 例8 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。 解:设 ⑥ 将 代入⑥式,得 整理得 。 令 ,则 ,代入⑥式得 ⑦ 由 及⑦式, 得 ,则 , 故数列 是以 为首项,以3为公比的等比数列,因此 ,则 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,从而可知数列 是等比数列,进而求出数列 的通项公式,最后再求数列 的通项公式。 五.利用递推恒等式: 例4.已知 是正数组成的数列, ,且点 在函数 的图像上. (Ⅰ)求数列 的通项公式; (Ⅱ)若数列 满足 , ,求证: .(08福建卷.文20) 六.取倒数法: 例5.已知数列 的首项 , , . (Ⅰ)证明:数列 是等比数列; (Ⅱ)求数列 的前 项和 .(08陕西卷.文20) 类题演练1.已知数列 的首项 , , . (Ⅰ)求 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的 , , ; (Ⅲ)证明: .(08陕西卷.理22) 七、对数变换法 例10 已知数列 满足 , ,求数列 的通项公式。 解:因为 ,所以 。在 式两边取常用对数得 ⑩ 设 将⑩式代入式,得 ,两边消去 并整理,得 ,则 ,故 代入式,得 由 及式, 得 , 则 , 所以数列 是以 为首项,以5为公比的等比数列,则 ,因此 则 。 评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为 ,从而可知数列 是等比数列,进而求出数列 的通项公式,最后再求出数列 的通项公式。 八、迭代法 例11 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。 解:因为 ,所以 又 ,所以数列 的通项公式为 。 评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 两边取常用对数得 ,即 ,再由累乘法可推知 ,从而 。 九、数学归纳法 例12 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。 解:由 及 ,得 由此可猜测 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (1)当 时, ,所以等式成立。 (2)假设当 时等式成立,即 ,则当 时, 由此可知,当 时等式也成立。 根据(1),(2)可知,等式对任何 都成立。 评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法 例13 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。 解:令 ,则 故 ,代入 得 即 因为 ,故 则 ,即 , 可化为 , 所以 是以 为首项,以 为公比的等比数列,因此 ,则 ,即 ,得 。 评注:本题解题的关键是通过将 的换元为 ,使得所给递推关系式转化 形式,从而可知数列 为等比数列,进而求出数列 的通项公式,最后再求出数列 的通项公式。