泊松过程课件

null泊松过程泊松过程(演示文稿)(Poisson process)第三章 泊松过程第三章 泊松过程泊松过程是一类较为简单的时间连续,状态离散的随机 过程.泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天 文学、服务系统和可靠性理论等领域都有广泛的应用. 3.1 泊松过程的定义和例 定义3.1 称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程, 若N(t) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示到时刻t为止已发生的事件A的总数,且N(t)满足下列 条件: (1) N(t)≥0; (2) N(t)取正整数值; (3) 若s＜t,则N(s)≤N(t); (4) 当s＜t时, N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的事 件A的次数.泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例如果计数过程N(t)在不相重叠的时间间隔内, 事件A发 生的次数是相互独立的,即若 t1＜t2≤t3＜t4 则在区间(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1),与在 (t3,t4]内事件A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,那么 此时的计数过程N(t)是独立增量过程. 如果计数过程N(t)在(t,t+s](s＞0)内,事件A发生的次 数N(t+s)-N(t),仅与时间差s有关,而与时刻t无关, 则 计数过程N(t)是平稳增量过程. 泊松过程是计数过程的最重要的类型之一,其定义是: 定义3.2 称计数过程{X(t),t≥0},为具有参数λ＞0的泊 松过程,如果{X(t),t≥0}满足下列条件:泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立增量过程; (3) 在任一长度为t的区间中, 事件A发生的次数服从 参数λ＞0的泊松分布,即对任意s,t≥0,有 P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,n=0,1,2,…. 从条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]=λt. 由于: λ=E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均 个数,故称λ为泊松过程的速率或强度. 从定义3.2,我们看到:为了判断一个计数过程是泊松过 程,必须证明它满足条件(1),(2)和(3).条件(1)只是说 明事件A的计数是从t=0时开始的; 条件(2)通常可从我泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 们对过程了解的情况去验证; 然而条件(3)的验证是非 常困难的. 为了方便应用,以下我们再给出泊松过程的 另一个定义. 定义3.3 称计数过程{X(t),t≥0},为具有参数λ＞0的泊 松过程,如果{X(t),t≥0}满足下列条件: (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立、平稳增量过程; (3) X(t)满足下列两式: P{X(t+h)-X(t)=1}=λh+o(h); P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h). 定义3.3中的条件(3)要求: 在充分小的时间间隔内,最 多有1个事件发生, 而不能有2个或2个以上事件同时发泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 生. 这种假设对于许多物理现象比较容易得到满足. 例3.1 考虑某电话交换台在某段时间接到的呼叫. 令X(t) 表示电话交换台在(0,t]时间段内收到的呼叫次数, 则 {X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故{X(t),t≥0} 是一个泊松过程. 其实对于任意的0≤t1＜t2＜…＜tn,随机变量X(t2)- X(t1),X(t3)-X(t2),…,X(tn)-X(tn-1)分别表示,在时间 段(t1,t2],(t2,t3],…,(tn-1,tn]内,电话交换台接到的 呼叫次数,它们是相互独立的,所以随机过{X(t),t≥0} 是一个独立增量过程. 而且对于任意的s＜t,随机变量X(t)-X(s)的分布可以 认为仅与t-s有关,故{X(t),t≥0}是平稳独立增量过程.泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例例3.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如果 记X(t)为在时间(0,t]内到达售票窗口的旅客数, 则计 数过程{X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故是一 个泊松过程. 例3.3 考虑机器在(t,t+h)时间段内发生故障的事件. 若 机器发生故障,立即修理后继续工作,则在(t,t+h)时间 段内机器发生故障而停止工作的事件数,构成一个随机 点过程,该过程可以用泊松过程进行描述. 定理3.1 泊松过程的两种定义,即定义3.2与定义3.3是等 价的. 证明: 首先证明定义3.2蕴涵定义3.3. 比较两条定义,由于定义3.2的条件(3)中蕴涵X(t)为平泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 稳增量过程,所以只需证明由定义3.2的条件(3)可以推 出定义3.3的条件(3).由式 P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,n=0,1,2,…. 对充分小的h,有 P{X(t+h)-X(t)=1}=P{X(h)-X(0)=1}(X(h)=X(0+h)) =e-λh =λh =λh[1-λh+o(h)] =λh+o(h); P{X(t+h)-X(t)≥2}=P{X(h)-X(0)≥2} = =o(h).泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 以下证明定义3.3蕴涵定义3.2. 经比较,只需证明由 定义3.3中后两式可以推出定义3.2的(3)式.为此令 Pn(t)=P{X(t)=n}=P{X(t)-X(0)=n}. 根据定义3.3的(2)与(3),有 P0(t+h)=P{X(t+h)=0}=P{X(t+h)-X(0)=0} =P{X(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0} =P{X(t)-X(0)=0}P{X(t+h)-X(t)=0} =P0(t)[1-λh+o(h)], 所以 =-λP0(t)+ . 令h→0取极限得 P’0(t)=-λP0(t) 或 =-λ.泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 积分得 lnP0(t)=-λt+C 即 P0(t)=ke-λt. 由于P0(0)=P{X(0)}=1, 代入前式得 P0(t)=e-λt. 类似地,对于n≥1,有 Pn(t+h)=P{X(t+h)=n}=P{X(t+h)-X(0)=n} =P{X(t)-X(0)=n,X(t+h)-X(t)=0}+ P{X(t)-X(0)=n-1,X(t+h)-X(t)=1}+ P{X(t)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(t)=j}. 根据定义3.3的(2)与(3),得 Pn(t+h)=Pn(t)P0(h)+Pn-1(t)P1(h)+o(h) =(1-λh)Pn(t)+λhPn-1(t)+o(h) 于是,有泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 =-λPn(t)+λPn-1(t)+ . 令h→0取极限得 P’n(t)=-λPn(t)+λPn-1(t), 所以 eλt[P’n(t)+λPn(t)]=λeλtPn-1(t), 因此 [eλtPn(t)]=λeλtPn-1(t). 当n=1时,得 [eλtP1(t)]=λeλtP0(t)=λeλte-λt=λ, P1(t)=(λt+c)e-λt.泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 由于P1(0)=0, 代入上式得 c=0, P1(t)=λte-λt. 以下用数学归纳法证明: Pn(t)= e-λt成立. 假设n-1时有结论,证对n有: P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,n=0,1,2,…. 根据 [eλtPn(t)]=λeλtPn-1(t) 式,有 [eλtPn(t)]=λeλt e-λt= , 积分得 eλtPn(t)= +c .泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 由于Pn(0)=P{X(0)=n}=0, 因而c=0, 所以 Pn(t)=e-λt . 由条件(2)X(t)是独立、平稳增量过程,故有 P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt , n=0,1,2,… 故定义3.3蕴涵定义3.2.3.2 泊松过程的基本性质 1.数字特征 根据泊松过程的定义,可以导出泊松过程的几个常用的 数字特征. 设{X(t),t≥0}是泊松过程,对任意t,s∈[0,∞)及s＜t泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 从定义3.2的(3) 得 E[X(t)-X(s)]=D[X(t)-X(s)]=λ(t-s). 由于X(0)=0,故 mX(t)=E[X(t)]=E[X(t)-X(0)]=λt; σ2X(t)=D[X(t)]=D[X(t)-X(0)]=λt; RX(s,t)=E[X(s)X(t)] =E{X(s)[X(t)-X(s)+X(s)]} =E[X(s)-X(0)][X(t)-X(s)]+E[X(s)]2 =E[X(s)-X(0)]E[X(t)-X(s)]+D[X(s)]+{E[X(s)]}2 =λsλ(t-s)+λs+(λs)2=λs(λt+1);P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,n=0,1,2,…泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 BX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t)=λs; 一般地,泊松过程的协方差函数可以表示为 BX(s,t)=λmin(s,t). 泊松过程的特征函数是 gX(t)=E[eiuX(t)]= . 2.泊松过程的时间间隔与等待时间的分布 如果以泊松过程来描述服务系统接受服务的顾客数,那 么,顾客到来接受服务的时间间隔、顾客等待的排队时 间等分布问题都需要进行研究.以下讨论泊松过程与时 间有关的分布. 设{X(t),t≥0}是泊松过程, 令X(t)表示t时刻事件A发泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 生(顾客出现)的次数,W1,W2,…分别表示第一次,第二次 …事件A发生的时间, Tn(n≥1)表示从第(n-1)次事件A 发生到第n次事件A发生的时间间隔(如下图所示) 通常称Wn为第n次事 件A出现的时刻或第 n次 事件A的等待时间, Tn是 第n个时间间隔,它们都是随机变量. 如何利用泊松过程中事件A发生所对应的时间间隔关系 研究各次事件间的时间间隔分布呢? 定理3.2 设{X(t),t≥0}是具有参数λ的泊松分布,{Tn,n ≥1}是对应的时间间隔序列,则随机变量Tn(n=1,2,…) 是独立同分布的均值为1/λ的指数分布.W1W2W3Wn-1WnOT1T2T3Tn……泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质证明: 首先,由于事件{T1＞t}发生 泊松过程在区间[0, t]内没有事件发生,因而 P{T1＞t}=P{X(t)=0}=e-λt,(因此时为 ) (t)=P{T1≤t}=1-P{T1＞t}=1-e-λt,(求导得密度) 所以T1是服从均值为1/λ的指数分布.(导数为λe-λt) 利用泊松过程的独立、平稳增量性质,有 P{T2＞t|T1=s}=P{在(s,s+t]内没有事件发生|T1=s} =P{在(s,s+t]内没有事件发生} =P{X(t+s)-X(s)=0} =P{X(t)-X(0)=0}=e-λt, 即 (t)=P{T2≤t}=1-P{T2＞t}=1-e-λt, 故T2也是服从均值为1/λ的指数分布.泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 对于任意n≥1和t,s1,s2,…,sn-1≥0,有 P{Tn＞t|T1=s1,…,Tn-1=sn-1} =P{X(t+s1+…+sn-1)-X(s1+s2+…+sn-1)=0} =P{X(t)-X(0)=0}=e-λt, 即 (t)=P{Tn≤t}=1-P{Tn＞t}=1-e-λt, 可见对任意Tn(n≥1),其分布是均值为1/λ的指数分布. 定理3.2说明,对于任意n=1,2,…事件A相继到达的时间 间隔Tn的分布为 (t)=P{Tn≤t}= , 其概率密度为 (t)= .(均值为1/λ,方差为1/λ2)1-e-λt,t≥00, t＜0λe-λt,t≥00, t＜0泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质定理3.2的结论是在平稳独立增量过程的假设前提下得 到的,该假设的概率意义是指: 过程在任何时刻都从头 开始,即从任何时刻起, 过程独立于先前已发生的一切 (独立增量),且有与原过程完全一样的分布(平稳增量). ◇ 其实,由指数分布无记忆性的特征,时间间隔的指数分 布应该是在预料之中的. 另一个感兴趣的问题是:等待时间Wn的分布,即第n次事 件A到达的时间分布. 因 Wn= Ti, n≥1, 由定理3.2知,Wn是n个相互独立的指数分布随机变量和, 故用特征函数方法,可得如下结论:泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质定理3.3 设{Wn,n≥1}是与泊松过程{X(t),t≥0}对应的 一个等待时间序列,则Wn服从参数为n和λ的Γ分布,其 概率密度为 定理3.3可用以下方法导出: 注意到第n个事件在时刻t或之前发生 到时间t已发生 的事件数目至少是n,即X(t)≥n Wn≤t. 因此 P{Wn≤t}=P{X(t)≥n}= . 对该式求导,得Wn的密度函数: (t)=- λe-λt + λe-λt =λe-λt . 泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质Wn服从参数为n和λ的Γ分布的密度函数式,亦称爱尔 兰分布, 它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量 之和的概率密度. “电话呼叫”是一个泊松过程.相继出现的第i-1次和第 i次电话呼叫的间距距离Ti=Wi-Wi-1(i=1,2,…)是一个连 续型随机变量,它们都服从参数为λ的指数分布, 其概 率密度为 其等待时间Wn也都是连续型随机变量,服从Γ分布, 其 密度函数称爱尔兰分布: 泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质又如若X(t)表示在时间区间[0,t)内来到某商店的顾客 数,X(t)是参数为λ的泊松过程, 每个来到商店的顾客购 买某些货物的概率为p, 不买东西就离去的概率是1-p=q, 且每个顾客是否购买货物是相互独立的, 令Y(t)为[0,t) 内购买货物的顾客数,则{Y(t),t≥0}是参数为λp的泊松 过程. 由于 P{X(t)=n}= , 而 P{Y(t)=m}= P{X(t)=n}P{Y(t)=m|X(t)=n} = = ·(λt)m· ·e-λqt 泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 = = . Poisson过程与均匀分布的关系. 设{X(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程,若在时间区间 [0,t)内仅有1个随机质点到来,记τ为质点到达时间, 则 当s＜t时,有P{τ≤s|X(t)=1} =(λte-λt)-1P{τ≤s,X(t)=1} =(λte-λt)-1P{X(s)=1,X(t)-X(s)=0} = =s/t. 可见,随机变量τ服从均匀分布.条件概率:P(B|A)=P(AB)/P(A); 当P123公式中的n=1,n=0时的概 率;以及X(t)-X(s)=X(t-s)=0.对照均匀分布的分布函数.泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质3.到达时间的条件分布 假设在[0,t]内事件A已经发生一次,如何确定这一事件 到达时间W1的分布呢? 由于泊松过程有平稳独立增量, 所以可以认为[0,t]内 长度相等的区间包含事件A的概率相同, 即该事件的到达 时间在[0,t]上服从均匀分布. 事实上,对s＜t有 P{W1≤s|X(t)=1}= = = = = .泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 于是得分布函数 (s)= 及分布密度函数 (s)= 此结果可推广到一般的情况: 定理3.4 设{X(t),t≥0}是泊松过程,已知在[0,t]内事件 A发生n次,则这n次到达时间W1＜W2＜…＜Wn与相应于n 个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相 同的分布. 证明: 令0≤t1＜t2＜…＜tn+1=t,且取hi充分小,使得对i其它.泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 =1,2,…,n有ti+hi＜ti+1,则在给定X(t)=n的条件下,有 P{t1≤W1≤t1+h1,…,tn≤Wn≤tn+hn|X(t)=n} = = = P{t1≤W1≤t1+h1,…,tn≤Wn≤tn+hn|X(t)=n} = . 令hi→0,便得W1,…,Wn在已知X(t)=n的条件下的 条件联合概率密度f(t1,…,tn)=因此h1…hn其它.泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质例3.4 设在[0,t]内事件A已经发生n次且0＜s＜t,对于0 ＜k＜n,求P{X(s)=k|X(t)=n}. 解:利用条件概率和泊松分布得 P{X(s)=k|X(t)=n}= = = = .这是一个参数为n 和s/t的二项分布.泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质例3.5 设在[0,t]内事件A已经发生n次,求第k(k＜n)次事 件A发生的时间Wk的条件概率密度函数. 解:先求条件概率P{s＜Wk≤s+h|X(t)=n},然后关于s求导. 当h充分小时,有 P{s＜Wk≤s+h|X(t)=n} =P{s＜Wk≤s+h,X(t)-X(s+h)=n-k}/P{X(t)=n} =P{s＜Wk≤s+h,X(t)-X(s+h)=n-k}eλt(λt)-nn! =P{s＜Wk≤s+h}P{X(t)-X(s+h)=n-k}eλt(λt)-nn! 将上式两边除以h,并令h→0取极限,得 = P{X(t)-X(s+h)=n-k}eλt(λt)-nn!泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 由定理3.3, = ,及定义 P{X(t)-X(s)=n-k}= 得 = . 条件概率密度 是一个Bata分布. 例3.6 设{X1(t),t≥0}和{X2(t),t≥0}是两个独立的泊 松过程, 它们在单位时间内平均出现的事件数,分别为 λ1和λ2.记 为过程X1(t)的第k次事件到达时间, 为过程X2(t)的第1次事件到达时间,求P{ ＜ },即 第一个泊松过程的第k次事件发生比第二个泊松过程的 泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 第1次事件发生早的概率. 解: 设 的取值为x, 的取值为y,由泊松过程等待时 间的分布密度 以及 和X1(t)与X2(t)的相互独立性:f(x,y)= · 知 .xyy=xoDD:y＞x,x≥0关于全(条件)期望公式关于全(条件)期望公式全(条件)期望公式 对任意的随机变量X,Y,有E[E[X|Y]]=E[X]. 当(X,Y)为 离散型随机向量时,全期望公式的离散形式为 (1)E(X)= E[X|yj]P{Y=yj}; 当(X,Y)为连续型随机向量时,全期望公式的连续形式为 (2)E(X)= . 证明:(1) (2) = =..=泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质例3.7 仪器受到震动而引起损伤,若震动是按强度为λ的 泊松过程发生,第k次震动引起的损伤为Dk,D1、D2 、… 是独立同分布的随机变量列且与{N(t),t≥0}独立. 其 中N(t)表示[0,t]时间段仪器受到震动次数. 假设仪器 受到震动而引起的损伤随时间按指数减小,即如果震动 的初始损伤为D,则震动之后经过时间t减小为De-αt(α ＞0).假设损伤是可叠加的,即在时刻t的损伤可表示为 D(t)= ,其中τk为仪器受到第k次震动的时 刻,求E[D(t)]. 解: E[D(t)]=E[ ]=E[E[ |N(t)],全期望公式泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 由于 = . 由定理3.4知,在N(t)=n的条件下τk(k=1,2,…,n)是[0, t]上相互独立的均匀随机变量U(k),k=1,2,…,n的顺序 统计量,故 = . 所以 . 于是得 .关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题设顾客按强度为λ的泊松过程到达, N(t)表示在(0,t) 中到达的第i类(i=1,2)顾客. 设时刻s到达的顾客与其他 顾客是独立的. 属于第1类的概率为P(s),属于第2类的概 率为P(1-s). 问N1(t)与N2(t)各是什么分布的随机变量? 求P{N1(t)=n,N2(t)=m|N(t)=n+m}. 解: 由时刻s到达的顾客与其他顾客的独立性知,N1(t)与 N2(t)相互独立, 且分别是均值为λtp和λt(1-p)的泊 松分布,式中的p= P(s)ds: 鉴于时刻s服从(0,t)上 的均匀分布,所以将该条件加到时间s上有p= P(s)ds. 从事件N1(t)=n与N2(t)=m的独立性,知 P{N1(t)=n,N2(t)=m|N(t)=n+m} 恰是n+m重贝努利试验中第1类顾客出现n次的概率,故关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题 P{N1(t)=n,N2(t)=m} =P{N1(t)=n,N2(t)=m|N(t)=n+m}·P{N(t)=n+m} = pn(1-p)me-λt =e-λtp ·e-λt(1-p) . M/G/∞表示一个随机服务系统, M表示顾客到达是强度 为λ的泊松过程;G表示服务时间Y是独立同分布的随机变 量,分布函数是G(t);∞表示服务人员数,说明顾客到达后 无须等待.确定服务系统的效率. 解: 以N1(t)记到时刻t已服务完的顾客数,N2(t)记到时刻 t未服务完的顾客数.确定服务系统的效率,即计算到时 刻t已服务完的顾客数与未服务完的顾客数的联合分布关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题以及N1(t)和N2(t)的均值函数. 设顾客在时刻s到达,s≤t,到时刻t已服务完,即服务时 间Y≤t-s,因而其概率为G(t-s),即P(s).于是 E[N1(t)]=λtp=λ G(t-s)ds=λ G(y)dy; E[N2(t)]=λt(1-p) =λ [1-G(y)]dy=λt-λ G(y)dy. 某机构从上午8时开始有无穷多人排队等候服务. 设只 有1名工作人员, 每人接受服务的时间是独立的且服从均 值位20分钟的指数分布.问(1)到中午12时,平均有多少人 离去? (2)有9人接受服务的概率是多少? 解: 既然时间间隔是服从均值为1/3小时(20分钟)的指数 关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题分布,那离去人数N(t)就是强度为3(以时计)的泊松过程. 若以8时为零时刻,则到12时离去的人数平均是12名,故 (1) P{N(4)-N(0)=n}=e-12 ; (2) 有9人接受服务的概率 P{N(4)-N(0)=9}=e-12 . 乘客以强度为λA的泊松过程到达飞机A(从t=0开始),当 飞机有NA个乘客时就起飞,与此独立的是乘客以强度为λB 的泊松过程到达飞机B(从t=0开始), 当飞机有NB个乘客时 起飞. (1)写出飞机A在飞机B之后起飞的概率式; (2)对NA=NB和λA=λB的情形,计算(1)中的概率.关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题解:(1)以TA记飞机A的第NA个乘客到达的时刻, TB记飞机B 的第NB个乘客到达的时刻,则飞机A在飞机B之后起飞的 概率为P{TA＞TB}. 泊松过程X(t)到达时间的概率密度 函数为 (t)= (t)= (t)= 由独立性,得 P{TA＞TB}=λe-λt , (t≥0) 0, (t＜0)λA ,(t≥0) 0, (t＜0)λB ,(t≥0) 0, (t＜0)关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题 = . (2)中条件即 ,此时由对称性,有 P{TA＞TB}=1/2. 设乘客按强度为λ的泊松过程来到某火车站,火车在时 刻t起程,计算在时间(0,t)内到达的乘客候车时间总和的 期望值,即求E[ (t-Ti)],其中Ti是第i个乘客到达的时刻. 解: 对N(t)取条件n,有 E[ (t-Ti)|N(t)=n]=E[ (t-Ti)|N(t)=n] =nt-E[ Ti|N(t)=n]. 以U1,U2,…,Un记在(0,t)上n个均匀分布,且相互独立的关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题 随机变量,则 E[ Ti|N(t)=n]=E[ Ui]= . 所以 E[ (ti-Ti)|N(t)=n]=nt- = . 从而 E[ (t-Ti)]=E{E[ (t-Ti)|N(t)=n]} = E[N(t)]= . 设顾客到某商场的过程是泊松过程,已知平均每小时有 30人到达,求所给事件的概率: 两个顾客相继到达的时间 间隔(1)超过2分钟;(2)短于4分钟;(3)在1分到3分钟之间. 解:由题意,顾客到达数N(t)是强度为λ的泊松过程,因而关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题顾客到达的时间间隔{Xn,n≥1}服从参数为λ的指数分布: fX(t)=30e-30x,x≥0. 故有(1) P{X＞2/60}= 30e-30xdx≈0.368; (2) P{X＜4/60}= 30e-30xdx≈0.865; (3) P{1/60＜X＜3/60}= 30e-30xdx≈0.384. 设顾客以每分钟2人的速率到达某商场, 且顾客流为泊 松流.求在2分钟内到达的顾客人数不超过3人的概率. 解: 记{N(t),t≥0}为每分钟到达商场的顾客人数的泊松 过程,据题意λ=2.由 P{N(t)=k}=e-λt . 将t=2,λ=2代入上式得: P{N(2)=k}=e-4 .关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题于是, P{N(2)≤3}=P{N(2)=0}+P{N(2)=1}+P{N(2)=2}+ P{N(2)=3} =e-4+4e-4+8e-4+ e-4= e-4. 设X(t)与Y(t)(t≥0)是强度分别为λX和λY的泊松过程. 证明:在X(t)的任意两个相邻事件之间的时间间隔内,Y(t) 恰好有k个事件发生的概率 p= , k=0,1,2,… . 证明: 设X(t)的两个相邻事件的时间间隔为τ,由独立平 稳增量性得 P{[Y(t+τ)-Y(t)]=k}= . X(t)的时间间隔为τ的概率密度是:关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题 λX ,(τ≥0) 0, (其它) 由于X(t)是泊松过程, 所以Y(t)恰好有k个事件发生的 概率 p= ·λX dτ = τk dτ = · = .fX(τ)=非齐次泊松过程非齐次泊松过程3.3 非齐次泊松过程 非齐次泊松过程是推广的泊松过程,这种过程允许时刻 t的来到强度(或速率)是t的函数. 定义3.4 称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数λ (t)的非齐次泊松过程,如果满足条件: (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立增量过程; (3) P{X(t+h)-X(t)=1}=λ(t)h+o(h), P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h). 非齐次泊松过程的均值函数为mX(t)= . 以下定理描述了非齐次泊松过程的概率分布: 定理3.5 设{X(t),t≥0}是具有均值函数mX(t)= 的非齐次泊松过程非齐次泊松过程 非齐次泊松过程,则有 P{X(t+s)-X(t)=n} = ,n≥0 或 P{X(t)=n}= ,n≥0 . 证明:对固定t定义 Pn(s)=P{X(t+s)-X(t)=n} 则有 P0(s+h)=P{X(t+s+h)-X(t)=0} =P{在(t,t+s]中没事件,在(t+s,t+s+h]中没事件} =P{在(t,t+s]中没事件}P{在(t+s,t+s+h]中没事件} (由定义3.4的(2))非齐次泊松过程非齐次泊松过程 =P0(s)[1-λ(t+s)h+o(h)] (由定理3.4的(3)) 于是,有 令h→0取极限,得 或 , 或 . 同理 Pn(s+h)=P{X(t+s+h)-X(t)=n} =P{(t,t+s]中有n个事件,(t+s,t+s+h]中没事件} +P{(t,t+s]中有n-1个事件,(t+s,t+s+h]中有1个事件}.,非齐次泊松过程非齐次泊松过程 +P{(t,t+s]中有n-2个事件,(t+s,t+s+h]中有2个事件} +…+P{(t,t+s]中没有事件,(t+s,t+s+h]中有n个事件} =Pn(s)[1-λ(t+s)h+o(h)]+Pn-1(s)[λ(t+s)h]+o(h) 因此有 =-λ(t+s)Pn(s)+λ(t+s)Pn-1(s)+ 令h→0取极限,得 =-λ(t+s)Pn(s)+λ(t+s)Pn-1(s). 当n=1时,有 =-λ(t+s)P1(s)+λ(t+s)P0(s) =-λ(t+s)P1(s)+λ(t+s) . 非齐次泊松过程非齐次泊松过程 前式是关于P1(s)的一阶线性微分方程, 利用初始条件 P1(0)=0,解得 P1(s)=[mX(t+s)-mX(t)] . 再运用归纳法,即可证得定理结论. 例3.8 设{X(t),t≥0}是具有跳跃强度λ(t)= 的非齐次泊松过程(ω≠0),求E[X(t)]和D[X(t)]. 解: 由定理3.5及泊松过程期望与方差相等,知 E[X(t)]=mX(t)= =D[X(t)]. 例3.9 设某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出.乘 客流量是:5时按平均乘客200人/时计算;5时至8时乘客 平均到达率线性增加,8时到达率为1400人/时;8时至18非齐次泊松过程非齐次泊松过程 时保持平均到达率不变; 18时到21时从到达率1400人/ 时按线性下降,到21时为200人/时. 假定乘客数在不相 重叠时间间隔内是相互独立的,求12时至14时有2000人 来站乘车的概率,并求这两小时内来站乘车人数的数学 期望. 解: 将时间5时至21时平移为0到16时,依题意得乘客到达 率为 λ(t)= 乘客到达率与时间关系如右上图所示. 由题意,乘客数的变化可用非齐次泊松过程描述. 从 mX(9)-mX(7)= =2800,200+400t, 0≤t≤3,1400, 3＜t≤13,1400-400(t-13),13＜t≤16.λ(t)t140020031316o非齐次泊松过程非齐次泊松过程 知,在12时至14时有2000名乘客到达的概率 P{X(9)-X(7)=2000}= . 12时至14时有2000名乘客的数学期望是 mX(9)-mX(7)=2800(人). 非齐次泊松过程与泊松过程有何不同?又有何联系? 非齐次泊松过程与泊松过程的不同是:非齐次泊松过程 的强度λ不再是常数,它与t有关,因而非齐次泊松过程不 具有平稳增量性.非齐次泊松过程反映了一类其变化与时 间有关的过程. 例如设备的故障率与使用年限有关;放射 性物质的衰变速度与衰变时间有关等. 利用下述定理,可将非齐次泊松过程问题转化到泊松过复合泊松过程复合泊松过程程中进行讨论:设{N(t),t≥0}是强度为λ(t)的非齐次泊 松过程,对任意t≥0,令N*(t)=N[μ-1(t)],则{N*(t),t≥0} 是强度为1的泊松过程,这里μ(t)= λ(u)du.反过来,当 强度λ(t)有界时, 也可以由强度为λ的泊松过程构造出 一个强度函数为λ(t)的非齐次泊松过程. 3.4 复合泊松过程 定义3.5 设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程,{Yk,k=1, 2,…}是一列独立同分布随机变量,且与{N(t),t≥0}独 立,令 X(t)= ,t≥0, 则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程.复合泊松过程复合泊松过程例3.10 设N(t)是在时间段(0,t]内到某商店的顾客人数, {N(t),t≥0}是泊松过程.若Yk是第k个顾客在商店所花 的钱数,则{Yk,k=1,2,…}是独立同分布随机变量序列, 且与{N(t),t≥0}独立.记X(t)为该商店在(0,t]时间段 内的营业额,则 X(t)= ,t≥0 是一个复合泊松过程. 定理3.6 设X(t)= ,t≥0是复合泊松过程,则 (1){X(t),t≥0}是独立增量过程; (2)X(t)的特征函数为gX(t)(u)= ,式中gY(u) 是随机变量Y1的特征函数,λ是事件的到达率.复合泊松过程复合泊松过程 (3)若E[ ]＜∞,则E[X(t)]=λtEY1,D[X(t)]=λtE( ). 证明:(1)令0≤t0＜t1＜…＜tm ,则 X(tk)-X(tk-1)= ,k=1,2,…,m. 由于{Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量, 所 以X(t)具有独立增量性. (2)因为 gX(t)=E[ ]= E[ |N(t)=n]P{N(t)=n} = E[ |N(t)=n] = E[ ]复合泊松过程复合泊松过程 = [gY(u)]n = . (3)由全期望公式E[X(t)]=E{E[X(t)|N(t)]}及假设 知E[X(t)|N(t)=n]=E[ Yi|N(t)=n]=E[ Yi|N(t)=n] =E[ Yi]=nE(Y1), 所以,E[X(t)]=E{E[X(t)|N(t)]}=E[N(t)]E(Y1) =λtE(Y1). 利用特征函数性质(5),即特征函数与矩的关系,知 ① 特征函数在0点的值gX(0)=E(ei0X)=E(1)=1; ② E[X2(t)]=- = 复合泊松过程复合泊松过程 = =(λt)2E2[Y1]+λtE[Y12]. ③ D[X(t)]=E[X2(t)]-E2[X(t)] =(λt)2E2[Y1]+λtE[Y12]-[λtE(Y1)]2 =λtE[Y12]. 复合泊松过程由一列随机变量{Yn}的和而构成, 当Yn≡ 1时,X(t)=N(t),X(t)即为通常的泊松过程. 复合泊松过程的定义要求,分析具体问题时,首先要 确定一个泊松过程与一个随机变量序列,然后要验证随 机变量序列以及随机变量序列与泊松过程的独立性.只 有在这些条件都具备后,方可对该问题进行处理或计算.复合泊松过程复合泊松过程例3.11设移民到某地定居的户数是一泊松过程,已知平均 每周有2户定居.设每户的人口数是一随机变量,而且一 户有4人的概率为1/6,有3人的概率是1/3,有2人的概率 为1/3,有1人的概率是1/6.且知各户的人口数相互独立. 求[0,t]周内到该地定居的移民人数的数学期望与方差. 解: 记Yi为第i户的人口数,{Yi}相互独立,移民总人数 X(t)= Yi 是一复合泊松过程. 依题意,λ=2. E[Y1]=4·1/6+3·1/3+2·1/3+1·1/6=5/2; E[Y12]=42·1/6+32·1/3+22·1/3+12·1/6=43/6; 所以, E[X(t)]=λtE[Y1]=2t·5/2=5t; D[X(t)]=λtE[Y12]=2t43/6=43t/3.条件泊松过程条件泊松过程3.5 条件泊松过程 设Λ是具有分布G的正值随机变量,{N(t),t≥0}是一计 数过程,如果在已知Λ=λ的条件下{N(t),t≥0}是参数为 λ的泊松过程,则称{N(t),t≥0}为条件泊松过程. 若Λ的分布是G,则随机选择一个个体在长度为t的时间 区间内发生n次的概率是 P{N(t+s)-N(s)=n}= e-λt dG(λ). 设{N(t),t≥0}是条件泊松过程,且E(Λ2)＜∞,则 E[N(t)]=tE[Λ], D[N(t)]=tD[Λ]+tE[Λ]. 在N(t)=n的条件下,Λ的分布 P{Λ≤x|N(t)=n}= e-λt dG(λ)/ e-λt dG(λ).条件泊松过程条件泊松过程 这是因为P{Λ∈(λ,λ+dλ)|N(t)=n}(对很小的dλ) = =e-λt dG(λ)/ e-λt dG(λ). 于是P{Λ≤x|N(t)=n}便有上页最后一行的分布表示式. 条件泊松分布有什么特点呢? 条件泊松分布,描述的是一个有着“风险”参数λ的个体 发生某一事件的概率. 例如有一个总体,它的个体存在某 种差异(如参加人寿保险的人发生事故的倾向性不同),此 时,可以将概率式 P{N(t+s)-N(s)=n}=e-λt , n=0,1,2,… . 解释为给定λ时,N(t)的条件分布Pn|λ(t).条件泊松过程条件泊松过程 在风险理论中,常用条件泊松过程作为意外事件出现的 模型,其强度参数λ未知(用随机变量Λ表示), 但经过一 段时间后,即可用事件发生的概率来表示, 就有了确定的 参数. 例3.12 设某地区在某季节地震发生的平均强度是随机变 量Λ,P{Λ=λ1}=p,P{Λ=λ2}=1-p. 到t时为止的地震 次数是一个条件泊松过程. 求该地区该季节在(0,t)时 间内出现n次地震的条件下地震强度为λ1的概率,并求 在N(t)=n的条件下, 从t开始到下一个地震出现的条件 分布. 解: 该过程是条件泊松过程.因为Λ是离散型,故 P{Λ=λ1|N(t)=n}过滤的泊松过程过滤的泊松过程 =p (λ1t)n/[p (λ1t)n+(1-p) (λ2t)n], P{从t开始带下次地震出现时间≤x|N(t)=n} = . 3.6 过滤的泊松过程 设有一泊松分布的冲激脉冲串,经过一线性时不变滤波 器,则滤波器的输出是一随机过程{X(t),t≥0}: X(t)= h(t-Ui) (☆) 式中h(t)代表线性时不变滤波器(即系统)的冲激响应;Ui 代表第i个冲激脉冲出现的时间(即在时间区间(0,t)内发 生的事件的无序到达时刻),是随机变量; N(t)表示(0,t) 内进入滤波器输入端冲激脉冲的个数,它服从泊松分布:过滤的泊松过程过滤的泊松过程 P{N(t)=k}= e-λt (k=0,1,2,…) N(t)服从泊松分布, 在(0,t)内进入滤波器输入端的(N(t) =)k个脉冲出现的时间均为独立同分布的随机变量, 该随 机变量均匀分布于(0,t)内,即 (u)= 则称(☆)式的随机过程{X(t),t≥0}为过滤的泊松过程. 用温度限制的二极管为例,说明过滤的泊松过程: (1)在(0,t)内从阴极发射的电子数 符合泊松分布; (2)假定二极管为平板型二极管,极 间距离为d,板极对阴极的电位差为v0. ,(0≤u＜t) 0, (其它u值)xdxBOV0阴极阳极过滤的泊松过程过滤的泊松过程研究在没有空间电荷的条件下,一个发射电子从阴极发射 后至到达板极前, 在电路内引起的电流脉冲i(t)的波流, 可得 i(t)= 其中电子从阴极出发到达板极的渡越时间τn= , q0为电子电荷,m为电子质量. (3)因而温度限制二极管的板流(霰弹噪声) I(t)= i(t-Ui) 其中i(t)如上所给,Ui为第i个电子的发射时刻,是在(0,t) 内服从均匀分布的随机变量. 对照定义知,温度限制二极管的板流I(t)是一过滤的泊 松过程.2q0 ,(0≤t≤τ0) 0, (其它)过滤的泊松过程过滤的泊松过程例3.13 设{X(t),t≥0},并有X(t)= h(t-Ui),其中在 时刻Ui发生的事件,在时刻t的输出为h(t-Ui);在时间间 隔(0,t)内发生的事件数,由泊松随机变量N(t)描述,Ui 是在(0,t)内发生事件的无序到达时刻.这个过程是滤波 泊松过程,求其特征函数gX(t)(v). 解: 由E[Y]=E{E[Y|X]}及特征函数定义,有 gX(t)(v)=E[eivX(t)]=E{E[eivX(t)|N(t)]} = E[eivX(t)|N(t)=k]P{N(t)=k} 而 E[eivX(t)|N(t)=k]E[ ], 因为Ui是独立同分布的随机变量,故有 E[eivX(t)|N(t)=k]= E =(E[ ])k.过滤的泊松过程过滤的泊松过程 又在(0,)内的均匀分布,得 E[ ]= dui = du. 将结果代入gX(t)(v)得 gX(t)(v)= { du}k e-λt =e-λt = . 一般,过滤的泊松过程的特征函数 gX(t)(v)= . 过滤的泊松过程过滤的泊松过程例3.14 求温度限制二极管的霰弹噪声I(t)的平均值、相 关函数、协方差函数和方差. 解: 温度限制二极管的霰弹噪声I(t),即温度限制二极管 的板流,它是一个过滤的泊松过程,有 E[I(t)]