水木艾迪2010年考研数学辅导班+春季基础班++数学一试题

水木艾迪 2010 年考研数学辅导班 基础班 教务电话：010-62701055 010-82378805 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 水木艾迪 2010 年考研数学辅导班 春季基础班 数学一试题 一、 选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。 （1） 当 时， 与0→x ( ) axxxf sin−= ( ) ( )bxxxg −= 1ln2 等价无穷小，则（ ）。 （A） 6 1,1 −== ba . (B) 6 1,1 == ba . （C） 6 1,1 =−= ba . （D） 6 1,1 =−= ba . （ 2 ） 如 图 ， 正 方 形 ( ){ }1,1, ≤≤ yxyx 被 其 对 角 线 划 分 为 四 个 区 域 ,则( ) ∫∫== KD KK xdxdyyIkD cos,4,3,2,1 { }kk I41max≤≤ ＝（ ）。 dD1 X Y -1 -1 1 1 D1 D2 D3 D4 （A） (B) (C) (D) 1I 2I 3I 4I (3) 设函数 在区间 [ 上的图形为下图, 函数 ,则下列命题中 错误的是（ ）。 )(xfy = ] ] 2,1− ( ) 0 ( ) x F x f t dt= ∫ (A) 在区间 [( )xF 2,1− 上有 ( ) )(xfxF =′ (B) ( )xF 在 )1,1(− 内至少有一个零点 (C) 在 内恰有一个极大值点和一个极小值点 ( )xF )2,1(− (D) 在区间 [( )xF ]2,1− 上连续，但不一定可导。 )(xf 清华大学东门外同方科技广场 B 座 503 1 -2 -1 0 1 2 3 x -1 水木艾迪 2010 年考研数学辅导班 基础班 教务电话：010-62701055 010-82378805 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com （4）设有两个数列{ } { },, nn ba 若 0lim =∞→ nn a 则（ ）。 （A）当 收敛时， 收敛。 （B）当∑ 发散时，∑ 发散。 ∑∞ =1n nb ∑∞ =1n nnba ∞ =1n nb ∞ =1n nnba （C）当∑∞ =1n nb 收敛时， 收敛。 （D）当∑∞ =1 22 n nnba ∑∞ =1n nb 发散时， 发散。 ∑∞ =1 22 n nnba （ 5 ） 设 是 3 维 向 量 空 间32,1 ,aaa 3R 的 一 组 基 ， 则 由 基 321 3 1, 2 1, aaa 到 基 133221 ,, aaaaaa +++ 的过渡矩阵为（ ）。 （A） （B） （C） ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 330 022 101 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 301 320 021 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − 6 1 4 1 2 1 6 1 4 1 2 1 6 1 4 1 2 1 （D） ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − 6 1 6 1 6 1 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 (6) 设 A,B 均为 2 阶矩阵， 分别为 A,B 的伴随矩阵，若∗∗ BA , ,3,2 == BA 则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ）。 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 0B AO （A） （B） （C） （D）⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∗ ∗ OA BO 2 3 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∗ ∗ OA BO 3 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∗ ∗ OB AO 2 3 * * 2 3 O A B O ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ (7) 设随机变量 X 的分布函数为 ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −Φ+Φ= 2 17.03.0 xxxF 其中 )(xΦ 为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布 函数，则EX ＝（ ）。 （A）0. (B)0.3. (C)0.7 (D)1. (8) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N（0，1），Y 的概率分布为 { } { } 2 110 ==== YPYP , 记 为随机变量 Z=XY 的分布函数，则函数 的间断点 个数为（ ） )(zFZ )(zFZ （A）0 (B)1 (C)2 (D)3 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。 （9）设函数 具有二阶连续偏导数，( vuf , ) ( )xyxfz ,= 则 yx z ∂∂ ∂ 2 ＝ 。 （10）若二阶常系数线性齐次微分方程 0=+′+′′ byyay 的通解为 ( ) ,21 xexCCy += 则非 齐次方程 满足条件xbyyay =+′+′′ ( ) ( ) 00,20 =′= yy 的解为 = 。 y （11）已知曲线 ( )20: 2 ≤≤= xxyL ，则 。 ∫Lxds 清华大学东门外同方科技广场 B 座 503 2 水木艾迪 2010 年考研数学辅导班 基础班 教务电话：010-62701055 010-82378805 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com （12）设 ( ){ }1,, 222 ≤++=Ω zyxzyx ，则 ＝ 。 ∫∫∫ Ω dxdydzz 2 （13）若 3 维向量 β,a 满足 ,其中 为 的转置，则矩阵 的非零特征值 为 2=βTa Ta a Taβ 。 （14）设 为来自二项分布总体mXXX ,,, 21 L ( )pnB , 的简单随机样本， X 和 分别为样 本均值和样本方差。若 2S 2kSX + 为 的无偏估计量，则2np =k 。 三、解答题：15-23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分 9 分）求二元函数 ( ) ( ) yyyxyxf ln2, 22 ++= 的极值。 （16）（本题满分 9 分）设 为曲线na nxy = ( )L,2,11 == + nxy n 与所围成区域的面积，记 求 与 的值。 ,, 1 122 1 1 ∑∑ ∞ = − ∞ = == n n n n aSaS 1S 2S （17）（本题满分 11 分）椭球面积 是椭圆1S 134 22 =+ yx 绕 x轴旋转而成，圆锥面积 是 过点 且与椭圆 2S ( 0,4 ) 1 34 22 =+ yx 相切的直线绕 x轴旋转而成。 （I）求 及 的方程；（II）求 及 之间的立体体积。 1S 2S 1S 2S （18）（本题满分 11 分）（I）证明拉格朗日中值定理：若函数 ( )xf 在 [ ]ba, 上连续，在 可导，则存在 ( )ba, ( ba,∈ )ξ 使得 ( ) ( ) ( )( )abfafbf −′=− ξ 。 （II）证明：若函数 ( )xf 在 处连续，在0=x ( )( )0,0 >δδ 内可导，且 ，则 存在，且 。 ( ) Axf x =′+→0lim ( )0+′f ( ) Af =′+ 0 （19）（本题满分 10 分）计算曲面积分 ( )∫∫∑ ++ ++= 2 3 222 zyx zdxdyydzdxxdydzI 其中 Σ 是曲面 的外侧。 422 222 =++ zyx （20）（本题满分 11 分）设 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − −− = 2 1 1 , 240 111 111 1ξA (Ⅰ)求满足 的所有向量13212 , ξξξξ == AA 32 ,ξξ ； 清华大学东门外同方科技广场 B 座 503 3 水木艾迪 2010 年考研数学辅导班 基础班 教务电话：010-62701055 010-82378805 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任一向量 32 ,ξξ ，证明： 321 ,, ξξξ 线性无关。 （21）（本题满分 11 分）设二次型 3231232221321 22)1(),,( xxxxxaaxaxxxxf −+−++= （Ⅰ）求二次型 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型 的规范形为 ，求 a 的值。 f f 2221 yy + （22）（本题满分 11 分）袋中有一个红色球，两个黑色球，三个白球，现有放回的从袋中取 两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球的红、黑、白球的个数。 ①求 { 01 == ZXP }。②求二维随机变量 ( )YX , 的概率分布。 （23）（本题满分 11 分）设总体 X 的概率密度为 ，其中参数 ⎩⎨ ⎧ >= − .,0 0, )( 2 其他 ，xxe xf xλλ ( 0> )λλ 未知， 是来自总体 X 的简单随机样本。 nxxx ,..., 21 （I） 求参数λ的矩估计量；（II）求参数λ的最大似然估计量。 清华大学东门外同方科技广场 B 座 503 4