高中数学典型例题：抛物线问题

抛物线问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 典型例题一例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1）（2）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．解：（1），∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：（2）原抛物线方程为：，①当时，，抛物线开口向右，∴焦点坐标是，准线方程是：．②当时，，抛物线开口向左，∴焦点坐标是，准线方程是：．综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：．典型例题二例2若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k．解法一：设、，则由：可得：．∵直线与抛物线相交，且，则．∵AB中点横坐标为：，解得：或（舍去）．故所求直线方程为：．解法二：设、，则有．两式作差解：，即．EMBEDEquation.3，故或（舍去）．则所求直线方程为：．典型例题三例3求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切．分析：可设抛物线方程为．如图所示，只须证明，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切．证明：作于于．M为AB中点，作于，则由抛物线的定义可知：在直角梯形中：，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切．说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求k值．（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标．解：（1）由得：设直线与抛物线交于与两点．则有：，即（2），底边长为，∴三角形高∵点P在x轴上，∴设P点坐标是则点P到直线的距离就等于h，即或，即所求P点坐标是（－1，0）或（5，0）．典型例题五例5已知定直线l及定点A（A不在l上），n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证P的轨迹为抛物线．分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明且即可．证明：如图所示，连结PA、PN、NB．由已知条件可知：PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为P．∴AN也垂直平分PB．则四边形PABN为菱形．即有．则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线．典型例题六例6若线段为抛物线的一条焦点弦，F为C的焦点，求证：．分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．证法一：，若过F的直线即线段所在直线斜率不存在时，则有,．若线段所在直线斜率存在时，设为k，则此直线为：，且设．由得：①②根据抛物线定义有：则EMBEDEquation.3请将①②代入并化简得：证法二：如图所示，设、、F点在C的准线l上的射影分别是、、，且不妨设，又设点在、上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知，又∽，即故原命题成立．典型例题七例7设抛物线方程为，过焦点F的弦AB的倾斜角为，求证：焦点弦长为．分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题．证法一：抛物线的焦点为，过焦点的弦AB所在的直线方程为：由方程组消去y得：设，则又即证法二：如图所示，分别作、垂直于准线l．由抛物线定义有：于是可得出：EMBEDEquation.3故原命题成立．典型例题八例8已知圆锥曲线C经过定点，它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为，过焦点F任意作曲线C的弦AB，若弦AB的长度不超过8，且直线AB与椭圆相交于不同的两点，求（1）AB的倾斜角的取值范围．（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程．分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C为抛物线，AB为抛物线的焦点弦，设其斜率为k，弦AB与椭圆相交于不同的两点，可求出k的取值范围，从而可得的取值范围，求CD中点M的轨迹方程时，可设出M的坐标，利用韦达定理化简即可．解：（1）由已知得．故P到的距离，从而∴曲线C是抛物线，其方程为．设直线AB的斜率为k，若k不存在，则直线AB与无交点．∴k存在．设AB的方程为由可得：设A、B坐标分别为、，则：∵弦AB的长度不超过8，即由得：∵AB与椭圆相交于不同的两点，由和可得：或故或又，∴所求的取值范围是：或（2）设CD中点、、由得：则即．化简得：∴所求轨迹方程为：典型例题九例9　定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标．分析：线段中点到轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究、两点的横坐标之和取什么最小值即可．解：如图，设是的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，又到准线的垂线为，、和是垂足，则．设点的横坐标为，纵坐标为，，则．等式成立的条件是过点．当时，，故，，．所以，此时到轴的距离的最小值为．说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简．典型例题十例10　过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，求的最小值．分析：本题可分和两种情况讨论．当时，先写出的表达式，再求范围．解：(1)若，此时．(2)若，因有两交点，所以．，即．代入抛物线方程，有．故，．故．所以．因，所以这里不能取“=”．综合(1)(2)，当时，．说明：(1)此题须对分和两种情况进行讨论；(2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为；(3)当时，叫做抛物线的通径．通径是最短的焦点弦．典型例题十一例11　过抛物线EMBEDEquation.3的焦点作弦，为准线，过、作的垂线，垂足分别为、，则①为（　　），②为（　　）．A．大于等于　　B．小于等于　　C．等于　　D不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切．解：①点在抛物线上，由抛物线定义，则，又轴．∴，同理，而，∴，∴．选C．②过中点作，垂中为，则．∴以为直径的圆与直线相切，切点为．又在圆的外部，∴．特别地，当轴时，与重合，．即，选B．典型例题十二例12　已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为__________．分析：本题若建立目标函数来求的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决．解：如图，由定义知，故．取等号时，、、三点共线，∴点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以点坐标为．说明：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离．要重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线距离的相互转换．_1234568017.unknown_1234568081.unknown_1234568113.unknown_1234568145.unknown_1234568161.unknown_1234568169.unknown_1234568173.unknown_1234568177.unknown_1234568179.unknown_1234568181.unknown_1234568183.unknown_1234568184.unknown_1234568182.unknown_1234568180.unknown_1234568178.unknown_1234568175.unknown_1234568176.unknown_1234568174.unknown_1234568171.unknown_1234568172.unknown_1234568170.unknown_1234568165.unknown_1234568167.unknown_1234568168.unknown_1234568166.unknown_1234568163.unknown_1234568164.unknown_1234568162.unknown_1234568153.unknown_1234568157.unknown_1234568159.unknown_1234568160.unknown_1234568158.unknown_1234568155.unknown_1234568156.unknown_1234568154.unknown_1234568149.unknown_1234568151.unknown_1234568152.unknown_1234568150.unknown_1234568147.unknown_1234568148.unknown_1234568146.unknown_1234568129.unknown_1234568137.unknown_1234568141.unknown_1234568143.unknown_1234568144.unknown_1234568142.unknown_1234568139.unknown_1234568140.unknown_1234568138.unknown_1234568133.unknown_1234568135.unknown_1234568136.unknown_1234568134.unknown_1234568131.unknown_1234568132.unknown_1234568130.unknown_1234568121.unknown_1234568125.unknown_1234568127.unknown_1234568128.unknown_1234568126.unknown_1234568123.unknown_1234568124.unknown_1234568122.unknown_1234568117.unknown_1234568119.unknown_1234568120.unknown_1234568118.unknown_1234568115.unknown_1234568116.unknown_1234568114.unknown_1234568097.unknown_1234568105.unknown_1234568109.unknown_1234568111.unknown_1234568112.unknown_1234568110.unknown_1234568107.unknown_1234568108.unknown_1234568106.unknown_1234568101.unknown_1234568103.unknown_1234568104.unknown_1234568102.unknown_1234568099.unknown_1234568100.unknown_1234568098.unknown_1234568089.unknown_1234568093.unknown_1234568095.unknown_1234568096.unknown_1234568094.unknown_1234568091.unknown_1234568092.unknown_1234568090.unknown_1234568085.unknown_1234568087.unknown_1234568088.unknown_1234568086.unknown_1234568083.unknown_1234568084.unknown_1234568082.unknown_1234568049.unknown_1234568065.unknown_1234568073.unknown_1234568077.unknown_1234568079.unknown_1234568080.unknown_1234568078.unknown_1234568075.unknown_1234568076.unknown_1234568074.unknown_1234568069.unknown_1234568071.unknown_1234568072.unknown_1234568070.unknown_1234568067.unknown_1234568068.unknown_1234568066.unknown_1234568057.unknown_1234568061.unknown_1234568063.unknown_1234568064.unknown_1234568062.unknown_1234568059.unknown_1234568060.unknown_1234568058.unknown_1234568053.unknown_1234568055.unknown_1234568056.unknown_1234568054.unknown_1234568051.unknown_1234568052.unknown_1234568050.unknown_1234568033.unknown_1234568041.unknown_1234568045.unknown_1234568047.unknown_1234568048.unknown_1234568046.unknown_1234568043.unknown_1234568044.unknown_1234568042.unknown_1234568037.unknown_1234568039.unknown_1234568040.unknown_1234568038.unknown_1234568035.unknown_1234568036.unknown_1234568034.unknown_1234568025.unknown_1234568029.unknown_1234568031.unknown_1234568032.unknown_1234568030.unknown_1234568027.unknown_1234568028.unknown_1234568026.unknown_1234568021.unknown_1234568023.unknown_1234568024.unknown_1234568022.unknown_1234568019.unknown_1234568020.unknown_1234568018.unknown_1234567953.unknown_1234567985.unknown_1234568001.unknown_1234568009.unknown_1234568013.unknown_1234568015.unknown_1234568016.unknown_1234568014.unknown_1234568011.unknown_1234568012.unknown_1234568010.unknown_1234568005.unknown_1234568007.unknown_1234568008.unknown_1234568006.unknown_1234568003.unknown_1234568004.unknown_1234568002.unknown_1234567993.unknown_1234567997.unknown_1234567999.unknown_1234568000.unknown_1234567998.unknown_1234567995.unknown_1234567996.unknown_1234567994.unknown_1234567989.unknown_1234567991.unknown_1234567992.unknown_1234567990.unknown_1234567987.unknown_1234567988.unknown_1234567986.unknown_1234567969.unknown_1234567977.unknown_1234567981.unknown_1234567983.unknown_1234567984.unknown_1234567982.unknown_1234567979.unknown_1234567980.unknown_1234567978.unknown_1234567973.unknown_1234567975.unknown_1234567976.unknown_1234567974.unknown_1234567971.unknown_1234567972.unknown_1234567970.unknown_1234567961.unknown_1234567965.unknown_1234567967.unknown_1234567968.unknown_1234567966.unknown_1234567963.unknown_1234567964.unknown_1234567962.unknown_1234567957.unknown_1234567959.unknown_1234567960.unknown_1234567958.unknown_1234567955.unknown_1234567956.unknown_1234567954.unknown_1234567921.unknown_1234567937.unknown_1234567945.unknown_1234567949.unknown_1234567951.unknown_1234567952.unknown_1234567950.unknown_1234567947.unknown_1234567948.unknown_1234567946.unknown_1234567941.unknown_1234567943.unknown_1234567944.unknown_1234567942.unknown_1234567939.unknown_1234567940.unknown_1234567938.unknown_1234567929.unknown_1234567933.unknown_1234567935.unknown_1234567936.unknown_1234567934.unknown_1234567931.unknown_1234567932.unknown_1234567930.unknown_1234567925.unknown_1234567927.unknown_1234567928.unknown_1234567926.unknown_1234567923.unknown_1234567924.unknown_1234567922.unknown_1234567905.unknown_1234567913.unknown_1234567917.unknown_1234567919.unknown_1234567920.unknown_1234567918.unknown_1234567915.unknown_1234567916.unknown_1234567914.unknown_1234567909.unknown_1234567911.unknown_1234567912.unknown_1234567910.unknown_1234567907.unknown_1234567908.unknown_1234567906.unknown_1234567897.unknown_1234567901.unknown_1234567903.unknown_1234567904.unknown_1234567902.unknown_1234567899.unknown_1234567900.unknown_1234567898.unknown_1234567893.unknown_1234567895.unknown_1234567896.unknown_1234567894.unknown_1234567891.unknown_1234567892.unknown_1234567890.unknown