正余弦定理 海伦公式

余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活.对于任意三角形三边为a,b,c三角为A,B,C满足性质aA2=bA2+cA2-2*b*c*CosAbA2=aA2+cA2-2*a*c*CosBcA2=aA2+bA2-2*a*b*CosCCosC=(aA2+bA2-cA2)/2abCosB=(aA2+cA2-bA2)/2acCosA=(cA2+bA2-aA2)/2bc证明：如图：'：a=b-cAaA2=(b-c)A2(证明中前面所写的a,b,c皆为向量，人2为平方)拆开即aA2=bA2+cA2-2bc再拆开，得aA2=bA2+cA2-2*b*c*CosA同理可证其他，而卜面的CosA=(cA2+bA2-aA2)/2bc就是将CosA移到右边 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示一下。平面几何证法：在任意AABC中做AD丄BC.ZC所对的边为c,ZB所对的边为b,ZA所对的边为a则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：ACA2=ADA2+DCA2bA2=(sinB*c)A2+(a-cosB*c)A2bA2=sinA2B*cA2+aA2+cosA2B*cA2-2ac*cosBbA2=(sinA2B+cosA2B)*cA2-2ac*cosB+aA2bA2=cA2+aA2-2ac*cosBcosB=(cA2+aA2-bA2)/2ac余弦定理的作用已知三角形的三条边长，可求出三个内角；已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.例如：已知AABC的三边之比为：2：1,求最大的内角.解设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=:2:1.由三角形中人边对人角可知：ZA为最大的角•由余弦定理cosA==-所以ZA=120.再如AABC中，AB=2,AC=3>ZA=tt3,求BC之长.解由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA=4+9-223=7,所以BC=7.以上两个小例子简单 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 了余弦定理的作用从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角，如果人于第三边，那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。注：a"2；b'2；c"2就是a的2次方;b的2次方；c的2次方正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍)这一定理对于任意三角形ABC,都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2RR为三角形外接圆半径证明步骤1.在锐角AABC中，设BC=a,AC=b,AB=Co作CH丄AB垂足为点HCH=asinBCH=bsinA/.asinB=bsinA得到a/sinA=b/sinB同理，在AABC中，b/sinB=c/sinC步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交0O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角，所以ZDAB=90度因为同弧所对的圆周角相等，所以ZD等于ZC.所以c/sinC=c/sinD二BD=2R类似可证其余两个等式。意义正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。正弦定理的变形公式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA:sinB:sinC=a:b:c;(条件同上)在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解似的唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，人角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinC=c/sinD=BD=2R扩展一.三角形面积公式：海伦公式：设P=(a+b+c)/2S△二根号下P(P-a)(P-b)(P-c)解释:假设有一个三角形，边长分别为a、b、c,三角形的面枳S可由以下公式求得：S=<[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2SAABC=(ab/2)sinC=(bc/2)sinA=(ac/2)sinB=abc/(4R)[R为外接圆半径]3.SAABC=ah/2海伦公式(Heron'sformula或Hero'sformula),又译希罗公式$、希伦公式、海龙公式，亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式相传是亚历山大港的希罗发现的,并可在其于公元60年的《Metrics》中找到其证明，利用三角世的三条边长来求取三角形面积。亦有认为早于阿基米德已经懂得这条公式,而由于《Metrics》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于希罗的著作。巨假设有一个三角形，边长分别为6三角形的面积S可由以下公式求得：s=y/p(p-a)(p-b){p-c\这里p=a.+b+c^中国南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式,其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：''三百十五顷其术文是：“以小斜幕并大斜幕,减中斜幕，余，半之。同乘于上，以小斜幕乘大斜幕，减上。余，四约之为实，开平方,得积。”若以大斜记为G中斜记为b,小斜记为C,秦九韶的方法相当于下面的一般公式：像中国古代的数学家一样，他的方法没有证明。根据现代数学家吴文俊的研究,秦九韶公式可由出入相补原理得出。一些中国学者将这个公式称为秦九韶公式。由于任何n边的多边形都可以分割成刀-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。证明与希罗在他的著作Ofetrica》中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b,c的对角分别为扎则余弦定理为(C、q2+沪_c2COS(C)=2ab从而有a2+b2—c21+2^6sin(C)=^/1-cos2(C)=y/(l+COS(7)(1—COSC)a2+b2—c22ab(Q+fe)2—C22ab2cibJ(a+b+c)(a+b—c)(c+q.—b'(c—0.+b)2ab_J(2p)(2p_2c)(2p_2b)(2p_2q)2ab=和P(P-c)(p-b)(p-a)因此三角形的面积劝S=|aftsin(C)=y和(P)@-Q)(P-b)(p-c)=Jp(p-a)(p-b)(p-c)三角形面积公式的探究设AABC的三边为a,b,c,由解直角三角形易得三边上的高h“hb,hc,$=—只冋根据面积公式2,可以推导出另一面积公式=—besinA=—acsin5=—acsinC222.由此公式，可以直接计算已知两边及夹角的三角形面积，并解决一些与面积相关的问题.一、应用面积公式，推导正弦定理例1.设AABC的三边为a,b,C,求证：sin5sin(7.证明:由三角形面积公式,得到扣⑺冷“嗨“。R卩besmA=acsinB=acsinC.sin4-sinB.sinC上式同时除以abc,得到~==所以，sin24sin召sin(7e点评：三角形面积公式由直角三角形的边角关系表示出各边上的高之后再推导出來，再运用它推导正弦定理，实质就是教材中正弦定理推导过程的简化.三、结合面积公式，研究三角问题例3在厶ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a=4,b=5,S=5臥求c的长度;—(a2+b2-c2)若三角形的面积S=4,求ZC的度数;bsinS若a、b、c成等比数列，且a2-c2=ac-bc,求ZA的大小及的值.解:(1)VS=absmC,AsmC=,于是ZC=60：＞或ZC=120"・又Tc2=a2+b2—2abcosC,当ZC=601时，c2=a2+b2—ab,c=；当ZC=120°时，c2=a2+b2+ab,c=・・•・C的长度为或.由S=,得absinC=・.ItaiiC=l»得C=・Va.b、c成等比数列，Ab2=ac.又a2—c2=ac—be,/•b2+c2—a2=bc・在AABC中，由余弦定理得cosA==,/•ZA=60'・在Z^ABC中，由面积公式得bcsinA=acsmB・/•bcsinA=b2smB,贝iJ=sinA=・点评：解三角形时，需认真分析题中已知条件中边与角之间的关系，根据条件合理选用正弦定理或余弦定理，结合三角形的面积公式来解决问题.四、综合面积公式，探讨数学领域例4己知圆内接四边形ABCD的边长AB=2,BC=6,CD=DA=4・求四边形ABCD的面积.c解：如图，连结ED,则四边形面积S=SZ1ABD+S/1CBD=-AB■ADsinA+i&C-CDsinC22TA+C=180°,AsinA=sinC,•■・S=1（AB•AD+BC•CD）・sinA=16sinA・2在ZkABD中，由余弦定理得BD2=22+42~2•2-4CQSA=20~16C0SA.在ACDB中，BD2=52-48C0SO20_16C0S.^=52-48C0SC.XcosC=—cosA,・\cosA=—\A=120°,#S=16sinA=8-^・点评：在印度婆罗摩笈多（约593-665后）的书中，出现了有圆内接四边形的求积公式sPp-泳旷恼（其中a,b,c,d为四边形的四条边，p为四边形的周长之半）.当d=0时，这个公式即为海伦公式.推广到任意四边形，则得到婆罗摩笈多公$=--“）3-C3-轴De。"也上式Y2.三角形的面积公式有许多，例如己知三角形的三边a、b、c及外接圆、内切圆的半径为R,「，则有SA=abc/4R与"厂乂如，在厶ABC中，若延二（勺必），AC=（心儿），则厶ABC的面积为S=2'此三角形面积的向量公式可如下证明.证明仏岁両•阿心冷J（远M洞）"（i・c宀）=1^/（1ZS|-|IdD3-dlS|-|7c|cosA）1=-^（122=+J阴+疋•漏+頁）”_〔石隔+刃曲）'=卩丿二弓西刃-Vil-由上例公式，不必求三角形的边长和角度，只要知道任意两边所对应的向量即可，而其向量在已知三角形三个顶点的坐标时不难求得.由此，我们知道三角形三个顶点的坐标用勺必），琐5旳）.5%几），也可以得到如下面积公式.£方=（乜一珂,K一yL）,AC=（兀3_耳旳_必）,贝|jS皿无）馄-戸）-（怎・无）（冏-乃）|；丨（无乃+勺乃+花必）一（可必+花乃+习片）I=/・以上我们探讨了各面积公式之间的相互联系，灵活运用三角形的面积公式，能帮助我们解决许多解三角形的问题.