2019年最新吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)及答案解析

吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）　一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且z1=3+2i，则z1•z2=（　　）A．12+13iB．13+12iC．﹣13iD．13i2．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（　　）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|﹣2＜x＜3}3．运行如图所示的程序框图，则输出的S值为（　　）A．B．C．D．4．若实数a，b∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（　　）A．a2＞b2B．C．2a＞2bD．lg（a﹣b）＞05．几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）A．B．C．D．6．已知变量X服从正态分布N（2，4），下列概率与P（X≤0）相等的是（　　）A．P（X≥2）B．P（X≥4）C．P（0≤X≤4）D．1﹣P（X≥4）7．已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2=1的直径，点P为直线x﹣y+1=0上任意一点，则的最小值为（　　）A．1B．C．2D．8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0且，当Sn取最大值时，n的值为（　　）A．9B．10C．11D．129．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种．（　　）A．18B．27C．37D．21210．函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是（　　）A．B．C．D．11．已知函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）=2，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，当x∈（﹣1，0]时，，若定义在（﹣1，3）上的函数g（x）=f（x）﹣t（x+1）有三个不同的零点，则实数t的取值范围是（　　）A．B．C．D．12．过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（　　）A．10B．13C．16D．19　二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．已知实数x，y满足，则y﹣2x的最小值为______．14．已知向量=（1，），=（0，t2+1），则当时，|﹣t|的取值范围是______．15．已知a＞0，展开式的常数项为15，则=______．16．已知数列{an}中，对任意的n∈N*若满足an+an+1+an+2+an+3=s（s为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s为4阶公和；若满足an•an+1•an+2=t（t为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t为3阶公积．已知数列{pn}为首项为1的4阶等和数列，且满足；数列{qn}为公积为1的3阶等积数列，且q1=q2=﹣1，设Sn为数列{pn•qn}的前n项和，则S2016=______．　三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2016•长春二模）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足，且，求△ABC的面积．18．（12分）（2016•长春二模）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差． P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（，其中n=a+b+c+d）19．（12分）（2016•长春二模）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，点D1为棱PD的中点，过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA，PB，PC相交于A1，B1，C1，∠BAD=60°．（1）证明：B1为PB的中点；（2）若AB=2，且二面角A1﹣AB﹣C的大小为60°，AC、BD的交点为O，连接B1O．求三棱锥B1﹣ABO外接球的体积．20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）（2016•长春二模）已知函数在点（1，f（1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．（1）求实数a的值及f（x）的极值；（2）若对任意x1，x2，有，求实数k的取值范围．　请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•长春二模）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．　[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•长春二模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．　[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•长春二模）设函数f（x）=|x+2|+|x﹣a|（a∈R）．（1）若不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．　参考答案与试题解析　一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且z1=3+2i，则z1•z2=（　　）A．12+13iB．13+12iC．﹣13iD．13i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】求出复数的对称点的复数，利用复数的乘法运算法则求解即可．【解答】解：复数z1在复平面内关于直线y=x对称的点表示的复数z2=2+3i，所以z1•z2=（3+2i）（2+3i）=13i．故选：D．【点评】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题．　2．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（　　）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|﹣2＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由题意可知A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B={x|0＜x＜2}．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．　3．运行如图所示的程序框图，则输出的S值为（　　）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的是计算首项为，公比也为的等比数列的前9项和．【解答】解：由算法流程图可知，输出结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为．故选：A．【点评】本题考查了程序流程图中循环结构的认识与应用问题，是基础题目．　4．若实数a，b∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（　　）A．a2＞b2B．C．2a＞2bD．lg（a﹣b）＞0【考点】不等关系与不等式．【分析】举特值可排除ABD，对于C可由指数函数的单调性得到．【解答】解：选项A，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但不满足a2＞b2，故错误；选项B，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但=，故错误；选项C，由指数函数的单调性可知当a＞b时，2a＞2b，故正确；选项D，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但lg（a﹣b）=lg1=0，故错误．故选：C．【点评】本题考查不等式的运算性质，特值法是解决问题的关键，属基础题．　5．几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为．故选：C．【点评】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　6．已知变量X服从正态分布N（2，4），下列概率与P（X≤0）相等的是（　　）A．P（X≥2）B．P（X≥4）C．P（0≤X≤4）D．1﹣P（X≥4）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由变量X服从正态分布N（2，4）可知，x=2为其密度曲线的对称轴，即可求出答案．【解答】解：由变量X服从正态分布N（2，4）可知，x=2为其密度曲线的对称轴，因此P（X≤0）=P（X≥4）．故选B．【点评】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对正态分布的对称性有充分的认识．　7．已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2=1的直径，点P为直线x﹣y+1=0上任意一点，则的最小值为（　　）A．1B．C．2D．【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】运用向量加减运算和数量积的性质，可得=（+）•（+）=||2﹣r2，即为d2﹣r2，运用点到直线的距离公式，可得d的最小值，进而得到结论．【解答】解：由=（+）•（+）=2+•（+）+•=||2﹣r2，即为d2﹣r2，其中d为圆外点到圆心的距离，r为半径，因此当d取最小值时，的取值最小，可知d的最小值为=，故的最小值为2﹣1=1．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的数量积的运算，注意运用向量的平方即为模的平方，以及点到直线的距离公式，属于中档题．　8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0且，当Sn取最大值时，n的值为（　　）A．9B．10C．11D．12【考点】等差数列的性质．【分析】由题意，不妨设a6=9t，a5=11t，则公差d=﹣2t，其中t＞0，因此a10=t，a11=﹣t，即可得出．【解答】解：由题意，不妨设a6=9t，a5=11t，则公差d=﹣2t，其中t＞0，因此a10=t，a11=﹣t，即当n=10时，Sn取得最大值．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的性质、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　9．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种．（　　）A．18B．27C．37D．212【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题可知，取出酒瓶的方式有3类，根据分类计数原理可得．【解答】解：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为，为35种；共计37种取法．故选：C．【点评】本题是一道排列组合问题，考查学生处理问题的方法，对学生的逻辑思维和抽象能力提出很高要求，属于中档题．　10．函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是（　　）A．B．C．D．【考点】余弦函数的对称性．【分析】根据函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式，根据它与一样，求得a的值．【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数图象，学生对三角函数图象的对称，诱导公式的运用是解决本题的关键，属于基础题．　11．已知函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）=2，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，当x∈（﹣1，0]时，，若定义在（﹣1，3）上的函数g（x）=f（x）﹣t（x+1）有三个不同的零点，则实数t的取值范围是（　　）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由g（x）=f（x）﹣t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），分别求出函数f（x）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题可知函数在x∈（﹣1，1]上的解析式为，又由f（x）+f（2﹣x）=2可知f（x）的图象关于（1，1）点对称，可将函数f（x）在x∈（﹣1，3）上的大致图象呈现如图：根据y=t（x+1）的几何意义，x轴位置和图中直线位置为y=t（x+1）表示直线的临界位置，其中x∈[1，2）时，f（x）=﹣（x﹣2）2+2，联立，并令△=0，可求得．因此直线的斜率t的取值范围是．故选：D．【点评】本题是最近热点的函数图象辨析问题，是一道较为复杂的难题．作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．　12．过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（　　）A．10B．13C．16D．19【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3=2•8﹣3=13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选B．【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．　二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．已知实数x，y满足，则y﹣2x的最小值为　1　．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最小值即可．【解答】解：根据方程组获得可行域如下图，令z=y﹣2x，可化为y=2x+z，因此，当直线过点（1，3）时，z取得最小值为1．故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题．从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查．　14．已知向量=（1，），=（0，t2+1），则当时，|﹣t|的取值范围是　[1，]　．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】求出=（0，1），再根据向量差的几何意义，求出|﹣t|的解析式，从而求出它的取值范围．【解答】解：由题意，=（0，1），根据向量的差的几何意义，|﹣t|表示向量t的终点到向量的终点的距离d，所以d=；所以，当t=时，该距离取得最小值为1，当t=﹣时，该距离取得最大值为，即|﹣t|的取值范围是[1，]．故答案为：[1，]．【点评】本题利用数形结合思想，考查了平面向量的几何意义，也考查了函数的最值问题以及计算求解能力的应用问题，是基础题目．　15．已知a＞0，展开式的常数项为15，则=　　．【考点】二项式定理；微积分基本定理．【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得a的值，再利用积分的运算性质、法则，求得要求式子的值．【解答】解：由的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•a6﹣r•，令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，积分的运算，是一道中档的常规问题　16．已知数列{an}中，对任意的n∈N*若满足an+an+1+an+2+an+3=s（s为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s为4阶公和；若满足an•an+1•an+2=t（t为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t为3阶公积．已知数列{pn}为首项为1的4阶等和数列，且满足；数列{qn}为公积为1的3阶等积数列，且q1=q2=﹣1，设Sn为数列{pn•qn}的前n项和，则S2016=　﹣2520　．【考点】数列的求和．【分析】通过定义可知数列数列{pn}、数列{qn}均为周期数列，进而可知数列{pn•qn}中每12项的和循环一次，进而计算可得结论．【解答】解：由题意可知，p1=1，p2=2，p3=4，p4=8，p5=1，p6=2，p7=4，p8=8，p9=1，p10=2，p11=4，p12=8，p13=1，…，又pn是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，q1=﹣1，q2=﹣1，q3=1，q4=﹣1，q5=﹣1，q6=1，q7=﹣1，q8=﹣1，q9=1，q10=﹣1，q11=﹣1，q12=1，q13=﹣1，…，又qn是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列{pn•qn}，每12项的和循环一次，易求出p1•q1+p2•q2+…+p12•q12=﹣15，因此S2016中有168组循环结构，故S2016=﹣15×168=﹣2520，故答案为：﹣2520．【点评】本题主要考查非常规数列求和问题，对学生的逻辑思维能力提出很高要求，属于一道难题．　三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2016•长春二模）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足，且，求△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）运用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，由正弦函数的周期公式及单调递减区间，解不等式可得；（2）由条件，可得角A，再运用正弦定理可得b+c=13，由余弦定理，可得bc=40，由三角形的面积公式计算即可得到所求．【解答】解：（1）=，因此f（x）的最小正周期为．由，可得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递减区间为（k∈Z）；（2）由，又A为锐角，则．由正弦定理可得，，则，由余弦定理可知，，可求得bc=40，故．【点评】本题主要考查三角函数的化简运算，以及三角函数的性质，并借助正弦和余弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求．　18．（12分）（2016•长春二模）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差． P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由题意列出2×2列联表，计算观测值K2，对照数表即可得出正确的结论；（2）根据题意，得出商品和服务都好评的概率，求出X的可能取值，计算对应的概率值，写出期望与方差．【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表为： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200计算观测值，对照数表知，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（6分）（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5；其中；；；；；；所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 由于X～B（5，），则；．（12分）【点评】本题主要考查了统计与概率的相关知识，包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法问题，也考查了对数据处理能力的应用问题．　19．（12分）（2016•长春二模）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，点D1为棱PD的中点，过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA，PB，PC相交于A1，B1，C1，∠BAD=60°．（1）证明：B1为PB的中点；（2）若AB=2，且二面角A1﹣AB﹣C的大小为60°，AC、BD的交点为O，连接B1O．求三棱锥B1﹣ABO外接球的体积．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量求平面间的夹角．【分析】（1）根据面面平行的性质结合中位线的性质即可证明：B1为PB的中点；（2）建立坐标系，求出平面的法向量，结合三棱锥的外接球的性质进行求解即可．【解答】解：（1）连结B1D1.，即B1D1为△PBD的中位线，即B1为PB中点．（4分）（2）以O为原点，OA方向为x轴，OB方向为y轴，OB1方向为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则，B（0，1，0），B1（0，0，t），从而，，则，又SHAPE\*MERGEFORMAT，则．由题可知，OA⊥OB，OA⊥OB1，OB⊥OB1，即三棱锥B1﹣ABO外接球为以OA、OB、OB1为长、宽、高的长方体外接球，则该长方体的体对角线长为，即外接球半径为．则三棱锥B1﹣ABO外接球的体积为．（12分）【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到面面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．　20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设c=t，则a=2t，，推导出点P为短轴端点，从而得到t=1，由此能求出椭圆的方程．（2）设直线AB的方程为x=ty+1，联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、向量知识、直线方程、圆的性质、椭圆性质，结合已知条件能推导出以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆的离心率为，不妨设c=t，a=2t，即，其中t＞0，又△F1PF2内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，∵，为定值，∴也取得最大值，即点P为短轴端点，∴，，解得t=1，∴椭圆的方程为．（4分）（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，则，，直线AA1的方程为，直线BA1的方程为，则，，假设PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），则，，，即，即，，即6nt﹣9+n2+（4﹣m）2=0，若PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），即不论t为何值时，恒成立，∴n=0，m=1或m=7．∴以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．（12分）【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题．本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．　21．（12分）（2016•长春二模）已知函数在点（1，f（1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．（1）求实数a的值及f（x）的极值；（2）若对任意x1，x2，有，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导，由f'（1）=﹣4，即可求得a的值，令f'（x）=0，求得可能的极值点，由f′（x）＞0及f′（x）＜0，分别求得单调递增和单调递减区间，根据极小值的定义，即可求得在x=1时取极小值，即可求得极小值；（2）由题意可知将不等式转化成，得，构造辅助函数，，求得g（x）的解析式，求导，根据函数的单调性求得g'（x）的最小值，即可求得k的取值范围．【解答】解（1）由题意得，（x＞0），点（1，f（1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．又f'（1）=﹣4，即=﹣4，解得a=1．令，解得：x=e，当f′（x）＞0，解得：x＞e，函数f（x）在（e，+∞）上单调递增，当f′（x）＜0，解得：0＜x＜e，函数f（x）在（0，e）上单调递减，∴f（x）在x=e时取极小值，极小值为．（6分）（2）由，可得，令，则g（x）=x+xlnx，其中，x∈[e2，+∞）g'（x）=2+lnx，又x∈[e2，+∞），则g'（x）=2+lnx≥4，即，∴实数k的取值范围是（﹣∞，4]．（12分）【点评】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值，导数的几何意义，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．　请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•长春二模）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NA•NB，进而=，结合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP（II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2=PN2=NA•NB，∴=，又∵∠PNA=∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（5分）（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…（10分）【点评】本题考查的 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 是切割线定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的关键．　[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•长春二模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；（2）联立曲线C1与曲线C2的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值和最小值．【解答】解：（1）对于曲线C2有，即，因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．（5分）（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13，因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．（10分）【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．　[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•长春二模）设函数f（x）=|x+2|+|x﹣a|（a∈R）．（1）若不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，利用不等式f（x）+a≥0恒成立，即f（x）的最小值|a﹣2|≥﹣a求实数a的取值范围；（2）根据函数f（x）图象的性质可知，当时，恒成立，从而求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a≥0时，f（x）+a≥0恒成立，当a＜0时，要保证f（x）≥﹣a恒成立，即f（x）的最小值|a﹣2|≥﹣a，解得a≥﹣1，∴0＞a≥﹣1综上所述，a≥﹣1．（5分）（2）根据函数f（x）图象的性质可知，当时，恒成立，即a=4，所以a的取值范围是（﹣∞，4]时恒成立．（10分）【点评】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容．本小题重点考查考生的化归与转化思想．