《数值分析简明教程》第二版王能超编著课后习题答案高等教育出版社

1、（p.11，题1）用二分法求方程在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】　由二分法的误差估计式，得到.两端取自然对数得，因此取，即至少需二分9次.求解过程见下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 。 符号 0 1 2 1.5 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2、（p.11，题2）证明方程在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过。【解】　由于，则在区间[0,1]上连续，且，，即，由连续函数的介值定理知，在区间[0,1]上至少有一个零点.又，即在区间[0,1]上是单调的，故在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式，得到.两端取自然对数得，因此取，即至少需二分7次.求解过程见下表。 符号 0 0 1 0.5 1 2 3 4 5 6 7 0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值，，x2=2.71，各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。【解】有效数字： 因为，所以有两位有效数字； 因为，所以亦有两位有效数字； 因为，所以有四位有效数字；；；。评　（1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2．（p.12，题9）设，，均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。【解】 ，；，；，；评　经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.3．（p.12，题10）已知，，的绝对误差限均为，问它们各有几位有效数字？【解】 由绝对误差限均为知有效数字应从小数点后两位算起，故，有三位；有一位；而，也是有一位。1.1泰勒插值和拉格朗日插值1、（p.54，习题1）求作在节点的5次泰勒插值多项式，并计算和估计插值误差，最后将有效数值与精确解进行比较。【解】由，求得；；；；；，所以插值误差：，若，则，而，精度到小数点后5位，故取，与精确值相比较，在插值误差的精度内完全吻合！2、（p.55，题12）给定节点，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：（1）；（2）【解】依题意，，拉格朗日余项公式为（1）→；（2）因为，所以3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算的近似值并估计误差。 0 1 2 0.32 0.34 0.36 0.314567 0.333487 0.352274【解】依题意，，拉格朗日余项公式为（1）线性插值因为在节点和之间，先估计误差；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。（2）抛物线插值插值误差：抛物线插值公式为：经四舍五入后得：，与精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！1.3分段插值与样条函数1、（p.56，习题33）设分段多项式是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值.【解】依题意，要求S(x)在x=1节点函数值连续： ，即： 一阶导数连续： ，即： 解方程组（1）和（2），得，即 由于，所以S(x)在x=1节点的二阶导数亦连续。2、已知函数的一组数据，和，（1）求其分段线性插值函数；（2）计算的近似值，并根据余项表达式估计误差。【解】（1）依题意，将x分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为，利用拉格朗日线性插值公式，求得 ；（2），而 ，实际误差为：。由,可知，则余项表达式1.4曲线拟合1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：【解】 构造残差平方和函数如下：， 分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零： ： ， ： ， 解方程组（1）和（2），得2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如的多项式，使之与下列数据相拟合。【解】令，则为线性拟合，根据公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得 ； 依据上式中的求和项，列出下表 xi yi Xi(=xi2) Xi2(=xi4) Xiyi(=xi2yi) 19 19 361 130321 6859 25 32.3 625 390625 20187.5 31 49 961 923521 47089 38 73.3 1444 2085136 105845.2 44 97.8 1936 3748096 189340.8 ∑ 157 271.4 5327 7277699 369321.5 将所求得的系数代入方程组（1）和（2），得；；即：。2.1机械求积和插值求积1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度： ； ； 。【解】 （1）令时等式精确成立，可列出如下方程组： 解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（1）具有3次代数精度。（2）令时等式精确成立，可列出如下方程组：解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（2）具有3次代数精度。（3）令时等式精确成立，可解得：即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（3）具有2次代数精度。2、（p.95，习题6）给定求积节点试构造计算积分的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。【解】依题意，先求插值求积系数：；；插值求积公式： ①当，左边=；右边=；左=右； ②当，左边=；右边=；左=右； ③当，左边=；右边=；左≠右； 故该插值求积公式具有一次代数精度。2.2梯形公式和Simpson公式1、（p.95，习题9）设已给出的数据表， x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 f(x) 1.00000 1.65534 1.55152 1.06666 0.72159分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分的近似值。【解】 （1）用复化梯形法： （2）用复化辛普生法：2、（p.95，习题10）设用复化梯形法计算积分，为使截断误差不超过，问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？【解】（1）用复化梯形法，，设需划分n等分，则其截断误差表达式为：；依题意，要求，即，可取。（2）用复化辛普生法，，截断误差表达式为：；依题意，要求，即，可取，划分8等分。2.3数值微分1、（p.96，习题24）导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为由三点公式(51)、(52)和(53)可知，，则2、（p.96，习题25）设已给出的数据表， x 1.0 1.1 1.2 f(x) 0.2500 0.2268 0.2066试用三点公式计算的值，并估计误差。【解】已知，用三点公式计算微商：，用余项表达式计算误差3、（p.96，习题26）设，分别取步长，用中点公式（52）计算的值，令中间数据保留小数点后第6位。【解】中心差商公式：，截断误差：。可见步长h越小，截断误差亦越小。(1),则；(2),则(3),则而精确值，可见当时得到的误差最小。在时反而误差增大的原因是与很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。3.1Euler格式1、（p.124，题1）列出求解下列初值问题的欧拉格式，，取；，，取；【解】 （1）； （2）。2、（p.124，题2）取，用欧拉方法求解初值问题，。【解】欧拉格式：；化简后，，计算结果见下表。 n 0 1 2 3 xn 0.0 0.2 0.4 0.6 yn 1.0 0.8 0.6144 0.46133、（p.124，题3）取，用欧拉方法求解初值问题，。并与精确解比较计算结果。【解】欧拉格式：；化简后，，计算结果见下表。1、（p.124，题7）用改进的欧拉方法求解上述题2，并比较计算结果。【解】 因为，，且，则改进的欧拉公式：。计算结果见下表。 n 0 1 2 3 xn 0.0 0.2 0.4 0.6 yp 1.0 0.6730 0.5147 0.3941 yc 0.76 0.7092 0.5564 0.4319 yn 0.88 0.6911 0.5356 0.413与原结果比较见下表 n 0 1 2 3 xn 0.0 0.2 0.4 0.6 yn 1.0 0.8 0.6144 0.4613 yn(改进) 0.88 0.6911 0.5356 0.4133.3龙格-库塔方法1、（p.124，题11）用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题，，试取步长计算的近似值，要求小数点后保留4位数字。【解】 四阶经典的龙格-库塔方法公式：；列表求得如下： n xn yn 0 0.0 2.000 1 0.2 2.3004 2 0.4 2.46544.1迭代法及收敛定理1、（p.153，题1）试取，用迭代公式，求方程的根，要求准确到。【解】 迭代计算结果列于下表 k xk |xk-xk-1| <0.001 k xk |xk-xk-1| <0.001 1 1.53846 0.53846 N 6 1.36593 0.00937 N 2 1.29502 0.24344 N 7 1.37009 0.00416 N 3 1.40182 0.10680 N 8 1.36824 0.00185 N 4 1.35421 0.04761 N 9 1.36906 0.00082 Y 5 1.37530 0.02109 N 因为，所以。2、（p.153，题2）证明方程有且仅有一实根。试确定这样的区间，使迭代过程对均收敛。【证明】设：，则当时，，且一阶导数连续，，所以迭代过程对均收敛。（压缩映像定理），方程有且仅有一实根。<证毕>3、（p.153，题4）证明迭代过程对任意初值均收敛于。【证明】设：，对于任意，因为，所以。一阶导数，根据压缩映像定理，迭代公式对任意初值均收敛。假设，对迭代式两边取极限，则有，则，解得，因不在范围内，须舍去。故。<证毕>4.2牛顿迭代法1、（p.154，题17）试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4位有效数字：（1），（2），【解】 （1）设，则，牛顿迭代公式：，迭代计算过程见下列表。 k xk |xk-xk-1| <0.0001 k xk |xk-xk-1| <0.0001 1 1.88889 0.11111 N 3 1.87939 0.00006 Y 2 1.87945 0.00944 N 因为，所以。（2）设，则，牛顿迭代公式：，迭代计算过程见下列表。 k xk |xk-xk-1| <0.0001 k xk |xk-xk-1| <0.001 1 0.26894 0.73106 N 3 0.25753 0.00014 N 2 0.25739 0.01155 N 4 0.25753 0.00000 Y 因为，所以。2、（p.154，题18）应用牛顿法于方程，导出求立方根的迭代公式，并证明该迭代公式具有二阶收敛性。【证明】（1）设：，则，对任意，牛顿迭代公式（2）由以上迭代公式，有：。设；；。，可见该迭代公式具有二阶收敛性。<证毕>5.1线性方程组迭代公式1、（p.170，题1）用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组：，要求结果有3位有效数字。【解】 雅可比迭代公式：，迭代计算结果列于下表。 ? 0 0 0 - - 1 2/3 1/2 2/3 1/2 N 2 1/2 1/6 1/6 1/3 N 3 11/18 1/4 1/9 1/12 N 4 7/12 7/36 1/36 1/18 N 5 0.60185 0.20833 0.01852 0.01389 N 6 0.59722 0.19908 0.00463 0.00925 N 7 0.60031 0.20139 0.00309 0.00231 N 8 0.59954 0.19985 0.00077 0.00154 N 9 0.60005 0.20023 0.00051 0.00038 N 10 0.59992 0.19998 0.00003 0.00025 Y ；由上表可见，所求根皆为小数点后第1位不为零的小数，要取3位有效数，则误差限为。高斯-赛德尔迭代公式：，迭代计算结果列于下表。 ? 0 0 0 - - 1 2/3 1/6 2/3 1/6 N 2 0.6111 0.1944 N 3 0.6019 0.1991 0.0092 0.0047 N 4 0.6003 0.1999 0.0016 0.0008 N 5 0.6000 0.1999 0.0003 0.0000 Y ；2、（p.171，题7）取，用松弛法求解下列方程组，要求精度为。【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代：引入松弛因子，得将方程组（1）代入（2），并化简计算结果见下表。 ? 0 0 0 0 - - - - 1 5 2.5 -3.125 5 2.5 3.125 N 2 1.40625 2.65625 -2.14844 N 3 2.15820 3.03223 -2.28882 N 4 1.61173 3.15872 -2.19860 N 5 1.63577 3.24423 -2.19187 N 6 1.54959 3.28508 -2.17800 N 7 1.53284 3.30793 -2.17320 N 8 1.51561 3.31978 -2.17001 N 9 1.50880 3.32615 -2.16847 N 0 1.50453 3.32951 -2.16762 N 1 1.50245 3.33130 -2.16717 N 2 1.50129 3.33225 -2.16694 N 3 1.50069 3.33276 -2.16672 N 4 1.50037 3.33306 -2.16676 N 5 1.50016 3.33318 -2.16670 N 6 1.50010 3.33325 -2.16668 N 7 1.50005 3.33329 -2.16668 0.00005 0.00004 0.00000 Y迭代解：精确解：5.1线性方程组迭代公式1、（p.170，题2）试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。【解】（1）雅可比迭代公式：(1) ，，迭代收敛。（2）高斯-赛德尔迭代公式：(2)将方程组（1）带入（2），经化简后，得：(3)，，迭代收敛。2、（p.171，题5）分别用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解下列方程组：（1）（2）【解】（1）雅可比迭代：，,不收敛。高斯-赛德尔迭代：或，,不收敛。（2）雅可比迭代：，,不收敛。高斯-赛德尔迭代：或,不收敛。3、（p.171，题6）加工上述题5的方程组，比如调换方程组的排列顺序，以保证迭代过程的收敛性。【解】加工后结果如下：（1）（2）方程组（1）的雅可比迭代：，，迭代收敛。方程组（1）的高斯-赛德尔迭代：，，迭代收敛。方程组（2）的雅可比迭代：，，迭代收敛。方程组（1）的高斯-赛德尔迭代：，，迭代收敛。6.1高斯消元法1、（p.198，题2）用选列主元高斯消元法求解下列方程组：（1）（2）【解】 （1）所以： ，,.（2）所以： ，,.2、（p.199，题9）计算下列三阶坡度阵的条件数：（1）。【解】令：，先求A-1。，所以最后求得条件数为：