第一章极限计算
方法
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总结、极限定义、运算法则和一些结果1.定义：数列极限、
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数极限，说明：(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明，例如：1nim(n1)20；xim2(3x1)5；nimq0,当q1等。定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可！(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。极限运算法则定理1已知limf(x),limg(x)都存在，极限值分别为A,B，则下面极限都存在,且(1)lim[f(x)g(x)]AB(2)limf(x)g(x)AB(3)lim^B，(此时需B0成立)说明：极限号下面的极限过程是一致的;时注意法则成立的条件3.两个重要极限，当条件不满足时，不能用。11(2)lim(1X)，''x0sinx(1)limx0x说明：(1)不仅要能够运用这两个重要极限本身,(2)一定注意两个重要极限成立的条件。1…sin3x彳[•“、2x例如：lim1,lim(12x)x03xx0xim(1才还应能够熟练运用它们的变形形式。lim(1xx33e；等等。4.等价无穷小定理定理0)。0),且相互等价，即有:2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是3当x0时，下列函数都是无穷小(即极限是x〜sinx〜tanx〜arcsinx〜arctanx〜ln(1x)〜ex1。说明:当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时(g(x)0),仍有上面的等价3x彳c22关系成立，例如：当x0时，e1〜3x；ln(1x)〜x。定理4如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx°时的无穷小，且f(x)〜f,x),f1(x)f(x)f1(x)g(x)〜g1(x)，则当lim-存在时，lim也存在且等于lim。x勺g〔(x)xx0g(x)xx0g〔(x)5.连续性定理5一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果X。是函数f(X)的定义去间内XX0的一点，则有limf(x)f(X。)。求极限的一个方法。6•极限存在准则定理6(准则单调有界数列必有极限。定理7(准则已知{Xn},{yn},{Zn}为三个数列，且满足:(1)ynXnZn,(n1,2,3,)limyna,nlimznn则极限limxn一定存在，且极限值也是an，即limXnn二、求极限方法举例1.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1lim3X12X1解：原式=lim-(―3X—1)2—2「x1(x1)(l3x12)注：本
题
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也可以用洛比达法则。例2lim-n(一n2、、.n1)n3x3limx1(x1)^3x12)4解：原式=lim、n[(n2)(n1)]n例3lim(1)n3n2n3n分子分母同除以nlimn上下同除以3n解：原式2.利用函数的连续性(定理6)求极限12—例4limxexx212解：因为x02是函数f(x)xex的一个连续点,122所以原式=2e利用两个重要极限求极限1cosX例5冋药―limx2x2sin2—20x212(f)22x2sin2—2解：原式=lim严x03x2注：本题也可以用洛比达法则（第三章）2例6lim(13sinx)xx0解：原式=lim(13sinx016sinxx~lim0[(1x016sinx3sin例7nim（貯解：原式=lim（1nn13n3产En/lim[(1nn1n厂]3n利用定理2求极限例8limxx02.1sinx解：原式=0（定理2的结果）。利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9limx(xln(13x)厂0arctan(x)解:0时，In(13x)〜3x,22arctan(x)〜x,原式=limx0x2例10Xm0xsinxeexsinxsinxxsinxe(e1)解：原式=limx0xsinxsinx/e(xsinx)limx0xsinx注：下面的解法是错误的sinx(e1)(e1)原式=limx0xsinxlimxsinx1ox0xsinx正如下面例题解法错误一样tanxsinxxxlim3lim_x0xz3x0x3x3精品文档11tan(x2sin—)例11lim—x0sinx解：当x0时，x2sin1是无穷小,xtan(x2sin1)与x2sin1等价，xxlimxsin-x0x0。（最后一步用到定理2）2.1xsinx所以，原式=iimx0x5.利用极限存在准则求极限例20已知2,Xn1\2xn,(n1,2,)，求limXnn解：易证：数列｛Xn｝单调递增，且有界（0必＜2），由准则1极限nimXn存在,设limxna。对已知的递推公式nxn1...2xn两边求极限，得:a.2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）所以limxn2。n例21limn-)n解:易见:所以由准则2得:limn\n2_1_n22-)n上面对求第一章极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用洛必达、定积分求极限等，后面再作介绍。
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