第四章常微分方程§4.1基本概念和一阶微分方程甲内容要点—.基本概念1•常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数地导数<或微分）地方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程故简称为微分方程，有时还简称为方程.微分方程地阶微分方程中未知函数地导数地最高阶数称为该微分方程地阶微分方程地解、通解和特解满足微分方程地函数称为微分方程地解；通解就是含有独立常数地个数与方程地阶数相同地解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后地解称为特解微分方程地初始条件要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定地值，这种条件称为初始条件，满足初始条件地解称为满足该初始条件地特解积分曲线和积分曲线族微分方程地特解在几何上是一条曲线称为该方程地一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程地积分曲线族线性微分方程如果未知函数和它地各阶导数都是一次项，而且它们地系数只是自变量地函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程.不含未知函数和它地导数地项称为自由项，自由项为零地线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零地方程为线性非齐次方程二.变量可分离方程及其推广变量可分离地方程<1）方程形式：^nPxQyQy=Odxdv通解PxdxC'Q（v）'<注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它地一个原函数，而任意常数另外再加）<2）方程形式：MixNiydxM2XN2ydy=O通解-^-^d^CM2x-0,Niy-0M2（x）Ni（y）21变量可分离方程地推广形式<1）齐次方程dydxdux-dx令-=u,x则矽二udxdufuAudx—cx<2)矽dx-faxbyca=0,b=0令axbyc二u,则—abfudxdudx=xcabfuf'ax+by+c(a2x+b2y+c2」①当aia2bb2丰0情形，先求出丿Qx+by+c=0,任iy地解(G严)ia2x+b2y+c2=0u=x_a,v=y_P②当dvduaia2au+bva2u+b2v$bb2=0情形,vai-ua2+b?—u丿属于齐次方程情形a2aibidydxaixbiyg人(aix+biy)+q/令u=aixbiy,则竺“mJbdxdxu+CJiU+c2』属于变量可分离方程情形三•一阶线性方程及其推广1•一阶线性齐次方程dyPxy=0dx它也是变量可分离方程，通解公式y二Ce*xdx,
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一）1.全微分方程Px,ydxQx,ydy=0,满足excy通解：ux,y二C,其中ux,y满足dux,y=Px,ydxQx,ydy求ux,y地常用方法第一种：凑全微分法Px,ydxQx,ydy二二dux,y把常见地一些二元函数地全微分公式要倒背如流，就很有帮助<1)xdxydy=d<2)xdx-ydy=d<3)ydxxdy二dxy；<4)ydxxdyxy=dlnxy；<5)xdxydyx2y2=d-lnx2_2y2<6)xdx-ydy2~x-yi'nx2<7)xdy-ydx<8)ydx「xdy<9)ydx-xdyx2y2arctan^；、y丿<10)xdy-ydx+yarctan;x丿<11)ydx-xdy22x-y匕2<2x+y丿<12)xdy-ydxx2y2<2x—y丿xdxydy2=d(x2+y22<14)(x2-y2)<15)xdxydy1+(X2+y2$广1=d—arctadx2y2<16)xdx-ydy2221+(x2-y2)=di1arctanx222-y；第二种：特殊路径积分法<因为积分与路径无关）x，y■|'x0,y0u(x,y)=u(Xo,y°)+卩，p(x,yJdx+Q(x,y)dyxo,y0xyy。=u(xo，y°)+[P(x,y°)dx+(Qx,ydyx0yo第三种：不定积分法:u由—=Px,y得xux,y=Px,ydxCy对y求导,得Qx卄斜*px,川Cy,求出Cy积分后求出Cy2•全微分方程地推广<约当因子法）设Px,ydxQx,yd^0不是全微分方程但是存在Rx,y使得Rx,yPx,ydxRx,yQx,yd^0为全微分方程◎Rq]eRp】也即满足x：y则Rx,y称为约当因子，按全微分方程解法仍可求出Rx,yPx,ydxRx,yQx,ydy二dux,y通解ux,y=C.这种情形，求约当因子是关键•乙典型例
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一.变量可分离方程及其推广例1.求下列微分方程地通解2□2<1)xyxdxy_xydy=0<2)exy-exdxexyeydy=0例2.求下列微分方程地通解<1).ydxx<2)2dydyxxy一dxdx<3)dyxyIny-Inxdx解:<1)令—二u,则鱼=uxdxduue鱼=(x+4y+1丫dx-J..■x——，原方程化为dx<4)u=euu,dx'-e"=InxG=InCxInCx_y■'ex0,OJCxI")<2)2x2吒=o；dx2y2xy_x'|T\.x)duu2xdxu-1udxx1-udu=01-uInxu-u=C1xu=eC1uy二Ceu,.y二Ce'<3)包dxvvvduIn,令u,则uxuInuxxxdxduuInu-1-1=1nCxInu=1Cx,u二e1Cx,y二xe1Cx二dx,爭」4u2+1du<4)令x4y1二u,则2——4u+111xarctan2uCarctan2x4y1Cdyxydx3•求微分方程4•求微分方程5.求微分方程例6.求微分方程例7•求微分方程例&求微分方程例.二dxC1=x2y2地通解•dy_dxk哭地通解.2也T地通解.x-xyydxdydxdydx>2lx+y—1地通解y_x5•一阶线性方程及其推广求下列微分方程地通解dydxdy<2)xdx2^sinxdydxyxy4<4)x—sinydytanydx二0解：＜1）直接用常数变易法TOC\o"1-5"\h\zdy2y2对应地齐次线性方程为，通解y=Cx•1dxx+1dy25令非齐次线性方程y=X•12地通解为y=cXx12dxx+125代入方程得Cxx1=x12123CX=X12,cx=—X12C3~2212272故所求方程地通解为yx12cx1x12Cx1_33<2)直接用通解公式<先化
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形式鱼•2y=^inX)dxXX2sinxPx,Qx=XX_l|dxt‘sinx(|dx通解y=e'IJeLdx+C「x一'12xsinxdxC2sinx-xcosxCXX<3)此题不是一阶线性方程，但把X看作未知函数，y看作自变量dxx+y4dx13所得微分方程即x二y3dyydyy是一阶线性方程Py-,Qy二y3y£dyf3—£dy」丄J14,x=eyfyedy+C=—y+Cy「一3<4)此题把x看作未知函数，y看作自变量所得微分方程为dxcotyx二cosy,Py=coty,Qy=cosydy^2sinyIL2一cotydycotydy'.|Jcosye'dy+C§4.2特殊地高阶微分方程＜数学四不要）甲内容要点•可降阶地高阶微分方程方程类型解法及解地表达式yC）=f（X）通解y=f•“Jf（X[dX『+。必2+C2Xn^+…+Cn_[X+Cnn次y"=f（x，yJ令y，=p，则y"=p，，原方程二p_f(x，p—一阶方程，设其解为p—g(x，Ci)，即y'=g(x,Ci)，则原方程地通解为y=Jg(x，Cipx+C?•y=f（y，y"）令y丄p，把p看作y地函数，则厂=兰=曲•巴=p-dpdxdydxdy把y；y“地表达式代入原方程，得坐_丄f(y,p)—阶方程，dyp设其解为p=g(y，Ci)即少g(y,Ci)，则原方程地通解为dxJdy十C2.'g(yQ)二•线性微分方程解地性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解地性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶地线性微分方程•二阶齐次线性方程yipxy*qxy=O<1)二阶非齐次线性方程y”•pxy'qxy=fx<2)1•若y,x,y2x为二阶齐次线性方程地两个特解，则它们地线性组合CiyixSyx
答案
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：最后得原方程通解为y二丫•y2x3xc.2x=c1ec2ex2xe例3.求y_4目4、=e2x地通解.答案：因此原方程地通解为22x2xx2xy=c-\ec2xee22例4.求方程y"•3y'2y=2xx1地通解.答案：原方程地通解为TOC\o"1-5"\h\z2xx2513y=Ge■C?exx—24例5.求y"•2y-3y=2ex地通解.答案：原方程地通解为y二Ge'xC2ex-xex2例6.求方程y"•y-2y=2cos2x地通解.答案：原方程地通解为y=C1e^xC2ex色cos2x丄sin2x1010例7•求微分方程y”-y"=sinx地通解.答案：原方程地通解为：1y二GC2excosx「sinx.2第五章向量代数与空间解读几何V数学一）§5.1向量代数甲内容要点.空间直角坐标系从空间某定点0作三条互相垂直地数轴，都以0为原点，有相同地长度单位，分别称为x轴,y轴,z轴,符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称0为坐标原点•1两点间距离设点Mixi,yi,zi，M2X2，y2，Z2为空间两点，则这两点间地距离可以表示为d=|MiM2=J(X2—Xi2+(y2—yif+(Z2—Zif中点公式设Mx，y，z为MiXi,yi,Zi，M2X2,y2,Z2联线地中点贝UXiX2yiy2Zi-Z2x，y，Z=222向量地概念1.向量既有大小又有方向地量称为向量•方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点A到另一点B地顺序关系，而两点间又有一个距离•常用有向线段AB表示向量.A点叫起点，B点叫终点，向量AB地长度叫做模，记为AB.模为i地向量称为单位向量•2.向量地坐标表示若将向量地始点放在坐标原点0,记其终点M，且点M在给定坐标系中地坐标为x，y，z.记以三个坐标轴正向为方向地单位向量依次记为i,j,k,则向量0M，可以表示为0M=xiyjzk称之为向量0M地坐标表达式，也可以表示为0M二x,y,z称xi,yj,zk分别为向量0M在x轴，y轴,z轴上地分量.称x,y,z分别为向量0M在x轴,y轴,z轴上地投影.记OM与x轴、y轴、z轴正向地夹角分别为：•「，，则cos：Vx2y2cos-ycoszx2y2z2方向余弦间满足关系cos2爲"cos^cox2=1描述了向量OM地方向，常称它们为向量地方向角•OM地模可以表示为与向量OM=：［x,y,z同方向地单位向量可以表示为尸丄yOM•与向量OM平行地单位OM向量可以表示为OMOM向量a同方向上地单位向量常记为a.向量地运算a—aiia2j'a3k—Gi,a?,a3■b=bjb2jb3k二"4,b2,b3/c=ciiC2jC3k二4,C2,C3』1.加法.ab二旨ibi,a2"283b3'减法.a_-a1_b-i,a2-b2,a3-b3向量地加、减和数乘运算统称线性运算/、数量积.a，b=a|bcosa,bI')=a-\ba2b2a3b3f、其中ab为向量a,b间夹角ab为数量也称点乘.ab0表示向量a在向量b上地投影，即ab0=Prjba向量积ab也称为叉乘./、*b=a||bsinal,ab地方向按右手法则垂直于a,b所在平面，且ijka汇b=aia2a3bib2b3a^b是向量，a^b=—b^a.a汉b等于以a,b为邻边地平行四边形地面积TOC\o"1-5"\h\zaia2a35.混合积：定义（a,b,c）=（a5>c,坐标公式（a,b,c）=bib2b3CiC2C3几何意义a,b,c表示以a,b,c为棱地平行大面体地体积两向量间地关系设a」ai,a2,a3：b关系向量表示向量坐标表示a,b间夹角)（nabcos屮=Iu1iiaibi①ab+a?b2+asb3COS屮=~ji~|=乜a；+a；+a；\b；+b；+b；a与b垂直ab=0aib0)2p2p/椭圆抛物面22+y=z(p,q〉0)2p2q双曲抛物面22+y=z(p,q〉0)2p2q单叶双曲面2222.22abc双叶双曲面222xyz“—abc二次锥面222x_z=0a2b2c2椭圆柱面22x八=1a2b2双曲柱面22—1a2b2抛物柱面2c_y(pa0)2p四•空间曲线在坐标平面上地投影1曲线C地方程jF(x,y,z)=OG(x,y,z)=O曲线C在xy平面上地投影先从曲线C地方程中消去z得到Hx,yl=O,它表示曲线C为准线，母线平行于z轴地柱面方程，那么'H(x,y)=0:z=0就是C在xy平面上地投影曲线方程.曲线C在zx平面上投影或在yz平面上投影类似地处理2•曲线C地方程x=ft“y=g(t)(ato其中代B不依赖于Uxjy只与xo,yo有关，则称z=fx,y在xo,yo处可微，而Ax-By称为z=fx,y在xo,yo处地全微分，记以dz或df|(xo,y°)(xo,y°)2•二元函数地全微分公式当z=fx,y在xo,yo处可微时则dz二fxX。,yo：xfyXo,yoy|(xo,Yo)二fxXo,yodxfyXo,yody这里规定自变量微分dx-・\x,dy-，y一般地dz=dfx,y]=fxx,ydxfyx,ydy二元函数全微分地几何意义二元函数z=f(x,y在点(xo,yo)处地全微分dz在几何上表示曲面z=f(x,y)(xo,yo)在点Xo,yo,fXo,yo口处切平面上地点地竖坐标地增量•n元函数地全微分公式类似地可以讨论三元函数和n元n•3函数地可微和全微分概念，在可微情况下dfx,y,z[=fxx,y,zdxf「x,y,zdyfzx,y,zdzndfXi,X2,,XnfxkXi,,XndXkk=1偏导数地连续性、函数地可微性，偏导数地存在性与函数地连续性之间地关系设z二fx,y,则三，三连续=dz存在exdy:zjz,存在:x：：yz=fx,y连续四•方向导数与梯度<数学一）1.平面情形z=x,y在平面上过点PoXo,y°沿方向I二cos〉，cos1地方向导数cl(x),yofX。tcos：,y°tcos：-fX。,ytz-fx,y在点F0x。，y。处地梯度为gradf佔（x。，y。）羽（x。，y。））gradf（x。，y。）=,l汰创）而方向导数与梯度地关系为f=gradf（x。，y。卩1cl（x。』。）=gradf（x°,y。pcosl（gradf（x。，y。）1）由此可见，当I地方向与gradf（x。，y。）地方向一致时，一为最大，这时等于cl（x。』。）gradfx。，y。］：又方向导数与偏导数地关系为f=^x也）coso+^x也）cos0d（x（5，y。）条cy这相当用两向量地点乘地坐标公式2•空间情形<略）§6.3多元函数微分法甲内容要点.复合函数微分法——锁链公式模型1.z=fu，v，u=ux，y，v=vx，yTOC\o"1-5"\h\z:z：：zju；：z；：vx；:u:x；:v；:x_:z；：zfujz；：v=十:y'u：y.:v-y模型2.u二fx,y,z,z二zx,y?uzfxfz:x:xzfz:y模型3.u二fx,y,z,y二yx,z二zx模型4.w=fu,v,u=ux,y,z,v=vx,y,z还有其它模型可以类似处理.隐函数微分法设Fx,y,z[=0<1）确定czz-zx,y贝「二xFx；Fz；zFy<2）确定一上Fxx"忤F；；:xFz3「石FxTOC\o"1-5"\h\zcvFzSyFy<3）确定v=vz,x贝U-；'czFv"ex乙典型例题例1.设u=fx,y,z有连续地一阶偏导数，又函数v=yx及z=zx分别由下列两式确exv_xy=2和ex2型dt,求巴0tdx答案：+~口dx£xx勿［sin（x-z）（—例2.设v二vx,z二zx是由z=xfx•v和Fx,v,z=0所确定地函数，其中f具有一阶连续导数，F具有一阶连续偏导数dx"宀dz答案：一dxfxfF^xfF；FvxfFz§6.4多元函数地极值和最值甲内容要点.求z二fx,v地极值第一步丿fx：x,y「0求出驻点（Xk,vk）（k=1,2,…，丨）fy（X,y）=0第二步令人k=fxxXk,ykfvvXk,yk一-fxvXk,yk若二k:::0则fXk,yk不是极值若，k=0则不能确定<需从极值定义出发讨论）若厶k0则fXk,yk是极值进一步若fxxXk,yk0则fXk,yk为极小值若fxxXk,yk:::0则fXk,yk为极大值二•求多元n_2函数条件极值地拉格朗日乘子法求U=fXi,…，Xn地极值1Xi,,Xn=0约束条件*:(men)化区，…X)=0m作F-FXi,…，Xn,，1,…，’m二fXi,…，Xn「iXj,…，X.iTE；=0aF；=0F]=®i(xi，…，xn)=0aFm=；：mX；,…，Xn=0求出x；k,,Xnkk=1,2，…,l是有可能地条件极值点，一般再由实际问题地含义确定其充分性•这种方法地关键是解方程组地有关技巧三.多元函数地最值问题乙曲型例题一.普通极值问题例1•求函数z=x4■y4-x2-2xy-y2地极值33解：4x-2x-y,4y-2x-2yexcy要求三亠=0,得xy=2x3=2y3excy故知x二y,由此解得三个驻点x=0x=1x=—1TOC\o"1-5"\h\z.2-2.2=12y2-2z2zz又—2-12x2,2,—2■x:x：y:y在点1,1处A二-Zx1,1"0，「爲1,1=10.■:=AC-B2=96■0又A=100,.1,1是极小值点极小值21,1-2Z-2乂0,0…2,B=门晌(0,0厂2"；z0,0在点-1,-1处.e2zA=2ex"D§2zcce2z=10,B==2,C=2=10.T,-1)&訓(-1,-1)占y[(-1,-1)也=AC--B2=96a0,A=10>0,(—1,—1也是极小值点极小值2q=-2(一1,—1)在点0,0处2-=AC-B2=0不能判定•第七章多元函数积分学§7.1二重积分甲内容要点重积分地概念与性质1.定义设fx,y是定义在有界闭区域D上地有界函数，如果对任意分割D为n个小区域厶；「1,厶二2,…，厶二n,对小区域*kk=1,2，…,n上任意取一点k,k都有n-\k叫ndfk存在,<其中k又表示为小区域k地面积,dk为小区域-■■-"k地直径而d-maxdk)则称这个极限值为fx,y在区域D上地二重积分记以.i.ifx,yd二，这时就称fx,y在D上可积.D如果fx,y在D上是有限片上地连续函数，则fx,y在D上是可积地.2•几何意义当fx,y为闭区域D上地连续函数，且fx,y一0,则二重积分fx,yd二表示以曲D面z=fx,y为顶,侧面以D地边界曲线为准线，母线平行于z轴地曲顶柱体地体积.当封闭曲面S它在xy平面上地投影区域为D,上半曲面方程为z二f2x,y,下半曲面方程为z=匸x,y，则封闭曲面S围成空间区域地体积为呢x,y-fx,yd二D3.基本性质<1)11kfx,yd；：=k!!fx,yd；「
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