专题11 隐圆问题（解析版）

专题11隐圆问题直线与圆是 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 数学的C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题类型一利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆典例1如果圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是________【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】【解析】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解类型二由圆周角的性质确定隐形圆典例2已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点，.当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意得，∴点在以为圆心，半径为2的圆上．设的中点为，则，且．∵当在圆上运动时，始终有为锐角，∴以为圆心，半径为2的圆与以为圆心，半径为1的圆外离．∴，整理得，解得或．∴实数的取值范围为．类型三两定点A、B，动点P满足确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）典例3一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．【答案】（1）略（2）能【解析】：（1）略（2）如图乙，以A为原点，正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy．则，设缉私艇在P(x，y)处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则即,因为圆心到领海边界线l：x3.8的距离为1.55，大于圆半径所以缉私艇能在领海内截住走私船．1．已知中，，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为__________．【答案】【解析】设，以所在直线为轴、其中垂线所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示），则，设，由，得，即，则，则，即，解得，即，即面积的最大值为.2．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为_______【答案】【解析】设BC的中点为M(x,y)，,因为，所以，化简得，所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以AM的取值范围是，所以BC的取值范围是．3．在平面直角坐标系中，已知圆和两点，且，若圆上存在两个不同的点，使得，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】原问题等价于以为圆心的圆与圆有两个交点，AB中点坐标为，以为圆心的圆的半径，且圆的圆心为，半径为，两圆的圆心距为：，结合可得关于实数的不等式组：，求解关于实数的不等式组可得实数的取值范围为.4．在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（1，0）均在圆：外，且圆上存在唯一一点满足，则半径的值为____．【答案】4【解析】根据题意,点A(−1,0),B(1,0)，若点满足，则点P在以AB为直径的圆上，设AB的中点为M,则M的坐标为(0,0)，|AB|=2，则圆M的方程为，若圆上存在唯一一点满足，则圆C与圆M只有一个交点，即两圆外切，则有r+1=|MC|=，解可得r=4.5．已知等边的边长为2，点在线段上，若满足等式的点有两个，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则，AC：由得，6.已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为____________．【答案】【解析】设P(x，y)，sin∠OPA＝sin30°＝，则x2＋y2＝4　①.又P在圆M上，则(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1　②.由①②得1≤≤3，所以≤a≤.7.在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为____________．【答案】　【解析】∵圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0，整理，得其 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为(3，0)；设直线l的方程为y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立(x－3)2＋y2＝4，y＝kx，消去y可得(1＋k2)x2－6x＋5＝0，由题知x1＝x2,y1＝y2，由韦达定理化简可得k2＝，即k＝±，直线l的方程为y＝±x，由点到直线的距离 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 知，所求的距离为.8.在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2，0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－)2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为____________．【答案】4　【解析】圆x2＋y2＝1半径为1，PO＝2，则直线PT的倾斜角为30°，则直线方程为x－y＋2＝0，PT＝，RS＝，圆(x－a)2＋(y－)2＝3的半径为，则圆(x－a)2＋(y－)2＝3的圆心(a，)到直线PT的距离为，由点到直线距离公式得|a－1|＝3，则正数a＝4.9.在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为__________．【答案】3　【解析】根据题意，圆M与以N为圆心的圆的位置关系是内切或内含．则dMN≤dON－1，即1≤dON－1.所以dON≥2恒成立．因为N在圆M上运动，所以dON的最小值为dOM－1，即dOM－1≥2，所以≥3，解得a≥3，所以a的最小值为3.10.已知线段AB的长为2，动点C满足·＝λ(λ为常数)，且点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则实数λ的最大值是__________．【答案】－　【解析】建立平面直角坐标系，B(0，0)，A(2，0)，设C(x，y)，则·＝x(x－2)＋y2＝λ，则(x－1)2＋y2＝λ＋1，得＝，点C的轨迹是以(1，0)为圆心为半径的圆且与x2＋y2＝外离或相切．所以≤，λ的最大值为－.11.在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点．若圆上存在一点C，满足＝＋，则r的值为________．【答案】　【解析】2＝＝2＋2··＋2，即r2＝r2＋r2cos∠AOB＋r2，整理化简得cos∠AOB＝－，过点O作AB的垂线交AB于D，则cos∠AOB＝2cos2∠AOD－1＝－，得cos2∠AOD＝.又圆心到直线的距离为OD＝＝，所以cos2∠AOD＝＝＝，所以r2＝10，r＝.12.已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点．若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A横坐标的取值范围是__________．【答案】[1，5]　【解析】圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，说明点A(x，y)到M(1，1)的距离小于等于4，即(x－1)2＋(y－1)2≤16，而y＝6－x，得x2－6x＋5≤0，即1≤x≤5.点A横坐标的取值范围为[1，5]．13.已知点A(0，2)为圆M：x2＋y2－2ax－2ay＝0(a＞0)外一点，圆M上存在点T使得∠MAT＝45°，则实数a的取值范围是________________．【答案】－1≤a＜1　【解析】点A(0，2)在圆M：x2＋y2－2ax－2ay＝0(a＞0)外，得4－4a＞0，则a＜1.圆M上存在点T使得∠MAT＝45°，则≤r＝a，即AM≤2a，(a－2)2＋a2≤4a2(a＞0)，解得－1≤a.综上，实数a的取值范围是－1≤a＜1.14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x－y－8＝0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为____________．【答案】－【解析】设圆O1的方程为(x－a)2＋(y－ka)2＝k2a2①，圆O2的方程为＋＝②，②－①，得2ax－x＋2aky－ky＋－a2＝0，即2x＋2y－a－＝0.设P(x0，y0)，则(x0－a)2＋(y0－ka)2＝k2a2，即x＋y＝2ax0＋2ay0－a2，又2x0＋2y0－a－＝0，可得2ax0＋2ay0－a2＝6，故x＋y＝6，即点P的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为－.15.已知直线l过点P(1，2)且与圆C：x2＋y2＝2相交于A，B两点，△ABC的面积为1，则直线l的方程为________________．【答案】x－1＝0，3x－4y＋5＝0【解析】由S△ABC＝×2×sin∠ACB＝1，sin∠ACB＝1，∠ACB＝90°，则点C(0，0)到直线l的距离为1，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，利用距离公式可得k＝，此时直线l的方程为3x－4y＋5＝0，当k不存在时，x－1＝0满足题意．16.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，A为圆C与x轴负半轴的交点，过A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M.若OA＝OM，则直线AB的斜率为________．【答案】2　【解析】设点B(x0，y0)，则M，圆x2＋(y－1)2＝5与x轴负半轴的交点A(－2，0)，OA＝OM＝2＝，即＋＝4.又x＋(y0－1)2＝5，两式相减得y0＝2x0＋4.而A(－2，0)也满足y0＝2x0＋4，即直线AB的方程为y0＝2x0＋4，则直线AB的斜率为2.17.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x＋1)2＋(y－6)2＝25，圆C2：(x－17)2＋(y－30)2＝r2.若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，满足PA＝2AB，则半径r的取值范围是______________．【答案】[5，55]　【解析】在圆C2上任取一点P，过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，当AB过圆心时，此时PA在该点处最小，AB在该点情况下最大，此时在P点情况下最小，当P，A，B三点共线时，如图1，2，PA为所有位置最小，且是所有位置中最小，所以只要满足≤2，即满足题意，5≤r≤55.18.直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，直线l：y＝kx＋3与圆C相交于A、B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为________．【答案】【解析】以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则C点到直线l的距离小于1，即d＝≤1，解得k≤－.19平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，则实数a的取值范围是________．【答案】[0，3]　【解析】设M(x，y)，由MA2＋MO2＝10，A(0，2)，得x2＋(y－1)2＝4，而(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，它们有公共点，则1≤a2＋(a－3)2≤9，解得实数a的取值范围是[0，3]．20.平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为______________．【答案】(x－1)2＋y2＝1　【解析】∵当P在圆C上运动时∠APB恒为60°，∴圆M与圆C一定是同心圆，∴可设圆M的方程为(x－1)2＋y2＝r2.当点P坐标是(3，0)时，设直线AB与x轴的交点为H，则MH＋HP＝2，MH＝r，AB＝2×r，所以r＋2×r×＝2，解得r＝1，所以所求圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1.