二次根式的知识点梳理与练习

二次根式的 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 梳理与练习知识点一：二次根式的概念形如，石（&之0）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以。之0是而为二次根式的前提条件，如右，J/+1,JK万炽之1）等是二次根式,而C,等都不是二次根式。知识点二：取值范围.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a叁。时，五有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a<0时，而没有意义。练习：.使式子G7有意义的条件是o.当时，Jx+2+11-2.有意义。.假设J=+—有意义，那么加的取值范围是om+1.当x时，J（l-九丁是二次根式。知识点三：二次根式五（”之0）的非负性后（々之0） 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示a的算术平方根，也就是说，后（々之0）是一个非负数，即而之0（。之0）。注：因为二次根式而（&20）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0,所以非负数（”之0）的算术平方根是非负数，即而之0（2之0）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如假设石+石=0,那么a=0,b=0；假设夜'+国—0,那么a=0,b=0；假设8+段=°,那么a=0,b=O0知识点四：二次根式（及）*的性质（/y=&（^>o）.假设J(6-x)(x-4)2=(4一］)-6—1,那么x的取值范围是..在如图的数轴上，用点八大致表示J而：选择题：6.化简J药的结果是()(A)5a/2(B)2a/5.化简J—炉的结果是()(A)—y/~x(B)—V—x.假设aWO,那么J(l—。)3化简后为()(A)(a_1)Ja_](C)(a-1)J1-ci解答题：.计算：V3xV6;(2)V2Tx(―\/7);⑷(-57五)x(—4屈)；⑹gx(-2旧)x华；(C)2V10(D)4a/5(C)x2a/-x(D)x2Vx(B)(1-a)Jl-a(D)(1-4)Jci-1(3)3V5x(-2V10);(5)^l|x(-2Vl25);⑺E"旧-2#)；t1」IIIIIt11-3-2-101234567(8)(754-V6)xV24；(9)(3&+2百)(3/-2g);(10)(2\/x+3y)(3^-2a/x);(11)(3a/5+2V10)2;(12)3\/5^-2jlO〃J;(13)—12m■(-72m2+4mn);211.化简：(1)y/a4-a2b2(a>0);(2)y/a3b-2a2b2+ab3(b>a>0)-12.计算：(1)32+V8—(71—1)°+|—1HI；9(2)(-f2-V12sin6O0-O.252008x42008.（四）学习要求:理解二次根式除法运算法那么，即皆£（a20,b〉0）的合理性，会运用法那么进行计算，了解最简二次根式的概念，会逆用除法法那么对二次根式进行化简，掌握类比学习的方法.做一做：填空题：1.在JW,中，是最简二次根式的是2.2一6的倒数是,遥+后的倒数是/3—x\13—x3.使式子］^^=笔上成立的条件是1x+3Jx+3选择题：.以下各式的计算中，最简二次根式是()(C)3(77-2)(D)3(V7+2)(A)V27(B)V14.下歹！］根式2“^,阮,Jx+y(A)l个(B)2个.化简一一的结果是()V7-2(A)—2(B)+2(C)g(D)73?|孙中最简二次根式的个数是()(C)3个(D)4个8.计算9b)的正确结果是(,、a(A)—bber(B)—©炉0)1d9.假设abWO,那么等式一，耳二。3.，三成立的条件是((A)a>0,b>0解答题：10.计算：(B)a<0,b>0(C)a>0,b<0(D)a<0,b<0Vs(2)—7=；V20(4)(V2-1)+(5)2V14.(-4V7);(6)(-3740)-(-2745)；(9)\l5a2b3+J4/。；I3a4b4\a1b1(划(11)372x(l710)-2715;2(13)J30肛4+亚己・痴7；(15)3(16)(273+3V2)+(2百-3回・(五)学习要求：了解同类二次根式的概念，会区分两个二次根式是否为同类二次根式.会进行简单的二次根式的加、减法运算，体会化归的思想方法./[J.LLK做一做：填空题：.计算：78+72=..写出两个与竹是同类二次根式的根式：..假设最简二次根式3j2x+l与J3x-1是同类二次根式,那么乂=..假设最简二次根式历法与"亚是同类二次根式，那么。=,b=.1TOC\o"1-5"\h\z5.计算：|—|+(—I"—与-)°+Vs—・23选择题：6.计算Ji5-6的结果是()(C)2V3(d)3a/3(A)3(B)V37.以下二次根式中，属于最简二次根式的是（）(A)(B)8.以下二次根式中，与血是同类二次根式的是（）(A)V27(B)V129.在以下各组根式中，是同类二次根式的是（（c）Vio）(D)V810.13.(A)a/3和(B)V3和^―(C)y[a^b和y/ab2以下各式的计算中，成立的是（（A）2+,\/~5—2^/5^假设a=z^,b=f-V2-1V2+1（A）2解答题:计算：(4)712+V271一后(6)J45+J108(B)-2(B)4V5-3V5=1(D)745-V20=V5h的值为（）a(C)V2(D)2V2(2)Vs+J18;(3)2712-3V48+V50；⑸传—24+2同;11-V125;(7)(3-V3)2+(3+V3)2;2+3⑻V32—V75—a/O.5;(9)(J27+J—)—(V12——FJ45)；(10)V3(V3+1)H—广；V3-2(11)1，27〃3-a2.—+3a.---7108(2；3\aV34(六)学习要求会进行简单的二次根式的加、减、乘、除四那么运算的混合运算.做一做：填空题：.假设最简根式J2〃-1与J3〃-4是同类二次根式,那么。=..计算：一2?+亚+(兀-1)°—3x|—l+V5|=..计算:(3括-5后一(36+5扬2=..计算：+—4口=.V2+1V8.假设yVO,那么Jx3y-』xy3=..化简：g，32%3+2%—x2^―——..。+5=—8,ab=8,化简bj——k.\a\h选择题：.在二次根式混，痴中同类二次根式的个数为()(A)4(B)3(C)2(D)l.以下计算中正确的选项是()(A)V18=732x2=3a/2(B)J16-9二府-四二4-3二1(C)-V4=2(D)14a2=2a.以下各组式子中，不是同类二次根式的是()(A)白与M(B)而与JU(C)J而与J*(D)Jo.125与.化简百一夜(夜+2)得()—2-\/2—2(C)2(D)4^/2—2.以下计算中，正确的选项是()(B)V27-V3=3(D)1(-3)2=-3(B)(2-V5)(2+V5)=l(D)Vs—V2=V2(A)2V3+4V2=675(C)3V3x3V2=37614.以下计算中，正确的选项是()TOC\o"1-5"\h\zV27—V12/-r-(A)=<9-V4=16—V2rr(C)——j=-=3J215.化简一〃+16。J4a2J—的值必定是（）2V9v（A）正数（B）负数（C）非正数（D）非负数16.假设o,I为实数且b=」'—4〃+J4〃—It—，那么J—IF2—J—i2的值为(2\ah\ah(A)2V2(B)V2(C)-2V2(D)2a/3解答题：17.计算：(1)(273+72)(273-V2)；(2)(2+6产；(3)3718+-V50-4J-；5V2(4)3V8+2V18-3V32-V72；(6)(I3)-(V45+-x/i2)+(V6+V5)2006-(a/5-V6)2007；复习学习要求：了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法那么，会用它们进行有关实数的简单四那么运算和化简.做一做：填空题：2无TOC\o"1-5"\h\z.在函数了二万^中，自变量x的取值范围是.Nx—5.当x>2时'化简，(X—2尸=..假设数P在数轴上如下图，那么化简J(p_l)2+J(p_2)2=.II1I-01P2.有意义，那么x的平方根为..当二次根式J2-3x有意义时,y=|3x—1|的最小值是6.假设x<0,那么一y6.假设x<0,那么一y.假设最简二次根式J3q—8与“7-2a是同类二次根式,那么o=.当—时，化简J1—6〃+9a2+|3〃—11的结果是..假设|x—21+，6-y+z'-6z+9=0,那么五•亦•正=选择题：.使根式工出有意义的字母x的取值范围是()人(A)x>-1(B)x<-1(C)xN—1且xWO(D)x^-l.。<0=5x3=1517.以下运算中，错误的选项是()••(A)V2xV3=V6(B)1V2(C)2V2+3V2=55/2(D)(V2-V3)2=V2—V3.假设把%-工的根号外的。适当变形后移入根号内，结果是()Va—J—a—J—aJ—4(C)-(D).小明的作业本上有以下四题:①J]6〃4=4片；(B)②(C)③(D)④(2)J—fV28—J700;(3)，32—3做错的题是()(A)①解答题：22.计算：(1)2712+3748；(4)(V6—V5)x(V6+V5)；(5)(2V3—3a/2)2；(6)(J20+V5)+y/~5—2；23.⑺:质Y715嬴+6喑2.m⑻3+乎+L⑴当。＜0时，化简—2a+1a2-a⑵x满足的条件为，化简J%'—6x+9+a/x2+2%+1;x-3<0⑶实数a,b在数轴上表示如图，化简：J(a+2)2—Js—2尸+及+状ba■I1〔一[・]・-2-1012.⑴当。=逐+1,5=逐一1时，求c^b+ab?的值;(2)当工=^，y=o.8i时，求％——]y，的值..假设J2x+1与52—y互为相反数,求W的值..x,y为实数，且y=乂¥-9-)9-』+4,求五+五的值.文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。知识点五：二次根式的性质知识点六：与旧的异同点1、不同点：g”与E表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而正表示一个实数a的平方的算术平方根；在（、加产中。之0，而必中a可以是正实数，0,负实数。但（疝’与"都是非负数，即（、而>之°,万之0。因而它的运算的结果是有差异的，（JI）=©"之。），a(a>0)—a0)2、相同点：当被开方数都是非负数，即“之0时-，（G）—后；”<0时，（疝?无意义，而"二一练习：.假设"？=2%,那么x的取值范围是o.J（x—2）2=2—x,那么x的取值范围是o.化简：—2x+l（xY1）的结果是o.当10,化简二次根式，-"、的正确结果为()(a)77⑻J-j(Q-y[y(d)—J—y.假设。＜0,那么|a—而|的值是()(A)0(B)—2o.以下二次根式中，最简二次根式为((C)2a(A)V9x(B)6-3(D)2a或一2a3a2b.x、y为实数，且乂二l+3(y—2/=0,那么x—y的值为()(A)3(B)-3(C)l(D)-l.假设最简二次根式屈与斥方是同类二次根式，那么一b的值是()18.(A)0以下各式：V27,(A)0个(B)l(B)l个(C)-l(D)!，其中与6是同类二次根式的个数为((C)2个(D)3个19.当1VXV3时，化简J(X—I)?+J(x+3/的结果正确的选项是()20.(A)4(B)2x+2(C)—2x—2(D)-4不改变根式的大小，把(a-1)』,根号外的因式移入根号内，正确的选项是(1-a(A)J1-a(B)Ja-1(C)—da-I(D)—Jl-ci.mW",按以下(A)(B)(C)(D)的推理步骤，最后推出的结论是m=其中出错的推理步骤是()(A)V(m—n)2=(n—m)2(B)An—m)2(C)/.m—n=n—m(D)/.m=n.如果aWO且a、b互为相反数，那么在以下各组数中不是互为相反数的一组是()(A)UZ与蚣(B)C与JS(C)3a与3b(D)a+1与b—1.点46，1),8(0,0),C(V3,0),4E平分NBAC,交BC于点E,那么直线4E对应的函数表达式是()nn(A)y=x(B)y=x—2(C).y=V3x-1(D)y=V^-2解答题：(第25题每题4分，第26—29题每题4分，第30、31题每题6分).计算：2(1+扬+V48+4Jg;(2)9a/3x-Jy/Ux+2遥x3国；(3)(7+4省)(2-V3)2+(2+6)(2-V3);(4)-22xV8+372(3-272)——二;1+V2(5)—V9x-x2(5)—V9x-x27+6x—;(6)2aH3ab2-(—，27加1612一久苧］（入0）..假设+-"=0,求3m+6n的立方根.y/3-m.^且X为偶数，求(l+x)Jx+2X—3的值.Vx-7V^7Vx2-l.试求（6.2+』后5—（4%二十声3）的值，其中x=』，y=27.Vxy1y2［左V3+V2V3—V2+“M/古30.：a=,b=，求：3b的值.A.5—2aB.1—2aC.2a—5D.2a—1假设A=+4),那么JX=(A.ci~+4B.〃+2C.A.ci~+4B.〃+2C.(〃+2)2D.(6Z2+4)2假设Q«l,那么J（l—4化简后为（(a-1)yjci—1(a-1)yjci—1(1-a)Jl—a(a-1)Jl—a(a-1)Jl—a(1-q)ci—1.能使等式上二r之成立的x的取值范围是（）\X—2Jx-2A.xw2B.x>0C.x>-2D.x>2.计算：+«_2a）2的值是（）A.0B.4a—2C.2—4aD.2—4q或4。—2知识点七：二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，回变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.yfab-y[a-y[b（a>0,b>0）；巧=2^（b>0,a>0）.（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，因乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.【例题精选】二次根式有意义的条件：例1：求以下各式有意义的所有x的取值范围。（1）V3-2x；（2）Vx+T;（3）2cH±1;小练习：（1）当x是多少时，1在实数范围内有意义?(2)当x是多少时，，2尤+3+在实数范围内有意义？②%+1(3)当x是多少时，0"+乂2在实数范围内有意义?x(4)当时，Jx+2+Jl—2x有意义。2.假设J二而十—!—有意义，那么机的取值范围是m+1最简二次根式例2：把以下各根式化为最简二次根式：(1)b>6]分析：依据最简二次根式的概念进行化简，(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。同类根式：例3：判断以下各组根式是否是同类根式：分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。分母有理化：例4：把以下各式的分母有理化：(1)1fl.(2)——2寸2'⑵2g-7T分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如血与血，石+百与石-百均为有理化因式。求值：例5：计算:(1)Jl8—4V32+V3+V2)'3分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。化简：例6：化简：(1)—+4yf~ab+4b)2_，。一4b可看作2_，。一4b可看作4a-24bV7分析：应注意(1)式〃>0,b>0,(2)a>0,所以。=(,b=(/)(布)2-4GJ可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。化简求值:g—ik+V2.V3-a/24j337田电例8：：a=,b=求：〃//+〃力的值。22【专项训练】：一、选择题：在以下所给出的四个选择支中，只有一个是正确的。1、(J.—I))=4一1成立的条件是:D.a<1V3D.——9A・。w1B.a>\C.a<12、把化成最简二次根式，结果为：V27V2V2V6A.—尸B.C.3V3993、以下根式中，最简二次根式为:A.V4xB.J12—4C.4、t32(D)x>——39.Jx—1使式子隹工有意义的实数X的取值范围是（）(A)xNl(C)xW—2(D)xNl且xW—2.x为实数，以下式子一定有意义的是（(A)」X(A)」X(B)VX2+X(D)&+1解答题.要使以下式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件?VI-2X(2)"TOC\o"1-5"\h\z3-[)2(5)+2x+2(5)+2x+2(3)r-——(4)-^G+2x12(1)|x+3|+Jj—5=0,求二的值；(2)+4y+4+Jx+y+1=0,求『的值.13问题探究:实数X、y满足y=Vx2-4+V4-x2x-2+3,求9x+8y的值.（二）学习要求:掌握二次根式的三个性质：&20（。20）；（6）2=。（。20）；做一做:填空题:；当oVO时,.当qWO时，；7(^3-2)2=..2VXV5,化简J(x—2)2+J(x_5)2=..实数。在数轴上的位置如下图，化简：in+/(〃_2y=TOC\o"1-5"\h\z-1012.△48C的三边分别为a、b、c那么J(〃一Z?-c)2-|1-a+c|=.假设飞(大-4=Qx-y)2,那么x>y应满足的条件是.假设|x+y+4|+J(x-2)2=0,那么3x+2y=.HYPERLINK\l"bookmark180"\o"CurrentDocument".直线y=mx+r)如图4所示，化简：——=选择题：.碗的平方根是()(A)6(B)±6.化简J(-2)2的结果是()(A)-2(B)±2.以下式子中，不成立的是()(A)(V6)2=6(C)(—遥)2=6.代数式曝(。声0)的值是()(A)l(C)±l.x<2,化简J*一42+4的结果是((A)x-2(B)x+2(C)V6(D)±a/6(C)2(D)4(B)-J(-6)2=V6(D)-J(-6)2=-V6(B)—1(D)l(a>0时)或一l(o<0时))(C)-x+2(D)2-x.如果J(x—2)2=x—2,那么x的取值范围是()(A)xW2(B)x<2(C)x22(D)x>215.假设八7=-Q,那么数。在数轴上对应的点的位置应是()(A)原点(C)原点及原点左侧.假设数轴上表示数x的点在原点的左边,(A)4x(B)—4x解答题：.计算：⑴(-+1-31-(V2-I)0;(B)原点及原点右侧(D)任意点那么化简|3%+而|的结果是()(C)2x(D)-2x18.化简：(1)J(1)2+J(X+2)2(X>1)；⑵Qx—丫)?-21y—x|.19.实数x,y满足|x—5|+收口=0,求代数式(x+y产°，的值.20.^5+3yJx—y+_yjy—x—x,求|1—x|+J(y—3>的值.(三)学习要求：理解二次根式的乘法法那么，即JZ•、历=疝色>。)>0)的合理性，会运用法那么进行计算，并会逆用乘法法那么对二次根式进行化简.做一做：填空题：.计算：y[a-4ab—..xyVO,贝..实数o,b在数轴上的位置如下图，那么化简J覆的结果是.