南京航空航天大学《高等数学》110连续函数的运算与初四则运算的连续性反函数与复合函数的连续性初等函数的连续性一、四则运算的连续性定理1若函数f(x),g(x在点)0处连续x,f()xf(x则)g(±x),f(⋅x)g((),xg(x)≠0)g()x0在点x0处也连续.例如,sin,xcosx在−∞+(∞内连续,),tan故,xcotx,secx在其定义域内连续,xcsc.二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.ππ例如,y=sinx在−[,]上单调增加且连续,22故yarcsin=x在−[上也是单调增加且连续1,1].同理yar...
四则运算的连续性反函数与复合函数的连续性初等函数的连续性一、四则运算的连续性定理1若函数f(x),g(x在点)0处连续x,f()xf(x则)g(±x),f(⋅x)g((),xg(x)≠0)g()x0在点x0处也连续.例如,sin,xcosx在−∞+(∞内连续,),tan故,xcotx,secx在其定义域内连续,xcsc.二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.ππ例如,y=sinx在−[,]上单调增加且连续,22故yarcsin=x在−[上也是单调增加且连续1,1].同理yarccos=x在−[上单调减少且连续1,1];yarctan=xy,=arccot在−∞x+上单调且连续[∞,].反三角函数在其定义域内皆连续.定理3lim若xϕ(a=)函数,fu在点()连续a,x→x0lim则有[f(ϕx)]=f(a)=f[limϕx()].x→x0x→x0意义1.极限符号可以与函数符号互换;2.变量代换(u=ϕ(x的理论依据)).证f∵u()在点u=连续a,∀ε0>,∃η>0,使当u−a<,()().时η恒有fu−fa<成立ε又∵limϕx(=a)对于,η>0,∃δ>0,x→x0使当<0x−x0<时,δ恒有xϕ()−a=u−<ηa成立.综合两步:∀ε0>,∃δ>0使当,0,≠a1)在(,)−∞+∞内单调且连续;★对数函数logy=ax(a>0a,≠1)(在0+,∞内单调且连续);μμlogaxu★y=x=ay=a,u=μlogax.(在0,+∞内连续),讨论μ不同值,(均在其定义域内连续)定理5基本初等函数在定义域内是连续的.定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.注:1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,y=cosx−:1D,x0=,±2π±,π 4,这些孤立点的邻域内没有定义.y=(x2x1−3):,Dx=0,及x≥1,在0点的邻域内没有定义.函数在区间[1,+∞上连续).2.初等函数求极限的方法代入法.limfx(=)f0x()0∈x定义区间()x→x0例3lim求sinex−1.x→1解原式=sine1−=sin1e−1.1+x2−1例4求lim.x→0x(1+x21−)(+1x2+1)原式解=lim2x→0(x1+x+1)x0=lim2==0.x→01+x+12四、小结连续函数的和差积商的连续性.反函数的连续性.复合函数的连续性.两个定理;两点意义.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.思考题(设f)x=sgn，gx(x)=1+2x，试研究复合函数f[g(x与)]g[f(x的连续性)].思考题解答⎧1−,x>0⎪∵g(x)=+12xf()x=0⎨,x=01⎪,x<0[∴(f)]gx=sgn(+x21=1⎩)[fg(x在)]−∞(,)+∞续处连上处22⎧,x≠0[g(f)]x=1+(xsgn)=⎨1⎩,x=0[gf(x(在)]−∞,∪0()0,+∞续处连上处)x=0是它的可去间断点
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