重难点29因式分解的应用第141天功过皆由方程起1.已知,求代数式的值.1.解:由已知,很容勿想到,解一元二火方程求的值,再代入即可,但代值时有更筒便的
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.代数式的值为0.36.第142天公式变形有技巧2.(湖北省黄冈市竞赛题)已知,求的值.2.解:小鹿觉得完全平方公式变形,对于同学们来说,早已不在话下.,且,.的值为41.第143天思来想去解方程3.(江苏省竟赛题)求方程的整数解()3.解:融会贯通起来,前面所学的方程,要派上用场了.原方程可化为,,或方程的整数解为或第144天扩充新数有技巧4.(重庆竟赛题)按下面规则扩充新数:已有两数,可按规则扩充一个新数,在三个数中任取两数按规则又可扩充一个新数,…,每扩充一个新数叫做一次操作现有数1和4.(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数;(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999,并说明理由.4.解:说是要有技巧,其实更需要扎实的基本功.发散思维吧,小可爱们(1)第一次只能得到,要求最大新数,第二次取4和9,得到,同理,第三次取9和49,扩充三次的最大新数为(2)正着来都做到了,反着来有什么可怕的.可以通过上述规则扩充得到数1999,理由如下: 取数可得新数,,即,同理取数可得新数,设扩充后的新数为,则可以
表
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示为,式中m、n为整数,当时,,1999可以通过上述规则扩充得到.第145天纸片拼接探新知5,如图①,有足够多的边长为的小正方形(类)、长为宽为的长方形(类)以及边长为的大正方形(类)卡片,发现利用图①中的三种卡片各若干张可以拼出一些长方形来解释某些等式.比如图②可以解释为:.(1)取图①中的若干张(三类卡片都要取到)拼成一个长方形,使它的边长分别为,不画图形,试通过计算说明需要类卡片多少张;(2)若取其中的若干张(三类卡片都要取到)拼成一个长方形,使它的面积等于,画出这个长方形,并根据图形对多项式进行因式分解;(3)现有3张类,4张类,5张类卡片,从中取出若干张卡片,每种卡片至少取一张,把取出的这些卡片拼成一个正方形(无空隙,无重叠地拼接),求拼成的正方形的边长最长为多少.5.解:Maybe,这里也不需要小鹿,小鹿相信各位兄弟们自己一个人完全可以.(1),∴需要C类卡片2张;(2)如解图所示:;(3)3张边长为a的小正方形卡片的面积是,4张边长分别为的长方形卡片的面积是,5张边长为b的大正方形卡片的面积是,∴拼成的正方形的边长最长为.综合强化练291.若实数x满足,则的值为()1.A【解析】.2.(全国初中数学联赛)方程的整数解的数组为()2.B【解析】小鹿提示,求方程的整数解,还是分解之后好开展.方程变形得:,34与是偶数,必须是偶数,设,则,.整数解为∴当时,;当时,;当时,;当时,.原方程的整数解共有4组,分别为.3.设,若代数式化简的结果为,则.3.0或-2【解析】题目都说明白了,那就开始化简呗.原式=(,∴或.4.已知为的三边,且满足,则为三角形.4.拐着弯给人送分呀,嘿嘿.等腰或直角【解析】或,即或.为等腰三角形或直角三角形.5.(“希望杯”邀请赛
试题
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)若两个不相等的实数满足则实数的值为.5.题做多了,看一眼就知道怎么解.【解析】两式相减得为不相等的实数,两式相加得6.(“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题)黑板上写有共100个数字,每次操作先从黑板上的数字中选取两个数,然后删去,并在黑板上写上数,则经过99次操作后黑板上剩下的数是6.难搞,也得把分拿下,就只需多摸索摸索多费点时间嘛.100【解析】.每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变,设经过99次操作后,黑板上剩下的数为,则解得,则.7.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:,因此都是“神秘数”.(1)请说明28是否为“神秘数”;(2)下面是两个同学演算后的发现,请选择一个“发现”,判断真假,并说明理由.①小能发现:两个连续偶数和(其中取非负整数)构造的“神秘数”也是4的倍数;②小仁发现:2016是“神秘数”.7.解:(1)是神秘数;(2)成年人的世界是不需要选择的,所以两个小鹿都要看一看.当选择①时,两个连续偶数和(其中取非负整数)构造的“神秘数”也是4的倍数是真命题,理由:,取非负整数,一定能被4整除,∴两个连续偶数和(其中取非负整数)构造的“神秘数”也是4的倍数;当选择②时,2016是“神秘数”是假命题,理由:,令,解得=251.5,取非负整数,∴=251.5不符合题意,∴2016不是“神秘数”8.在平面直角坐标系中,横纵坐标均为整数的点称为整点,我们经常用整式乘法和因式分解来解决整数和整点问题,如图,在平面直角坐标系中,正方形的顶点坐标分别是,点为正方形内部(边界或者顶点除外)的动点,设点的坐标为.(1)若整数满足,请直接写出点的坐标;(2)设的三边长分别(其中为的长度),整数满足,求周长;(3)若整点满足,则称点为“快乐数学点”,求在正方形部的快乐数学点的个数.8.解:(1)(5,2)或(10,1);(2)可能会遇到不同情况,要仔细斟酌,不着急下笔.,为整数,且,且为整数,当或2或4或5时,或1250或625或500,为整数,∴或625,当,即时,,不能构成三角形,当,即时,,能构成三角形,;(3)∵点P的坐标为,则的高为,的高为,的高为,的高为,.,可得整理得,,∴或,且为整数,当时,满足的值至19,共19个,当时,满足的值至19,共19个,其中重复一次,算18个,∴在正方形内部的快乐数学点的个数为37个.