2022北京丰台高一（下）期中数学（B卷）（教师版）

2022北京丰台高一（下）期中数学（B卷）练习时间：120分钟第Ⅰ部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．cossin22−等于（）A．sin2B．cos2C．0D．112．在复平面内，复数z=对应的点位于（）1i+A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．已知tan=，那么tan2=（）23344A．−B．C．−D．44334．已知a，b是两个不共线的向量，若向量atb−与向量2ab+共线，则实数t等于（）1A．−B．-1C．0D．-225．如图，菱形ABCD中，下列结论中正确的是（）A．ABCD=B．ABADBD−=C．(AB+AD)⊥(AB−AD)D．AB+AD=AB−AD6．复平面内复数z对应的向量为OZ，且OZ=(−1,−2)，则z等于（）A．5B．3C．5D．(−1,2)7．在△ABC中，若a=13，b=3，A=60，则c的值为（）A．1B．4C．1或4D．无解8．在中，若2acosB=c，则一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形9．已知向量b=(3,4)，且ab=10，那么向量a在向量b上的投影向量为（）34436886A．,B．,C．,D．,555555551/610．有下列三个命题：①若ab=ac，且a0，则bc=；②若非零向量满足ab=a=b+，则a与ab+的夹角为60°；③在△ABC中，若ABBC0，则是锐角三角形．其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3第Ⅱ部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．若向量a=(1,2)，b=−(1,3)，则向量2ab−=______．12．cos77cos32sin+=77sin32______．13．在中，若a=8，b=7，c=5，则B=______．14．若1i+是关于x的方程xx2m−+20=的一个根，则实数m=______．15．如图，在中，向量ABAD=3，且CBCACD=+(,R)，则+=______．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（本小题15分）已知非零向量a，b满足ab=3，b=2，且aab−=(30)．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求向量a与b的夹角；（Ⅲ）求ab+的值．17．（本小题14分）23π143π已知sin=−，π,，cos=−，,2π．32242（Ⅰ）求sin，cos的值；（Ⅱ）求sin(−)的值．18．（本小题14分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，梯形ABCD的四个顶点分别为A(−2,0)，B(−1,3)，C(1,4)，D(x,y)，且AD∥BC．（Ⅰ）若AD=3BC，求点D的坐标；2/6（Ⅱ）若BCCD⊥，求点D的坐标；（Ⅲ）若点P是平面内任意一点，且AP=1，写出OP的最大值．（只需写出结论）19．（本小题14分）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动．A处有一栋大楼，某学生选B，C两处作为测量点，测得BC的距离为50m，=ABC45，=BCA105，在C处测得大楼楼顶D的仰角为75°．（Ⅰ）求AC两点间的距离；（Ⅱ）求大楼的高度．（第（Ⅱ）问不计经纬仪的高度，计算结果精确到1m．参考数据：21.414，31.732，62.449）20．（本小题14分）x已知 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数f(x)=2cos2+sinx−1．2π（Ⅰ）求f；3（Ⅱ）当x−π,0时，求fx()的最小值以及取得最小值时x的值．21．（本小题14分）π在△ABC中，ab=3，C=．6（Ⅰ）求证：是等腰三角形；（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使三角形存在且唯一，并求出此三角形的面积．条件①：bc=1；条件②：sin3BAsin=；条件③：bA=4sin．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分：如果选择多个符合要求的条件解答，按第一个解答计分．3/6参考答案第Ⅰ部分（选择题共40分）一．选择题（每小题4分，共40分）12345678910BDDACABCCB第Ⅱ部分（非选择题共110分）二．填空题（每小题5分，共25分）211．(3,1)12．13．60°14．215．12三．解答题(共85分）22216．解：（Ⅰ）因为aa−(b=30)，所以a−30ab=，aab−30=，所以a=9，所以a=3；ab31（Ⅱ）cos===，又因为0π，所以=60；ab23222222（Ⅲ）ababaabbaabb+=+=++=++()22=++=46919．3π3π217．解：（Ⅰ）因为,2π，所以,π，sin1cos=+−224222142，=−−=1442147，sin2sincos2==−=−2244421432；cos2cos121=−=−−=2443π（Ⅱ）因为π,，22225所以cos1=sin1−−=−−−=−；33所以sinsin(−=−coscos)sin753235+6．=−−−−=43431218．解：（Ⅰ）因为梯形ABCD中，AD=3BC且AD∥BC，所以AD=3BC，4/6所以(xy+=2,6,3)()，x+=26x=4所以，，所以D(4,3)；y=3y=3（Ⅱ）因为BCCD⊥，所以BCCD⊥，BCCD=0，所以26xy+=，26xy+=x=2又因为ADB∥C，所以xy+=22，所以，所以，xy−=22−y=2所以D(2,2)；（Ⅲ）OP的最大值为3．19．解：（Ⅰ）因为=BAC−−1801054530=，在△ABC中，BCAC50AC因为=，=，所以AC=502；sinsinBACABCsin30sin45（Ⅱ）在△DCA中，AD因为=DAC90，=tan，所以ADAC==tan75502tan75，AC31+tan45+tan30又因为tan75=tan(45+30)==3=2+3，1−tan45tan3031−3所以ADm=+=++=502(23100)2506141.4122.45263.85264，答：楼高为264m．2πππ331+3．解：（）2，20Ⅰf=2cos+sin−1=2+−1=363222x（Ⅱ）fxxxx()=−+=+2cos1sinsincos2222ππ=+=+2sincos2xxxxsincoscossin2244π=2sinx+，43πππππ因为−π0x，所以−x+，所以，当x+=−，444423π即x=−时，y=−2，4min3π所以fx()的最小值为−2，此时xx=−．45/6abc222+−21．（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为cosC=，2ab2223(3bbc)+−2所以=，33bbbc222=+−2()223b所以bc22=，bc=，所以是等腰三角形．（Ⅱ）选①因为bc=1，bc=，所以bc==1，a=3，11π3所以，面积SabC===sin31sin．2264ab选②因为sin3BAsin=，又因为=，所以ba=3，sinsinAB又因为ab=3，所以ab==0矛盾．不能选②．πππ2π选③因为bA=4sin，bc=，所以BC==，所以A=−−=π，66632π3所以b===4sin423，a==3236，3211π所以，面积SabC===sin623sin33．2266/6