高中数学选择性必修第一册人教A版2.3 直线的交点坐标与距离公式2.3.1 两条直线的交点坐标2.3.2 两点间的距离公式学习目标1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.会根据方程组解的组数判定两条直线的位置关系.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式,会用坐标法
证明
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简单的平面几何问题.第二章直线和圆的方程第1讲 描述运动的基本概念 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0,点A(x0,y0).若点A是直线l1与l2的交点,则有 即方程组 的解① 就是这两条直线的交点坐标.1|两条直线的交点坐标第二章直线和圆的方程第1讲 描述运动的基本概念 在同一平面内的两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,直线l1与l2的位置关系如下:2|两直线的位置关系与方程组的解的联系质点方程组 的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点个数② 1 ③ 无数 0直线l1与l2的位置关系④ 相交 重合⑤ 平行 第二章直线和圆的方程第1讲 描述运动的基本概念 P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式|P1P2|=⑥ .特殊情况:当直线P1P2垂直于y轴时,|P1P2|=|x2-x1|;当直线P1P2垂直于x轴时,|P1P2|=|y2-y1|;当点P2(或P1)是原点时,|P1P2|= (或 ).3|两点间的距离公式第二章直线和圆的方程第1讲 描述运动的基本概念1.若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解. ( √ )
提示
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:当两直线相交时,交点坐标既在第一条直线上又在第二条直线上,因此坐标是方程组的解.2.当A1B2=A2B1时,直线l1与l2平行. ( ✕ )提示:当A1B2=A2B1,且B1C2=B2C1时,方程组 有无数组解,从而直线l1与l2重合;当A1B2=A2B1,且B1C2≠B2C1时,方程组 无解,从而直线l1与l2平行.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.第二章直线和圆的方程第1讲 描述运动的基本概念3.若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交. ( ✕ )提示:两直线的方程组成的方程组有无数组解时,两直线重合.4.当A,B两点的连线与坐标轴平行或垂直时,两点间的距离公式不适用. ( ✕ )提示:当线段AB与坐标轴垂直时,两点间的距离公式仍然适用.5.P1(0,a)、P2(0,b)两点间的距离为a-b. ( ✕ )提示:P1(0,a)、P2(0,b)两点间的距离应该为|a-b|.第二章直线和圆的方程第1讲 描述运动的基本概念1|如何用坐标法解决平面几何问题 1.利用坐标法解决三角形有关问题(1)判断三角形的形状,要采用数形结合的方法,大致明确三角形的形状,以确定证明的方向.(2)从运算的角度来看,有两方面考虑:一是要考虑角的特征,主要考查是不是直角或等角;二是要考虑边的特征,主要考查边是否相等或是否满足勾股定理.2.利用坐标法解决平面几何问题的步骤(1)建立坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上;(2)用坐标表示有关的量;(3)将几何关系转化为坐标运算;(4)把代数运算结果“翻译”成几何结论.第二章直线和圆的方程第1讲 描述运动的基本概念 在△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).思路点拨建立平面直角坐标系,得到相关各点的坐标,利用两点间的距离公式解决相关线段长度问题.第二章直线和圆的方程第1讲 描述运动的基本概念证明 以BC边所在直线为x轴,D为原点,建立平面直角坐标系,如图所示, 设A(b,c),C(a,0),B(-a,0).因为|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+(-c)2,|AD|2=b2+c2,|DC|2=a2,所以|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AD|2+|DC|2=a2+b2+c2,所以|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).第二章直线和圆的方程第1讲 描述运动的基本概念 1.对称点的求法(1)求点关于点的对称点坐标若点M(x1,y1)关于点P(a,b)的对称点为N(x,y),则由中点坐标公式可得 (2)求点关于直线的对称点坐标设点M(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点为N(x,y),则点N的坐标可由方程组 求得.2|常见的对称问题及应用第二章直线和圆的方程第1讲 描述运动的基本概念2.在直线l上求一点P,使P到两个定点的距离之和最小的求法(1)若两个定点A,B在直线l的异侧,则当点P为直线AB与l的交点时,点P到两个定点的距离之和最小,最小值为|AB|.如图①,在直线l上任取一点P',则|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|.(2)若两个定点A,B在直线l的同侧,如图②,则作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交直线l于点P,此时点P到两个定点A,B的距离之和最小. 第二章直线和圆的方程第1讲 描述运动的基本概念 已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4),且点P在直线l上.(1)当|PA|+|PB|最小时,点P的坐标为 ;(2)当||PB|-|PA||最大时,点P的坐标为 .思路点拨(1)利用对称性将同侧两点转化为异侧两点,利用两点之间线段最短求最小值,进而得出点P的坐标.(2)A、B两点在直线l的同侧,根据三角形两边之差小于第三边,得出当A,B,P三点共线时,||PB|-|PA||取得最大值,进而得出点P的坐标.(-2,3)(12,10)第二章直线和圆的方程第1讲 描述运动的基本概念解析 (1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),则 解得 故A'(-2,8).因为P为直线l上一点,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,当且仅当B,P,A'三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,最小值为|A'B|,此时点P为直线A'B与直线l的交点.又直线A'B的方程为x=-2,所以由 得 故点P的坐标为(-2,3).(2)A、B两点在直线l的同侧,P是直线l上一点,则||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,||PB|-|PA||取得最大值,最大值为|AB|,此时点P为直线AB与直线l的交点.又直线AB的方程为y=x-2,所以由 得 故点P的坐标为(12,10).第二章直线和圆的方程第1讲 描述运动的基本概念
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