-.z.高中数学会考试卷第一卷〔选择题共60分〕一、选择题：本大题共14小题：第〔1〕—〔10〕题每题4分，第〔11〕-〔14〕题每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。〔1〕集合A={0，1，2，3，4}，B={0，2，4，8}，则A∩B子集的个数是：〔〕 A、6个B、7个C、8个D、9个〔2〕式子4·5的值为：〔〕 A、4/5 B、5/4 C、20 D、1/20〔3〕sinθ=3/5,sin2θ<0,则tg〔θ/2〕的值是：〔〕 A、-1/2B、1/2C、1/3D、3〔4〕假设loga(a2+1)
a4+a5B、a1+a81B、a∈R且a≠1C、-1＜a≤1D、a=0或a=1〔12〕如图，液体从一球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中，开场时漏斗盛满液体，经过3分钟漏完。烧杯中的液面上升的速度是一个常量，H是漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t(分〕的函数关系用图象表示只可能是：〔〕 〔13〕函数f(*)=-*-*3,*1、*2、*3∈R,且*1+*2>0,*2+*3>0,*3+*1>0,则f(*1)+f(*2)+f(*3)的值：〔〕 A、一定大于零B、一定小于零C、等于零D、正负都有可能〔14〕如图，一正方体棱长为3cm，在每个面正中央有一个入口为正方形的孔通过对面，孔的边长为1cm，孔的各棱平行于正方形的孔通过对面，孔的边长为1cm，孔的各棱平行于正方体各棱，则所得几何体的总外表积为〔〕 A、54cm2B、76cm2C、72cm2D、84cm2二、填空题：本大题共4小题：每题4分，共16分，把答案填在题中横线上。 〔15〕函数y=2cos*(0≤*≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则其面积为_____________。 〔16〕直线l与直线y=1,*-y-7=0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(-1,1)，则直线l的斜率为______________。 〔17〕设f(*)为偶函数，对于任意*∈R+，都有f(2+*)=-2f(2-*)，f(-1)=4，则f(-3)=____________。 〔18〕等差数列{an}中，sn是它的前n项之和，且s6s8,则：①此数列公差d<0；②s9一定小于s6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定是Sn中最大值。其中正确的选项是______________〔填入序号〕。三、解答题：本大题共6小题：共74分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。 〔19〕〔本小题总分值10分〕解关于*的方程：loga*+2(2a2*+3a*-2)=2(a>0且a≠1)。 〔20〕〔本小题总分值12分〕设△ABC的两个内角A、B所对的边的长分别为a、b。复数Z1=a+bi,Z2=cosA+icosB。假设复数Z1·Z2在复平面上对应的点在虚轴上，试判断△ABC的形状。 〔21〕〔本小题总分值12分〕如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长都等于a,D、F分别为AC1、BB1的中点。〔1〕求证DF为异面直线AC1与BB1的公垂线段，并求DF的长。〔2〕求点C1到平面AFC的距离。 〔22〕〔本小题总分值12分〕*工厂有容量为300吨的水塔一个，每天从早上6时起到晚上10时上供给该厂生活和生产用水。该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W〔吨〕与时间t〔单位：小时。定义早上6时t=0〕的函数关系为w=100，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时的进水量增加10吨，假设*天水塔原有水100吨，在供水同时翻开进水管，问进水量选择第几级，既能保证该厂用水〔水塔中水不空〕又不会使水溢出。 〔23〕〔本小题总分值14分〕设f(*)是定义在[-1,1]上的奇函数，且对任意a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有>0。 〔1〕假设a>b，试比拟f(a)与f(b)的大小。 〔2〕解不等式f(*-)a4+a5B、a1+a81B、a∈R且a≠1C、-1＜a≤1D、a=0或a=1〔12〕如图，液体从一球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中，开场时漏斗盛满液体，经过3分钟漏完。烧杯中的液面上升的速度是一个常量，H是漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t(分〕的函数关系用图象表示只可能是：〔〕 〔13〕函数f(*)=-*-*3,*1、*2、*3∈R,且*1+*2>0,*2+*3>0,*3+*1>0,则f(*1)+f(*2)+f(*3)的值：〔〕 A、一定大于零B、一定小于零C、等于零D、正负都有可能〔14〕如图，一正方体棱长为3cm，在每个面正中央有一个入口为正方形的孔通过对面，孔的边长为1cm，孔的各棱平行于正方形的孔通过对面，孔的边长为1cm，孔的各棱平行于正方体各棱，则所得几何体的总外表积为〔〕 A、54cm2B、76cm2C、72cm2D、84cm2二、填空题：本大题共4小题：每题4分，共16分，把答案填在题中横线上。 〔15〕函数y=2cos*(0≤*≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则其面积为_____________。 〔16〕直线l与直线y=1,*-y-7=0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(-1,1)，则直线l的斜率为______________。 〔17〕设f(*)为偶函数，对于任意*∈R+，都有f(2+*)=-2f(2-*)，f(-1)=4，则f(-3)=____________。 〔18〕等差数列{an}中，sn是它的前n项之和，且s6s8,则：①此数列公差d<0；②s9一定小于s6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定是Sn中最大值。其中正确的选项是______________〔填入序号〕。三、解答题：本大题共6小题：共74分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。 〔19〕〔本小题总分值10分〕解关于*的方程：loga*+2(2a2*+3a*-2)=2(a>0且a≠1)。 〔20〕〔本小题总分值12分〕设△ABC的两个内角A、B所对的边的长分别为a、b。复数Z1=a+bi,Z2=cosA+icosB。假设复数Z1·Z2在复平面上对应的点在虚轴上，试判断△ABC的形状。 〔21〕〔本小题总分值12分〕如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长都等于a,D、F分别为AC1、BB1的中点。〔1〕求证DF为异面直线AC1与BB1的公垂线段，并求DF的长。〔2〕求点C1到平面AFC的距离。 〔22〕〔本小题总分值12分〕*工厂有容量为300吨的水塔一个，每天从早上6时起到晚上10时上供给该厂生活和生产用水。该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W〔吨〕与时间t〔单位：小时。定义早上6时t=0〕的函数关系为w=100，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时的进水量增加10吨，假设*天水塔原有水100吨，在供水同时翻开进水管，问进水量选择第几级，既能保证该厂用水〔水塔中水不空〕又不会使水溢出。 〔23〕〔本小题总分值14分〕设f(*)是定义在[-1,1]上的奇函数，且对任意a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有>0。 〔1〕假设a>b，试比拟f(a)与f(b)的大小。 〔2〕解不等式f(*-)
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一、CCDBC、DACBD、BDBC二、15、4π 16、- 17、-8 18、①②④三、19、解：设a*=t>0 则原方程变为logt+2(2t2+3t-2)=2 ∴2t2+3t2-2=〔t+2〕2 4分 整理得t2-t-6=0 解得t1=3,t2=-2 6分 ∵t>0,∴t2=-2舍去 当t1=3，即a*=3时*=loga3， 8分 经检验*=loga3是原方程的解 9分 ∴原方程的解为*=loga3 10分20、解：z1·z2=(a+bi)(cosA+icosB)=(acosA-bcosB)+i(bcosA+acosB) 4分 由题设得 6分由式及余弦定理得：a· -b· =0 8分 整理得：〔a2-b2〕(c2-a2-b2)=0 ∴a=b或c2=a2+b2满足②式 10分 ∴ΔABC为等腰三角形或直角三角形 12分21、 解：〔I〕在面AC1内过D作EG∥AC，交AA1于E，交CC1于G. 则E、G分别为AA1、CC1的中点，连结EF、GF、FC1 DF为异面直线AC1与BB1的公垂线段4分 在正三角形EFG中，DF=a 6分〔II〕设点C1到平面ACF的距离为h. 过A作AH⊥BC交BC于H，则AH为点A到面BC1的距离. ∵VC1-ACF=VA-CC1F，即SΔCC1F·AH=SΔACF·h 8分 ∵SΔCC1F=a2,AH=a,AC=a,CF=AF=a SΔACF=AC·=a2 10分 ∴h==a 即点C1到平面AFC的距离为a 12分22、解：设进水量选用第n级，在t时刻水塔中的水的存有量为： y=100+10nt-10t-100(0＜t≤16) 2分 要是水塔中水不空不溢，则0＜y≤300 即 对一切0＜t≤16恒成立。 6分 令=*,*≥ 则-10*2+10*+1＜n≤20*2+10*+1 而y1=-10*2+10*+1=-10(*-)2+≤(*≥) 8分 y2=20*2+10*+1=20(*+)-≥4(*≥) 10分 ∴3＜n≤4 ∴n=4选择第4级进水量可满足要求 12分23、解：〔I〕对任意*1、*2∈[-1,1]，当*1＜*2时，由奇函数的定义和题设不等式得： 3分 f(*2)-f(*1)=f(*2)+f(-*1)=(*2-*1)＞0 即 f(*2)＞f(*1) 5分 ∴f(*)在[-1,1]上是增函数，而a＞b，∴f(a)＞f(b) 7分 (II)由(I)得：-1≤*-＜*-≤1 7分 解得： -≤*≤即不等式的解 9分 (III)P={*-1≤*-c≤1=}=[c-1,c+1],Q={-1≤*-c2≤1}=[c2-1,c2+1] 11分 P∩Q=Φ <=>c+1＜c2-1或c2+1＜c-1 13分 解得：c＜-1或c＞2 的取值范围是c＜-1或c＞2 14分24、解：(I)抛物线顶点M(0,1)，圆C的圆心(0,-1)，半径r=1。 ∴圆的方程为*2+(y+1)2=1 4分 (II)设N(*0,y0)，P(a,0)，由题设可知抛物线准线方程为y=0， 当直线NP的斜率存在时，则直线NP方程为y=(*-a) 即y0*+(a-*0)y -ay0=0 6分 当直线的斜率不存在时，满足上方程， 因直线NP与圆C相切，所以=1 即(y0+2)a2-2*0a-y0=0 8分 由y0≥1知y0+2≠0，上面关于a方程两根是P、Q两点横坐标a1+a2=,a1a2=， |PQ|=|a1-a2|===而*02=4(y0-1) ∴|PQ|== 10分 === 12分∵y0≥1，∴0＜≤，∈(0,] ∴当=，即y0=10时，|PQ|ma*= 当=，即y0=1时，|PQ|ma*= ∴|PQ|的取值范围是 [,] 14分试题答案及评分标准一、CCDBC、DACBD、BDBC二、15、4π 16、- 17、-8 18、①②④三、19、解：设a*=t>0 则原方程变为logt+2(2t2+3t-2)=2 ∴2t2+3t2-2=〔t+2〕2 4分 整理得t2-t-6=0 解得t1=3,t2=-2 6分 ∵t>0,∴t2=-2舍去 当t1=3，即a*=3时*=loga3， 8分 经检验*=loga3是原方程的解 9分 ∴原方程的解为*=loga3 10分20、解：z1·z2=(a+bi)(cosA+icosB)=(acosA-bcosB)+i(bcosA+acosB) 4分 由题设得 6分由式及余弦定理得：a· -b· =0 8分 整理得：〔a2-b2〕(c2-a2-b2)=0 ∴a=b或c2=a2+b2满足②式 10分 ∴ΔABC为等腰三角形或直角三角形 12分21、 解：〔I〕在面AC1内过D作EG∥AC，交AA1于E，交CC1于G. 则E、G分别为AA1、CC1的中点，连结EF、GF、FC1 DF为异面直线AC1与BB1的公垂线段4分 在正三角形EFG中，DF=a 6分〔II〕设点C1到平面ACF的距离为h. 过A作AH⊥BC交BC于H，则AH为点A到面BC1的距离. ∵VC1-ACF=VA-CC1F，即SΔCC1F·AH=SΔACF·h 8分 ∵SΔCC1F=a2,AH=a,AC=a,CF=AF=a SΔACF=AC·=a2 10分 ∴h==a 即点C1到平面AFC的距离为a 12分22、解：设进水量选用第n级，在t时刻水塔中的水的存有量为： y=100+10nt-10t-100(0＜t≤16) 2分 要是水塔中水不空不溢，则0＜y≤300 即 对一切0＜t≤16恒成立。 6分 令=*,*≥ 则-10*2+10*+1＜n≤20*2+10*+1 而y1=-10*2+10*+1=-10(*-)2+≤(*≥) 8分 y2=20*2+10*+1=20(*+)-≥4(*≥) 10分 ∴3＜n≤4 ∴n=4选择第4级进水量可满足要求 12分23、解：〔I〕对任意*1、*2∈[-1,1]，当*1＜*2时，由奇函数的定义和题设不等式得： 3分 f(*2)-f(*1)=f(*2)+f(-*1)=(*2-*1)＞0 即 f(*2)＞f(*1) 5分 ∴f(*)在[-1,1]上是增函数，而a＞b，∴f(a)＞f(b) 7分 (II)由(I)得：-1≤*-＜*-≤1 7分 解得： -≤*≤即不等式的解 9分 (III)P={*-1≤*-c≤1=}=[c-1,c+1],Q={-1≤*-c2≤1}=[c2-1,c2+1] 11分 P∩Q=Φ <=>c+1＜c2-1或c2+1＜c-1 13分 解得：c＜-1或c＞2 的取值范围是c＜-1或c＞2 14分24、解：(I)抛物线顶点M(0,1)，圆C的圆心(0,-1)，半径r=1。 ∴圆的方程为*2+(y+1)2=1 4分 (II)设N(*0,y0)，P(a,0)，由题设可知抛物线准线方程为y=0， 当直线NP的斜率存在时，则直线NP方程为y=(*-a) 即y0*+(a-*0)y -ay0=0 6分 当直线的斜率不存在时，满足上方程， 因直线NP与圆C相切，所以=1 即(y0+2)a2-2*0a-y0=0 8分 由y0≥1知y0+2≠0，上面关于a方程两根是P、Q两点横坐标a1+a2=,a1a2=， |PQ|=|a1-a2|===而*02=4(y0-1) ∴|PQ|== 10分 === 12分∵y0≥1，∴0＜≤，∈(0,] ∴当=，即y0=10时，|PQ|ma*= 当=，即y0=1时，|PQ|ma*= ∴|PQ|的取值范围是 [,] 14分
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