绝对值化简专题训练2(有难度)

郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。绝对值化简专题训练2（有难度） 绝对值是 初中 初中体育教案免费下载初中各年级劳动技术教案初中阶段各学科核心素养一览表初中二次函数知识点汇总初中化学新课程标准 代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．　　下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．　　一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即　　　绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．　　结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．　　例1a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？　　(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；　　(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；　　(4)若｜a｜=b，则a=b；　　(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；　　(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．　　解(1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．　　(3)对．　　(4)不对．当a≥0时成立．　　(5)不对．当b＞0时成立．　　(6)不对．当a＋b＞0时成立．　　例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．　　　解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．　　再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．　　于是有　　原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．　　例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．　　分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．　　解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)　　　　　=｜3+｜3+x｜｜　　　　　=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)　　　　　=｜-x｜=-x．　　　　解因为abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．　　(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；　　(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；　　(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；　　(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．　　　　说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．　　例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．　　解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．　　(1)当y=2时，x+y=-1；　　(2)当y=-2时，x+y=-5．　　所以x+y的值为-1或-5．　　例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．　　解a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是　　　　｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①　　或　　　　　｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②　　由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，　　所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．　　　　解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．　　因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即　　由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002，y=1001，　　所以　　　例8化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．　　分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即　　　这样我们就可以分类讨论化简了．　　　　　　　　　　　　原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；　　　　　　　　　原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；　　　　　　　　原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．　　即　　　　　　　　　　　　说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．　　例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．　　分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．　　解有三个分界点：-3，1，-1．　　(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．　　(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．　　(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．　　(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．　　综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．　　例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜　　的最小值．　　分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．　　解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．　　因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：　　　所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．　　例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．　　分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．　　故x应满足的条件是　　　　此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．　练习二　　　1．x是什么实数时，下列等式成立：　　(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；　　(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．　　2．化简下列各式：　　　(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．　　3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．　　4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．　　5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？　　6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．　　7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为()．　　(1)在A，C点的右边；　　(2)在A，C点的左边；　　(3)在A，C点之间；　　(4)以上三种情况都有可能．