第三章刚体力学基础一、刚体的平动与转动二、力对转动轴的力矩三、刚体的转动定理四、转动惯量的计算方法五、力矩的功与动能定理六、刚体的角动量与角动量守恒定律§1刚体的平动与转动一、刚体的概念二、自由度的概念三、刚体的平动四、刚体的定轴转动五、刚体转动的角速度和角加速度1.角速度2.角加速度ΔθOO’ω刚体定轴转动中的运动学计算问题在θ=θ(t)已知时，计算角速度及角加速度在角加速度已知时，计算计算角速度及角位移匀变速转动中的运动学公式六、角量与线量的关系rvω§2力矩转动定理一、力矩的基本概念力矩=力X力臂二、力对固定轴的力矩OrFθ合力矩的计算方法当力在转动平面内时，合力矩等于分力矩的代数和；当力不在转动平面内时，需要先将力分解，再求分力矩的代数和；三、刚体的转动定理1、转动定理刚体做定轴转动时，刚体所获得的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。其中J为刚体的转动惯量。证明:在刚体中任意考虑一质点mi，作用在其上的合外力为Fi，合内力为fi，将加速度和力分解为法向和切向分量，由于力的法分量通过转动轴，对转动不产生影响，方程两边同ri，对所有质点求和根据牛顿第三定律，Omimjrirjdfjfi内力的合力矩为02、转动惯量定义叫刚体对转动轴的转动惯量。注意：1）刚体对不同转动轴有不同的转动惯量。2）物理意义：对刚体转动中惯性大小的量度。rimi三、转动惯量的计算方法1、利用定义计算2、平行轴定理3、垂直轴定理4、组合定理1、利用定义计算例1设有一根长为l，质量为m的均匀细杆，求：绕中点O转动的转动惯量。xdmlO例2、计算边长为l，质量为m的正方形均匀薄板，绕通过板面的对称轴的转动惯量。解：薄板面密度σ=m/l2细条的转动惯量xOdxl例3、求半径为R，质量为m的匀质圆环对中心轴的转动惯量。解：RmdlO例4、求半径为R，质量为m的匀质圆板对中心垂直轴的转动惯量。解：圆环对垂直轴的转动惯量rdrR2、平行轴定理刚体对任意轴的转动惯量J等于，其中，JC为刚体对通过质心的平行轴的转动惯量；d为两平行轴之间的距离；m为刚体的质量；C.d例5、有一根长为l，质量为m的均匀杆，求：绕l/3点转动时的转动惯量。同理绕端点的转动惯量为l/33、垂直轴定理设有平面二维刚体，刚体面为X-Y平面。则有应该注意：刚体面必须是X-Y平面。刚体绕oz轴转动时，dmxyOr例有一半径为R，质量为M的匀质薄板，若其对通过质心的垂直轴的转动惯量为J，求：它绕直径转动的转动惯量。YXO例6、计算边长为l，质量为m的正方形均匀薄板，绕垂直板面的对称轴的转动惯量。解：已知薄板对x，y轴的转动惯量均为xyO4、组合定理若一个刚体由几部分组成，则刚体对转动轴的转动惯量等于各部分对该轴的转动惯量之和。例7、如图所示，刚体由一均匀细杆和一均匀圆盘组成。求：刚体对O轴的转动惯量.OlmRM刚体动力学小结：分析刚体受力，计算力矩M。计算刚体对转动轴的转动惯量J。（常见形状刚体的转动惯量见P160表）根据转动定理计算角加速度β。根据运动学关系计算角速度及角位移。例3-8钟摆由一细杆和一质点构成设：均匀细杆质量为m1，摆长l，摆锤质量m2，求：在任意角度θ下，钟摆的角加速度及角速度。Om1gm2gθl解：在任意θ位置，钟摆所受力矩钟摆对O点的转动惯量Om1gm2gθl设：初始状态θ=θ0时，ω0=0，由积分得：代入初始条件：C=-kcosθ0例3-9一个半径为R，质量为m的匀质圆盘，以角速度ω0转动，现将它平放在水平面上，盘与平面之间的摩擦系数为μ，求：1、圆盘所受的摩擦力矩；2、经过多少时间圆盘静止；求：1、圆盘的摩擦阻力矩；2、圆盘停止时间；解：r，drω例题3-10求：球棒击球时打击中心点的位置。设：球给棒的水平冲力为Fi，手对球棒的约束力为Ft，球棒在Fi的力矩作用下，发生绕瞬时轴O的转动，球棒质量为m，对O点转动惯量为J。解：令：Ft=0，得FiFtCOrcr§3角动量和角动量定理一、定轴转动中的角动量定义：Jω称为刚体对转轴的角动量二、角动量定理由转动定理刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量。三、角动量守恒定律当刚体所受的合外力矩等于零时,刚体的角动量守恒.注意:1)角动量守恒定律是自然界所遵守的一条普遍原理.2)条件:刚体所受合外力矩=03)对转动惯量可变的非刚体，当外力矩M=0时，角动量守恒依然成立。例题3-14一质量m1，长度为l的匀质细杆，可绕过其顶端的水平轴自由转动。质量为m2的子弹以水平速度v0穿过静止细杆下端，穿过后速度减为v0/4。求：子弹穿出后细杆所获得的角速度。（1）用角动量定理求解子弹所受冲量细杆所受冲量矩由牛顿第三定律Ov0v0/4m1lm2（2）应用角动量守恒定律求解解：例题3-15一个质量为m1，半径R的水平圆台可以绕通过中心的竖直轴自由转动。质量为m2的人站在圆台边缘，开始时人和圆台均为静止。求：人沿边缘行走一周，圆台相对地面的角位移。解：系统所受合外力矩为0，角动量守恒。设人和圆台对地面的角速度分别为ω和Ω积分得注意：当人圆台走一周时，对地面的角位移为θ=2π-Θ§4力矩的功与动能定理一、力矩的功首先考虑外力对单个质元做的功对所有的质元求和积分得ZαimiriFidθdrO二、动能定理由合外力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。讨论：刚体的动能：刚体内力的功：（W内=0）对于刚体，任意两质点距离不变，Δr=0r1r2Δrm1m2O三、刚体的重力势能ZmiZi刚体的总机械能机械能守恒定律当系统内只有保守力作功时，系统的总机械能守恒。例1有一根质量为m，长为l的均匀细杆，可绕O点自由转动。当它从水平位置，由静止开始自由下落到竖直位置时，求A，C两点的速度。OCACA1）重力矩的功2）动能的增量Oθcmg由于系统所受外力矩为零,本题还可以直接使用机械能守恒定律.例2如图，t=0时，v0=ω0=0求：当物体下落距离h时，物体的速度及滑轮的角加速度。解：Tm2gRTm1本问题的另一种考虑方法由机械能守恒定律例3质量为M，长为l的细杆，可绕过上端的水平轴O在竖直平面内自由转动，初始状态为静止不动。今有质量为m的子弹垂直杆的方向、距转轴为l0处射入，设子弹原来的速度为v0，穿过细杆出射的速度v。求（1）细杆所获得的角速度和转动动能；（2）细杆所受的冲量矩；（3）细杆上摆的最大角度；Oθcv0m解：（1）由角动量守恒原理：（2）由角动量定理：（3）细杆上摆的最大角度利用机械能守恒定律Oθc小结：掌握与质点对应的
学习方法
学习方法和学习习惯的培养大学生学习方法学习方法总结89语言文字研究三年级学生学习方法
；（P181表）转动惯量及力矩的计算方法；刚体转动中的3种基本力学问题：1、2、3、§5进动进动：高速转动物体的自转轴绕另一轴线旋进运动称为进动（gyration）。ωzΩO进动角速度设刚体自转角速度ω，转动惯量为J，且自转角速度ω远大于进动角速度Ω，由角动量定理可见：Ω∝M；及Ω∝1/ωzyxLdLΩdθ习题P1923-113-12P1933-153-18P1943-24P1953-263-27
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