第八章 立体几何６９ §８.２ 空间点、线、面的位置关系对应学生用书起始页码Ｐ１２８考点一空间点、线、面的位置关系高频考点 １.直线和平面的位置关系位置关系直线ａ在平面α内直线ａ与平面α相交直线ａ与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点无公共点符号表示ａ⊂αａ∩α＝Ａａ∥α ２.两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝ｌ有无数个公共点在一条直线上续表位置关系图示表示法公共点个数两平面相交垂直α⊥β有无数个公共点在一条直线上考点二异面直线所成的角 １.异面直线(１)定义:异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.其含义是不存在这样的平面ꎬ能同时经过这两条直线.其符号表示为:不存在平面αꎬ使得ａ⊂α且ｂ⊂α.当然也可以这样理解:ａ∩ｂ＝⌀且ａ与ｂ不平行.(２)性质:两条异面直线既不相交又不平行.２.异面直线所成的角过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线ꎬ那么这两条相交直线所成的锐(或直)角叫做这两条异面直线所成的角.若记这个角为θꎬ则θ的范围是０ꎬπ２(].对应学生用书起始页码Ｐ１２８一、点、线、面位置关系的判断方法 １.判断点、线、面的位置关系的常用方法(１)根据公理和定理
证明
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位置关系ꎻ(２)通过构造特例否定其位置关系ꎻ(３)利用原命题和逆否命题等价判断命题的真伪ꎻ(４)反证法.２.点共线问题的证明方法证明空间点共线ꎬ一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点ꎬ再依据公理３证明这些点都在这两个平面的交线上.３.线共点问题的证明方法证明空间三线共点ꎬ先证两条直线交于一点ꎬ再证第三条直线经过这点ꎬ将问题转化为证明点在直线上.４.点线共面问题的证明方法(１)纳入平面法:先确定一个平面ꎬ再证有关点、线在此平面内ꎻ(２)辅助平面法:先证有关点、线确定平面αꎬ再证其余点、线确定平面βꎬ最后证明平面αꎬβ重合.(２０１８天津南开中学第三次月考ꎬ５)若ｍ、ｎ是两条不同的直线ꎬα、β、γ是三个不同的平面ꎬ则下列说法正确的是( )Ａ.若ｍ⊥βꎬｍ∥αꎬ则α⊥βＢ.若α∩γ＝ｍꎬβ∩γ＝ｎꎬｍ∥ｎꎬ则α∥βＣ.若ｍ⊂βꎬα⊥βꎬ则ｍ⊥αＤ.若α⊥γꎬα⊥βꎬ则β⊥γ解析 对于Ａꎬｍ∥αꎬ过ｍ的平面与α交于ｎꎬ则ｍ∥ｎꎬ∵ｍ⊥βꎬ∴ｎ⊥βꎬ∵ｎ⊂αꎬ∴α⊥βꎬ故Ａ正确ꎻ对于Ｂꎬ如图ꎬ平面ＡＢＣＤ∩平面ＡＢＦＥ＝ＡＢꎬ平面ＡＢＦＥ∩平面ＣＤＥＦ＝ＥＦꎬＡＢ∥ＥＦꎬ但平面ＡＢＣＤ与平面ＣＤＥＦ不平行ꎬ故Ｂ不正确ꎻ对于Ｃꎬ若α⊥βꎬｍ⊂βꎬ则ｍ与α的位置关系不确定ꎬ故ｍ与α可能斜交ꎬ可能平行ꎬ也可能是ｍ⊂αꎬ故Ｃ不正确ꎻ对于Ｄꎬ∵γꎬβ垂直于同一个平面αꎬ故γꎬβ可能相交但不垂直ꎬ可能平行ꎬ故Ｄ不正确.答案 Ａ １－１ 如图ꎬ在三棱锥Ｓ－ＡＢＣ中ꎬＧ１ꎬＧ２分别是△ＳＡＢ和△ＳＡＣ的重心ꎬ则直线Ｇ１Ｇ２与ＢＣ的位置关系是( )Ａ.相交Ｂ.平行Ｃ.异面Ｄ.以上都有可能１－１答案 Ｂ解析 连接ＳＧ１并延长交ＡＢ于Ｍꎬ连接ＳＧ２并延长交ＡＣ于Ｎꎬ连接ＭＮ.11７０ ５年高考３年模拟Ｂ版(教师用书)由题意知ＳＭ为△ＳＡＢ的中线ꎬ且ＳＧ１＝２３ＳＭꎬＳＮ为△ＳＡＣ的中线ꎬ且ＳＧ２＝２３ＳＮꎬ∴在△ＳＭＮ中ꎬＳＧ１ＳＭ＝ＳＧ２ＳＮꎬ∴Ｇ１Ｇ２∥ＭＮ.易知ＭＮ是△ＡＢＣ的中位线ꎬ∴ＭＮ∥ＢＣꎬ因此可得Ｇ１Ｇ２∥ＢＣꎬ即直线Ｇ１Ｇ２与ＢＣ的位置关系是平行.故选Ｂ. １－２ 如图所示ꎬ空间四边形ＡＢＣＤ中ꎬＥꎬＦꎬＧ分别在ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ上ꎬ且满足ＡＥ∶ＥＢ＝ＣＦ∶ＦＢ＝２∶１ꎬＣＧ∶ＧＤ＝３∶１ꎬ过Ｅ、Ｆ、Ｇ的平面交ＡＤ于Ｈꎬ连接ＥＨꎬＨＧ.(１)求ＡＨ∶ＨＤꎻ(２)求证:ＥＨ、ＦＧ、ＢＤ三线共点.１－２解析 (１)∵ＡＥＥＢ＝ＣＦＦＢ＝２ꎬ∴ＥＦ∥ＡＣꎬ又ＥＦ⊄平面ＡＣＤꎬＡＣ⊂平面ＡＣＤꎬ∴ＥＦ∥平面ＡＣＤꎬ又∵ＥＦ⊂平面ＥＦＧＨꎬ平面ＥＦＧＨ∩平面ＡＣＤ＝ＧＨꎬ∴ＥＦ∥ＧＨ.而ＥＦ∥ＡＣꎬ∴ＡＣ∥ＧＨꎬ∴ＡＨＨＤ＝ＣＧＧＤ＝３.∴ＡＨ∶ＨＤ＝３∶１.(２)证明:∵ＥＦＡＣ＝１３ꎬＧＨＡＣ＝１４ꎬ∴ＥＦ≠ＧＨꎬ又∵ＥＦ∥ＧＨꎬ∴四边形ＥＦＧＨ为梯形ꎬ∴直线ＥＨꎬＦＧ必相交.设ＥＨ∩ＦＧ＝Ｐꎬ则Ｐ∈ＥＨꎬ而ＥＨ⊂面ＡＢＤꎬ∴Ｐ∈面ＡＢＤꎬ同理ꎬＰ∈面ＢＣＤꎬ而面ＡＢＤ∩面ＢＣＤ＝ＢＤꎬ∴Ｐ∈ＢＤ.∴ＥＨ、ＦＧ、ＢＤ三线共点.二、求异面直线所成角的方法 １.求异面直线所成的角的常用方法是平移法和向量法ꎬ本节主要复习平移法ꎬ平移法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移ꎬ利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移和补形平移.２.求异面直线所成角的三个步骤(１)作:利用定义转化为平面角ꎬ对于异面直线所成的角ꎬ可固定一条、平移一条ꎬ或两条同时平移到某个特殊的位置ꎬ顶点选在特殊的位置上.(２)证:证明作出的角(或其补角)为所求角.(３)求:把这个平面角置于一个三角形中ꎬ通过解三角形求空间角.注意 把两条异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时ꎬ容易忽视这个三角形的内角可能等于这两条异面直线所成的角ꎬ也可能等于其补角. (１)已知正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＥꎬＦ分别为ＢＢ１ꎬＣＣ１的中点ꎬ那么异面直线ＡＥ与Ｄ１Ｆ所成角的余弦值为( )Ａ.４５Ｂ.３５Ｃ.２３Ｄ.５７(２)如图ꎬ四边形ＡＢＣＤ和ＡＤＰＱ均为正方形ꎬ它们所在的平面互相垂直ꎬ则异面直线ＡＰ与ＢＤ所成的角的大小为 .解析 (１)连接ＤＦꎬ易知ＡＥ∥ＤＦꎬ∴∠Ｄ１ＦＤ(或其补角)为异面直线ＡＥ与Ｄ１Ｆ所成的角.设正方体的棱长为ａꎬ则Ｄ１Ｄ＝ａꎬＤＦ＝５２ａꎬＤ１Ｆ＝５２ａꎬ∴ｃｏｓ∠Ｄ１ＦＤ＝５２ａæèçöø÷２＋５２ａæèçöø÷２－ａ２２×５２ａ×５２ａ＝３５.选Ｂ.(２)如图ꎬ将原图补成正方体ＡＢＣＤ－ＱＧＨＰꎬ连接ＡＧꎬＧＰꎬ则ＧＰ∥ＢＤꎬ所以∠ＡＰＧ(或其补角)为异面直线ＡＰ与ＢＤ所成的角ꎬ在△ＡＧＰ中ꎬＡＧ＝ＧＰ＝ＡＰꎬ所以∠ＡＰＧ＝π３.故异面直线ＡＰ与ＢＤ所成的角的大小为π３.答案 (１)Ｂ (２)π３ ２－１ 直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中ꎬ∠ＢＣＡ＝９０°ꎬＭꎬＮ分别是Ａ１Ｂ１ꎬＡ１Ｃ１的中点ꎬＢＣ＝ＣＡ＝ＣＣ１ꎬ则ＢＭ与ＡＮ所成角的余弦值为 .22第八章 立体几何７１ ２－１答案 ３０１０解析 如图所示ꎬ取ＢＣ的中点Ｄꎬ连接ＭＮꎬＮＤꎬＡＤ.∵ＭꎬＮ分别是Ａ１Ｂ１ꎬＡ１Ｃ１的中点ꎬ∴ＭＮ＝１２Ｂ１Ｃ１ꎬＭＮ∥Ｂ１Ｃ１ꎬ又ＢＤ＝１２Ｂ１Ｃ１ꎬＢＤ∥Ｂ１Ｃ１ꎬ∴ＭＮ＝ＢＤꎬＭＮ∥ＢＤꎬ则四边形ＢＤＮＭ为平行四边形ꎬ因此ＮＤ∥ＢＭꎬ∴∠ＡＮＤ(或其补角)为异面直线ＢＭ与ＡＮ所成的角.设ＢＣ＝２ꎬ则ＢＭ＝ＮＤ＝６ꎬＡＮ＝５ꎬＡＤ＝５ꎬ在△ＡＤＮ中ꎬ由余弦定理得ｃｏｓ∠ＡＮＤ＝ＮＤ２＋ＡＮ２－ＡＤ２２ＮＤＡＮ＝３０１０.故异面直线ＢＭ与ＡＮ所成角的余弦值为３０１０.33
浙公网安备 33021202002483