清华大学大学物理第5章质点系力学基础与刚体运动

第5章 质点系力学基础 刚体的运动 ◆基本的动力学方程 ◆质点系复杂运动的处理：“分解” 质点系整体随质心的平动； 各质点相对于质心的运动 质心运动 质心参考系 5.1质心和质心运动方程 各质点相对于质心的运动。 质心参考系 般原理5.1 质心和质心运动方程 5.2 质心参考系 5 3 刚体的定轴转动 一般原理 5.3 刚体的定轴转动 5.4 旋进 5 5 两体问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 典型运动 1 5.5 两体问题 5.1 质心和质心运动方程(已讲） 一质心定义 NN ∑∑ rr 回顾： .质心定义 rmrm r i ii N i ii c ∑∑ == == 11 rr r质心的位矢 m m r N i i c ∑ 1 质 位 i=1 二.质心的速度 vm ii∑ rrd mt rv i ii c c ∑ ==r d d 三.质心运动定理（方程） rr 2ci amF r=∑ 外 5.2 质心（参考）系 质心系是固结于质心上的平动平动参考系（一般 原点选在质心上）。原点选在质心上）。 质心系不一定是惯性系（系统可能受外力）。 一. 质心系是特殊的参考系 ′ 无论是否是惯性系，在质心系中均满足下述规律！ 1. 是零动量系 0≡∑ ′ i iivm r 2. 0EEWW ninex ′−′=+′ , Ld rr ′ 33. 对质心 t LM cex d dr =′ 结论1：证明： 由质心系中的速度 r r rv v vi i c'= − ＋质心定义易证 结论2： r设C.M系为非惯性系,需考虑惯性力的功 }d){()d( , ∑ ′⋅−=∑ ′⋅ i ici i iIi ramrf rrrr rr∑ ′)d( c i ii arm ⋅∑ ′−= )d( 0d =⋅′−= arm rr （质心系中质心的位移＝0） 0d cc arm 即：质心系中惯性力的总功恒为零。 4结论3：惯性力对质心的力矩之和为零（课下证） 二. 系统的运动与质心运动之间的关系： ici vvv rrr ′+=运动学量： ii vmvm rr =∑ 对实验室参考系c i ii∑ iicicciii vmrvmrvmr rrrrrr ′×′+×=× ∑∑ 对动力 ii i ciccii i i ∑∑ 对 对同一点 C.M系，对质心 力 学 量 kck EmvE ′+= 22 1 点 C.M系，对质心量 kck 2 5 如动能 关系 =∑ 21 iivm [ ]∑ +′⋅+′ )()(2 1 cicii vvvvm rrrr 关系： ∑ 2 iii 22 11 = 0 [ ] 2 cicii 注意 从运动学的角度 运动可任意分解 ciicii vvmmvvm rr ⋅′∑++∑ ′= 22 2 1 2 1 注意：从运动学的角度，运动可任意分解 但动力学量关系和动力学方程却 只有选择相对质心的运动才能简化！ ◆质心运动方程 + 动量定理 ◆质心运动方程 + ++守恒定律角动量定理 功能原理 ＋＋质点系的 6构成解决质点系运动的基本动力学方程组 功能原理 例1 讨论两自由粒子碰撞的动能损失 解： kckkkckk EEEEEE ′∆+∆=∆→′+=Q “自由”→动量守恒 0.const =∆→=∴ ckc Ev EE ′∆∆ 0=′∆ kE 弹性碰撞两种kk EE ′∆=∆ 0kk EE ′=′∆ 完全非弹性碰撞 两种 极端 向粒子内部最大可利用动能——资用能 自由度转移 （粒子物理〕 等于质心系中系统初动能， 7 （粒子物理〕 0max kEE ′=∆ 设为两相同粒子碰撞：设为两相同粒子 撞 ①若其一运动，其一静止 0 210 2 1)2( 2 1 2 kckcc EvmEvv ==→= 资用能E /2 ②若以相等速率对撞： 0222 kckcc Ek0/2 000 0 kkck EEEE =′=→= 资用 全部动能可用对撞机的思路 ②若以相等速率对撞 000 kkck 资用 →对撞机的思路！ 按狭义相对论计算 二者相差很大按狭义相对论计算，二者相差很大。 如北京正负电子对撞机：对撞能量 2 × 2.2GeV 8相同资用能，单粒子的能量需1.9×104GeV 例2 如图，轻质杆长l，两端固结球； 球A以速度v0 ，⊥杆与杆端球碰； 碰后粘合 三球质量同为m mA 碰后粘合，三球质量同为m。 m v0 O轴 m C A m C水平光滑 求：碰后1)角速度;2)对杆的作用力 解：1) 对三球系统，碰撞过程只有轴处有外力 9 ) 所以角动量（对O）守恒。 初态：(l/2)mv0 末态： 222 2 2 lmllml ωω + ) 4 3( 2 ωml= 2222 vmllmv 23 0 2 0 =→→=∴ ωω 4 l342 =→→=∴ ω 2)碰后均匀转动。系统的质心作匀速圆周运动 lll质心的半径： 632 lllRc =−= 运动方程： 6 )3( 2 lmT ω= l mvT 9 2 20=′牛Ⅲ 10 6 l9轴力 例3 如图，例2中连球杆自由平放，碰撞为弹性。 其他条件不变 求碰后杆的运动其他条件不变，求碰后杆的运动。 B解 三球系统 碰撞前 A B v0 解：三球系统，碰撞前 后动能、动量、角动量 无约束 A（对任一定点）不变， 设碰后分别为：v1 ; v2c ω；有设碰后分别为：v1 ; v2c ，ω；有 210 1111 2 , l vmmvmv c⋅+= 22 2 2 1 2 0 22 122 2 1 2 1 2 1 )( lmmvmvmv c ω++= 选择与Α重合的定点，由角动量守恒： l 11)( 2 0 2 lvlm c ω−= 三个守恒式化简为： ,2 22 210 l vvv c=− 2 2 22 2 2 2 1 2 0 lvvv c ω+=− 22 lv c ω= 2 vvv 0 )0( v vv c 12 )0(,2 ==三式联立解得： l v 0=ω 12碰撞后球1静止；杆既平动又转动。 例3 如图，例2中连球杆自由平放，碰撞为弹性。 其他条件不变 求碰后杆的运动其他条件不变，求碰后杆的运动。 B解 A B v0 解： 先看C、A弹性碰撞 无约束 C A先看C、A弹性碰撞 质量相同， C ∴C静止，A速度v0 再考虑AB系统再考虑AB系统 质心速度v0/2，ω=v0/l 13 5.3 刚体定轴转动 刚体：特殊质点系 ——相对位置不变 轴转 平面平行运动运动：平动、定轴转动 平面平行运动、定点运动…分解一 运动描述. 运动描述 ω,αz 角速度ω r 角加速度 dω rr v Pr • 角加速度 td α = rrrrr 刚体 P r ? θ ⊥×=×= iii rrv rrrrr ωω rr 对圆心的位矢刚体 O× r ??? ⊥= iin ra ω ,2r ⊥ir —对圆心的位矢。 14定轴 ? ⊥= iit ra αia r 二. 转动方程 由质点系角动量定理 LM d rr =对O点 方程的得出： 由质点系角动量定理： t Mex d =对O点 讨论对转轴z的分量式 ω,αz θ ⊥iF r vi LM zd 讨论对转轴z的分量式：• θ i ri • miΔi t M zz d = 刚体 O× ri rrrrrv分解 r定轴 ⊥⊥ +→+→ iiziiizi rrrFFF rrr; iF r分解： iiiiizi FrFrM θsin,, ⊥⊥⊥⊥ =×= rr rziF r 与力沿转轴的分量无关 15⊥iF 与力沿转轴的分量无关！ rvmLL i iii i izz ∑ ∆=∑= ⊥ )( ii ω⋅∑∆= ⊥ )( 2 i iirm i ∑∆= ⊥ i iiz rmJ 2令 刚体对z轴的转动惯量 i JLM z dd ω==ω⋅= zz JL则 t J t M zz dd zz 所以刚体定轴转动时，质点系角动量定理沿所以刚体定轴转动时，质点系角动量定理沿 转轴的分量式可简化为： αzz JM = 转动方程 16是刚体定轴转动的基本动力学方程！ 三. 转动惯量（rotational inertia） 定义：连续质量分布 ∫= ⊥ m z mrJ d 2 m ⊥r md— 到转轴的距离 Jz反映转动的惯性； 取决于质量相对于转轴的分布取决于质量相对于转轴的分布。 计算：◆平行轴定理： 2mdJJ += m z 计算：◆平行轴定理： mdJJ zcz += , 以过质心的平行轴的转动惯量最小 Cd 17◆可叠加 四. 功和能 21∑转动动能 定轴转动时，功和动能可用角量表示。 12 2 1 ii i k vmE ∆= ∑转动动能： 2 2 1 ωJ= 力的功： θddd iziii MrFW =⋅= r r 力矩的功 cp mghE =0≡inW （课后自己导出） ◆定轴转动刚体与直线运动质点之间的对比： 1质点 21 2k r v a m p mv F ma E mv= = = 1 18刚体 212kJ L J M J E Jθ ω α ω α ω= = = 例1 如图，定滑轮看作匀质圆盘，轴光滑，无 相对滑动 桌面水平光滑 已知 R相对滑动，桌面水平光滑。已知 m1,m2, m3 ,R. 求：两侧绳拉力。 m1 m3T1 解：各物受力如图 对m m 由牛顿定律 3 R T2 对m1,m2，由牛顿定律 111 amT = 2T T2 2222 amTgm =− 1 m2 2对m3,由转动定理 α)( 2312 2 1 RmRTRT =− 无相对滑动 Raa α gm2无相对滑动： Raa α== 21 解得 21 gmmT 2)/( gmmmT + 19 解得 2321 21 1 /mmm gT ++= 2 2 321 321 2 / )/( mmm gmmmT ++ += 例2 如图示，均匀直杆质量为m，长为l，初始 水平静止 轴光滑 l水平静止。轴光滑， 4 lAO = 角时的角求 杆轴 角时的角求：杆摆到 θ 速度和对轴的作用力 轴 O θ·A B l , m 速度和对轴的作用力 解：杆摆动过程， 机械能守恒 · Cl /4 机械能守恒。 初态 令 ω 初态： ，01 =kE 01 =PE 令 末态 1 2 l末态： , 2 1 2 2 ωOk JE = θsin42 lmgEP −= 1 l 20则： 0sin42 1 2 =− θω lmgJO 由平行轴定理 2mdJJ CO += ， 71 l有 222 48 7) 4 ( 12 1 mllmmlJO =+= l g 7 62 θω sin=解得 l7 应用质心运动定理求轴力： Nn ˆ Nt mg 设轴对杆的力方向如图，有 Cnn maNmgl =+− θsinˆ方向： ˆ方向 g Ctt maNmg t =+θcosˆ方向： 2 ll 2144 2 lala ctcl αω == ,质心加速度： 转动定理 αθ Jmgl =sin 以上方程联立解得轴对杆的力： 转动定理 αθ oJmg sin4 sin13 θmgN = 以上方程联立解得轴对杆的力： ,sin 7 θmgNn = 4 θcosmgN t 7 4−= 解中“－”号表示Nt方向与所设方向相反。 由牛顿第三定律，杆对轴的力与上解等值反向。 22 例 转盘上站立一人，沿边缘行走一周。 求 转盘转过的角度 z求: 转盘转过的角度。 解：人＋转盘，L 守恒： m M z 解：人＋转盘， zL 守恒： 01 22 Ω+ MRR M R 0 2 22 =Ω+ MRmR ω Ω′相对运动 2mR Ω+′=ωω相对运动： 解得 ω′ + −=Ω 22 2 1 MRmR mR 2 ∫ Ω∆Θ t dt πω 222 mdtm t ′∫ 23 ∫ Ω=∆Θ dt 0 πω 2 22 0 Mm dt Mm +−=+−= ∫ *六. 刚体平面运动 随质心的平动 平面运动 随质心的平动 绕过质心的轴的转动绕过质心的轴的转动 例1如图，已知m1,m2, R,桌 2m R T面水平光滑，滑轮质量不计 求：圆盘角加速度 2 T求 圆 角加速度 1m解： 对m1,由牛Ⅱ amTgm 11 =− mg对m2，由质心运动方程 camT 2= 相对质心的转动方程 α)( 21 RmTR =相对质心的转动方程 α)( 22 RmTR = 运动学关系 R gm12 24 运动学关系： caRa 2+= α R g mm m 21 1 3 2 +=→α 例2 匀质球由静止沿斜面无滑动滚动（纯滚动） 求质心下降h时的 及斜面的摩擦力f求质心下降h时的vc 及斜面的摩擦力fr 解：无滑动 f 不作功 m ω vr f R 解：无滑动， rf 不作功 球(＋地) E守恒 cv θ 222 ) 5 2( 2 1 2 1 ωmRmvmgh c += mg522无滑动： Rvc ω= h10 系中 ghghvc 27 10 <= 由质心系中动能定理： 22 )2(1 Rfh θsin2 mgf代入ω值得 25 22 ) 5 ( 2sin ωθ mRfr = θsin7 mgfr =代入ω值得 结果讨论：静摩擦力在能量转换中的作用 把刚体边缘与斜面接触点的位移分解为： 随质心的平动＋绕质心的转动随质心的平动＋绕质心的转动 等值，反向 摩擦力对此作负功 摩擦力对此作正功 二者之和为零，摩擦力使减少的势能不是 全部转换为平动动能 而是部分地转换为全部转换为平动动能，而是部分地转换为 转动动能。 26 5.4 陀螺的旋进（进动） precession 质量呈轴对称分布的刚体（陀螺）： 一. 旋进现象 质量呈轴对称分布的刚体（陀螺）： 不转，倾斜放置 绕对称轴高速旋转不转，倾斜放置 · c · c mgO mgO 27重力矩使之倾倒。 不倒，其对称轴旋转 高速旋转的物体，其（自）旋转轴绕另一轴 旋转的现象称为旋进 二 旋进的产生 旋转的现象称为旋进 二. 旋进的产生 因为质量对称分布，陀螺自转： ω∥L L r‖ ωr‖对称轴 ×M dL ·θ c c 在对称轴上： LMgmrM rrrrr ⊥→×= mg θ O cLMgmrM coo ⊥→×= 由角动量定理， 。∥MtML rrr dd = mg LM rr⊥∵ LL rr⊥d∴ 28L r只变方向，不变大小 旋进产生 三. 旋进角速度 Ω dΘ= t Ω d = θi/dd LLvΘ如图 θsin/dd LL=Θ如图： 由角动量定理 dΘΩ L r d tML dd =v 由角动量定理： Lsinθ L Ld tML dd = MM Ω θ θωθ sinsin JLΩ ==∴O rrrθ亦即 之间的夹角。LΩ rr , 29LΩM rrr ×= 关于旋进方向： LΩM rrr ×= LΩM ①如图例： Ω × M r L r r l l L 21 mm < M r 1r r 2r r ②自转方向不变， ③ < 自旋与①反 m1 m2 M r m1> m2, ③ m1< m2,自旋与①反， Ω反向 L r× M Ω反向。 30 特征：不屈从于外力矩，保持对称轴的稳定。 * 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 讨论有近似！ 应用：炮弹出口时的旋转以维持飞行的稳定 *说明：讨论有近似！ Ω rrr += ωω总Q 只有 ω<<Ω 才有 ωrr JL =Ω+= ωω总Q 只有 ω<<Ω 才有 ωJL = Ω r 的影响：自转轴在旋进中出现微小的上下的的影响 自转轴在旋进中出现微小的 下的 周期性摆动——章动（nutation）。 四. 地球的旋进： 地球旋进的成因 1)地球的非球形（赤道半径较大）； 地球旋进的成因: 31 1) 地球的非球形（赤道半径较大）； 2) 地球自转平面与公转平面不重合。 旋进北天极 天轴 上述原因造成引力对 地球质心的力矩 旋进 旋进周期是25800年 天轴地球质心的力矩→旋进 旋进周期是25800年 黄道平面（公转）黄道平面（公转） 赤道平面 地轴 相关天文现象相关天文现象 11）岁差）岁差 春分点和秋分点的位置 旋进结果：赤道平面在太空的方位发生改变。 相关天文现象：相关天文现象：11）岁差）岁差：：春分点和秋分点的位置 沿黄道西行，导致一个回归年< 一个恒星年，即岁差。 22）北天极（地理北极的指向）的变动）北天极（地理北极的指向）的变动22）北天极（地理北极的指向）的变动）北天极（地理北极的指向）的变动： 四千多年前：北天极为天龙座α星， 三千多年前 北天极为小熊星座β星 32 三千多年前：北天极为小熊星座β星， 现在：小熊星座α星； 12000年后：将是织女星。 5.5 两体问题 两体问题：两体在相互作用下的相对运动 两体运动的动力学方程一. 两体运动的动力学方程 相对参考系为非惯性系，所以应考虑惯性力，有 212122 amamf rrr =−+ )( 21mm=µ令 相对参考系为非惯性系，所以应考虑惯性力，有 212122 21 1 1 , ff fa rrrv −==又： f r r 21 mm + µ令 21 1 1 , ffma又： 212 af rµ= µ 约化质量（reduced mass)µ：约化质量（reduced mass) 即：以µ代替惯性质量，相对运动方程 33 即：以µ代替惯性质量，相对运动方程 形式与惯性系中形式相同！ 二. 相关的动力学量 1. 相对运动的动能、角动量中的 惯性质量代之以µ惯性质量代之以µ 2.万有引力势能不变！2. 万有引力势能不变 （系统的引力势能与参考系无关） 例 双星（质量相同）相互作圆周运动， 测定T r 求m测定T,r12,求m。 22 vGm方程 22 rπ, 12 2 12 rr µ=方程： 2 2 122 GT rm π= 34 2 2 12 m v rT == µπ , 三. 应用 长半轴 普勒第 律 24π *行星运行周期的修正 长半轴 太阳参考系 开普勒第三定律 32 4 A GM T s π= 24πµ ——太阳参考系 严格：太阳和行星相互作用 为两体问题 修 32 4 A GMm T sx πµ=为两体问题，修正—— *氢原子能量： vr ek +− µ , 2 1 22 观察光谱的 pemm r =µ 2 观察光谱的 精细结构可 验证 35pe mm + =µ 验证。 *四. 从三体问题说开去 三体如何？ 新情况！ 例：两大星，一小星。在两大星的质心系中 考察小星的运动 非线性方程 数值解 初始条件：无初速； 考察小星的运动——非线性方程，数值解 初始条件：无初速； 初位置：A点附近 A 0.1 两大星间距离=1单位， 小星初始位置:A点正上方0 1 1 1小星初始位置:A点正上方0.1 单位的范围内的十个不同点 初位置仅相差初位置仅相差0 010 01单位单位 M1——初位置仅相差初位置仅相差0.010.01单位单位， t=1s，5s, 25s 质点的各对应 意 03850< m M1 M2 36 位置如下图示意 0385.0 21 <+ MM t =1s t =5s t =25s 1 5 A10 3 10 0.2U 2 3 1 200U 4 9 1 69长期行为“无序” 长期解表现出对初值的敏感！ 37 长期解对初值的敏感性 “蝴蝶效应” 确定性方程（牛顿方程） （长期）解的不确定 “差之毫厘，失之千里” 确定性方程（牛顿方程）→（长期）解的不确定 方程的非线性 混沌现象！ 线性方程的解：初值微小差异——解微小差异； 随时间线性增大→解的确定性！ 从牛顿力学的决定论 随时间线性增大 解的确定性 牛顿力学的内在随机性 38本章结束经典力学的发展；认识永无止境！