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基础班微积分第 6 讲 定积分的概念与计算
6．1 定积分的概念与性质
定积分基本概念、方法与主要知识点
* 概念：定积分作为和式的极限，积分中值定理，保序性与估值定理，定积分是一
个数。
* 方法：凑微分法，分部积分，回归法，变量替换，区间变换。
* 积分等式与不等式的
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
。
6.1.1 定义
定义 6.1 设函数 在有界闭区间 上有定义, 且有界, 若: )(xf ],[ ba
(1) 任意分割区间 : 取点列 : 记],[ ba nxxx ,,, 10 L 1−−=Δ iii xxx , ii xΔ= maxλ ;
(2) 任取 ],[ 1 iii xx −∈ξ ； （3）作和式 ； ∑
=
Δ=
n
i
iin xfS
1
)(ξ
(4) 若极限 存在, 且极限值与区间 分割的任意
性和
sxfS
n
i
iin =Δ= ∑
=→→ 100
)(limlim ξλλ ],[ ba
[ iii xx ,1−∈ ]ξ 取值的任意性无关, 则称函数 在区间 上可积, 该极限
值 称为函数 在区间 上的积分, 记作
)(xf ],[ ba
sxfS
n
i
iin =Δ= ∑
=→→ 100
)(limlim ξλλ )(xf ],[ ba
sSdxxfbaI n
b
af
=== →∫ 0lim)(),( λ
ba, 分别称为积分的下、上限, 称为被积函数,)(xf x称为积分中间变量, 定积分
的值与积分中间变量的符号无关，即 。 ∫∫ = baba dttfdxxf )()(
6.1.2 函数的可积性条件
定理 6.1 函数在有界闭区间 可积的必要条件:，是函数 在 上有界。 ],[ ba )(xf ],[ ba
定理 6.2 函数在有界闭区间 可积的充分条件(满足下列条件之一即可) ],[ ba
(1) 在区间 上单调有界; )(xf ],[ ba
(2) 在区间 上有界，且只有有限个间断点; )(xf ],[ ba
(3) 在区间 上连续. )(xf ],[ ba
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定积分定义在考研中的应用 利用积分和式求特定极限（见后述例
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
）
6.1.3 定积分的性质及常用结论
(1) ∫∫ −= abba dxxfdxxf )()(
(2) 对积分区间的可加性: 对被积
函数满足线性性:
∫∫∫ +=∈∀ bccaba dxxfdxxfdxxfRc )()()(,
[ ] ∫∫∫ +=+ bababa dxxgBdxxfAdxxBgxAf )()()()(
(3) 若 在 上可积, 则)(xf ],[ ba )(xf 在 上也可积, 且 ],[ ba
∫∫ ≤ baba dxxfdxxf )()(
（4）保序性（保号性）: 若可积函数 ],[,0)( baxxf ∈∀≥ , 则 。 0)( ≥∫ ba dxxf
若可积函数 满足 , 则 。 )(),( xgxf )()( xgxf ≥ ∫∫ ≥ baba dxxgdxxf )()(
特别，若非负连续函数 在 上不恒为零， 则 。 )(xf ],[ ba 0)( >∫ ba dxxf
推论：估值定理: 若可积函数 在 上满足)(xf ],[ ba Mxfm ≤≤ )( , 则
)()()( abMdxxfabm
b
a
−≤≤− ∫
进一步, 若函数 在 上非负可积, 则（称为比较性质） )(xg ],[ ba
∫∫∫ ≤≤ bababa dxxgMdxxgxfdxxgm )()()()(
(4) 积分中值定理: 若函数 在 上连续, 在 上取定号且可积,
则
)(xf ],[ ba )(xg ],[ ba
),,( ba∈∃ξ 使 ∫∫ = baba dxxgfdxxgxf )()()()( ξ
特别, 时, 1)( ≡xg ],,[ ba∈∃ξ 使 , 或 ))(()( abfdxxfb
a
−=∫ ξ
__________
],[ )()(
)(
xff
ab
dxxf
ba
b
a ==−
∫ ξ （平均值）
事实上还可进一步证明 ),,(0 ba∈∃ξ 使上述结论成立。
（8）若 在 上是可积的奇函数, 则 ; )(xf ],[ aa− 0)( =∫−aa dxxf
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若 在 上是可积的偶函数, 则 。 )(xf ],[ aa− ∫∫ =− aaa dxxfdxxf 0 )(2)(
（9）若 是可积的周期函数, 切周期为T ，则对任意是实数 必有 )(xf a
∫∫ =+ TTaa dxxfdxxf 0 )()(
（10）若连续函数 满足 ，则存在)(xf 0)( =∫ ba dxxf ),(0 bax ∈ 使得 。 0)( 0 =xf
（证明方法 1：由中值定理；证明方法 2：由连续函数的保号性）
（11）若非负连续函数 满足 ，则)(xf 0)( =∫ ba dxxf 0)(],,[ ≡∈∀ xfbax 。
（证明方法：由连续函数的保号性与积分的保号性，反证）
例 6．1 设 dxxI ∫= 201 )sin(sin
π
， dxxI ∫= 202 )cos(sin
π
，则 ( A ).
（A） 。 （B） 。（C）21 1 II << 21 1 II >> 21 II = 。 （D） . 121 >> II
【解】当 )
2
,0( π∈x ， ，且 为增函数，于是xx
dxxI ∫= 202 )cos(sin
π
1
2
0
1cos Idxx >=> ∫π 。
例 6．2 估计积分 的范围. ∫ −20 22 dxe xx
【解】 [ ]( ) [ ]( ) 12min,02max 22,022,0 −=−=− ∈∈ xxxx xx ，因此
22
2
0
02
0
22
0
11 2 =≤≤= ∫∫∫ −−− dxedxedxee xx
例 6．3 设 dxxxxM )1(ln 22
1
1
++= ∫− ， dxx
xx
N ∫− +
+= 1
1 2
3
1
， ∫− + −=
1
1 22
3
)1(
1 dx
x
xP ，
则(A) 。
(A) 。 (B) 。(C)NMP << PNM << NPM << 。 (D) MPN << 。
【解】由于M 为奇函数在对称区间的积分，故为 0；
0)12(212
1
2
1
0
1
0
2
2
2
>−=+=+= ∫ xx
dxN ， 0
)1(
12 22
1
0
<+−= ∫ dxxP
所以 。 NMP <<
6.2 牛顿—莱布尼兹公式与定积分的计算
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6.2．1 牛顿—莱布尼兹公式及其应用
定理 6.3 牛顿—莱布尼兹公式
若 是 上的连续函数, 为 在 上的一个原函数, 则存
在常数C , 使 ,
)(xf ],[ ba )(xF )(xf ],[ ba
CdttfxF
x
a
+= ∫ )()( ],[ bax∈∀ 或
b
a
b
a
xFaFbFCbFdxxf )()()()()(
Δ=−=−=∫ 上述公式称为牛顿—莱布尼兹公式.
特别还有
。 )()()( afbfdxxf
b
a
−=′∫
牛顿—莱布尼兹公式使得定积分的计算转化为求不定积分问题，或求原函数问
题。.
利用牛顿—莱布尼兹公式，我们可以通过不定积分求的定积分的值。一般可直
接用凑微分法、换元法和分部积分法计算定积分。
例 6．4 求 ∫ 。 −20 |1| dxx
【解】 ∫∫∫ −+−=− 211020 )1()1(|1| dxxdxxdxx
1
22
2
1
21
0
2
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −= xxxx
注：对于分段定义的函数，定积分计算应特别注意分段积分。
例 6．5 求 .sin1
0∫ −π dxx
【解】 ∫∫ −=− ππ 00 2cos2sin.sin1 dxxxdxx
∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −+⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −=
π
π
π
2
2
0 2
cos
2
sin
2
sin
2
cos dxxxdxxx .424 −=
例 6．6 设 , 求 。
⎩⎨
⎧
>+
≤−=
01
01
)(
xx
xx
xf ∫−11 )( dxxf
【解】 解法一 在 区间内有第一类间断点, 因此在)(xf ]1,1[− ]1,1[− 区间内不存
在原函数, 不能直接用牛顿—莱布尼兹公式. 利用对区间的可加性有
∫∫∫ −− += 100111 )()()( dxxfdxxfdxxf
在 内分别可以用牛顿—莱布尼兹公式, ]1,0[],0,1[−
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2
3
2
)(
0
1
20
1
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
−
−∫ xxdxxf ， 232)(
1
0
21
0
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=∫ xxdxxf
故 =0。 ∫−11 )( dxxf
解法二 是)(xf ]1,1[− 的奇函数, =0. ∫−11 )( dxxf
例 6．7 求 dx
x
xx∫− ++22 2cos1
cos)1(π
π 。
【解】 dx
x
xdx
x
xx ∫∫ +=++− 20 222 2 cos1
cos2
cos1
cos)1( ππ
π 12
12ln
2
1
sin2
)(sin2 2
0 2 −
+=−= ∫ dxxxd
π
6.2.2 变量替换法
第一换元法的基本思路（凑微分方法）: )()()( afbfdxxf
b
a
−=′∫
b
a
b
a
xfdxxxf ))(()())(( ϕϕϕ =′⋅′∫
第二换元法的基本思路:
β
α
β
α ϕϕϕ ))(()())(()( tFdtttfdxxf
b
a
=′⋅= ∫∫ 其中 要求 与)(xf )(tϕ′ 连续，
)(tx ϕ= 有反函数 ,且)(1 xt −= ϕ )(),( βϕαϕ == ba ， CxFdxxf +=∫ )()( 。
换元法的重要应用之一是区间变换：以改变积分区间为特定目的的变换：
∫= baf dxxfbaI )(),(
dttxtxfdxxf
b
a
)())(()(
1
0
′⇒ ∫∫ ：
令
ab
axt −
−= ，
dttxtxfdxxf
d
c
b
a
)())(()( ′⇒ ∫∫ ：
令 ccd
ab
axt +−−
−= )( ，
还有反号变换： xt −= ，倒数变换：
x
t 1= 。
广泛用于积分的合并与拆分。
例 6．8 求 ∫−− −
3
4 2 4x
dx 。
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【解】令 xu −= , ∫−− −
3
4 2 4x
dx = ∫ −
4
3 2 4u
du .
再令 , 则 , tu sec2= tdtdu sectan2=
当 时3=u
3
2arccos=t ,当 时4=u
3
π=t ,
=−∫
−
−
3
4 2 4x
dx ∫∫ =− 3 32arccos
4
3 2 tan2
sectan2
4
π
dt
t
tt
u
du
∫= 3
3
2arccos 2cos
cosπ dt
t
t ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ++−= 3 32arccos sinsin1
1
sin1
1
2
1 π td
tt
再令 （可直接利用凑微分法）, ty sin=
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ++−3 32arccos sinsin1
1
sin1
1
2
1 π td
tt
2
3
3
5
2
3
3
5 1
1ln
2
1
1
1
1
1
2
1
u
udy
yy −
+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++−= ∫
2ln)53ln()32ln( ++−+= 。
例 6．9 设 ( ) ( )∫=− 402 2cos π dxxfxxf ，求 ( )∫ 20
π
dxxf 。
【解】 记 ( ) Idxxf =∫ 20π ，再令 ux =2 ，则 dudx 21= ，
( ) =∫ 40 2π dxxf ( ) Iduuf 2121 20 =∫
π
。
对等式 ( ) ( )∫=− 402 2cos π dxxfxxf 两边取积分得到,
( ) IdxIdxxxf
42
]cos[ 2
0
2
0
2 πππ ==− ∫∫ .
即 IdxxI
4
cos2
0
2 ππ =− ∫ ，
故 dxxII ∫=− 20 2cos4
ππ
422
1 ππ =⋅= ,
因此 == ∫ dxxfI 20 )(
π
π
π
−4 。
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例 6.10 设 是 上的连续函数, 则（ D ）。 )(xf ],[ 10
(A) (B) , ∫∫ = ππ π 00 )(sin)(sin dxxfdxxxf ∫∫ = ππ π 00 )(sin2)(sin dxxfdxxxf
(C) ∫∫ = ππ π 00 )(sin2)(sin dxxfdxxxf (D) ∫∫ =
ππ π
00
)(sin
2
)(sin dxxfdxxxf
【解】 令 dtdxtx −=−= ,π ，
∫∫ −−= 00 )(sin)()(sin ππ π dttftdxxxf
， ∫∫ +−= ππ π 00 )(sin)(sin dttfdtttf
移项得知答案为 D。
6.2.3 分部积分法
设 与 在 连续， 为 在 上的一个原函数，则 )(xf )(xg ′ ],[ ba )(xF )(xf ],[ ba
∫∫ ′−= bababa dxxgxFxgxFdxxgxf )()()()()()(
例 6．11 求 ∫e
e
xdx1 ln .
【解】 ( )∫∫ −= e
e
e
e
e
e
xxdxxxdx 111 lnlnln e
dx
e
e
e
e
21
1 =−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−= ∫ 。
例 6．12 证明 ∫ 20 sin
π
xdxn ∫= 20 cos
π
xdxn ，并求 ∫= 20 sin
π
xdxJ nn 。
【证】令 tx −=
2
π ，
∫−= 0
2
cosπ tdtJ nn ∫= 20 cos
π
xdxn 。
∫∫ −== −22 0 10 )cos(sinsin
ππ
xxdxdxI nnn
))(1(
cossin)1(cossin
2
0
222
0
1 2
nn
nn
IIn
xdxxnxx
−−=
−+−=
−
−− ∫ ππ
2
1
−
−= nn In
nI ，（ ），初值：L,3,2=n 1,
2 10
== JJ π 。
注：上述结果称为积分的递推公式，常用递推公式有一步递推或二步递推格式，应
指出的是，以递推公式
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示积分结果，必须给出初值，一步递推格式需有一步初值，
二步递推格式需有二步初值，才能构成完备的计算格式。
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上述结果可归纳得到下述实用形式：
1
!)!12(
!)!2(,
2!)!2(
!)!12(
122 ⋅+=⋅
−= + n
nI
n
nI nn
π （ L,3,2,1=n ）。
例 6.13 =+−= ∫ dxxeeI xx20
5cossin
8
sinπ （ ） 。
(A)
4
π 。(B)
15
1 。(C)
8
π 。(D)
30
1 。
【解】 由对称性与积分概念，立即得知答案
15
1
3
2
5
4
8
1 =⋅⋅=I ，选(B).
例 6.14 已知 dt
t
eA
t∫ +=
1
0 1
，则 =+∫ dtte
t1
0 2)1(
．答案： Ae +−
2
1 。
【解】 因为 dt
t
eA
t∫ +=
1
0 1
，
所以 ∫∫ +++−=+
1
0
1
0
1
0 2 11)1(
dt
t
e
t
edt
t
e ttt
Ae +−=
2
1 。
例 6.15 设 为正整数, 计算 . n ∫ −10 2 )1( dxxx n
【解】（方法 1）
∫ −10 2 )1( dxxx n dxxxnn xx n
n ∫ ++ −+++−−=
1
0
1
1
0
12
)1(
1
2
1
)1(
dxx
nnnn
xx nn ∫ ++ −+++++ −−=
1
0
2
1
0
2
)1(
)2)(1(
2
)2)(1(
)1(
)3)(2)(1(
2
)3)(2)(1(
)1(2
1
0
3
+++=+++
−−=
+
nnnnnn
x n
（方法 2）令 dtdxtx −==− ,1 ，则有
∫ −10 2 )1( dxxx n 312211)1(
1
0
2
+++−+=−= ∫ nnndttt n
6.3 变限积分
6.3.1 变上限积分
设 在 上可积, 存在唯一的实数 与之对应, 因)(xf ],[ ba ],,[ bax∈∀ ∫ xa dttf )(
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此变上限积分 定义了一个函数, 记作 ，我们称其为变上
限积分。
∫ xa dttf )( ∫= xa dttfxF )()(
定理 6.4 (1) 若 在 上可积, 则变上限积分 定义的函
数在 上连续。
)(xf ],[ ba ∫= xa dttfxF )()(
],[ ba
注： 不一定是 在 上的原函数。 )(xF )(xf ],[ ba
(2) 若 在 上连续, 则变上限积分 定义的函数
在 上可导, 且
)(xf ],[ ba ∫= xa dttfxF )()(
],[ ba )()( xfdttf
dx
d x
a
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∫ 。（注意： 一定是 在 上
的一个原函数）。
)(xF )(xf ],[ ba
【证】（1） ，则 ， ],,[ bax∈∀ ∫= xa dttfxF )()( ∫ Δ+=Δ xxx dttfxF )()(
因为 在 上可积, 因此 在 上有界，即)(xf ],[ ba )(xf ],[ ba ],,[ bax∈∀ 存在
使得
0>M
Mxf ≤)( ， ，于是 ∫∫∫ Δ+Δ+ =−=Δ xxxxaxxa dttfdttfdttfxF )()()()(
xMdttfxF
xx
x
Δ≤≤Δ≤ ∫ Δ+ )()(0
由夹逼定理可得 ，因此 在 上连续; 0)(lim
0
=Δ→Δ xFx ∫= xa dttfxF )()( ],[ ba
(2) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∫ xa dttfdxd )(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −Δ= ∫∫
Δ+
→Δ
x
a
xx
ax
dttfdttf
x
)()(1lim
0 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Δ= ∫
Δ+
→Δ
xx
xx
dttf
x
)(1lim
0
∫ Δ+→Δ Δ=
xx
xx
dt
x
f )(lim
0
ξ
)()(lim
0
xff
x
== →Δ ξ
上式中ξ 为 x与 xx Δ+ 之间的一个数，（上述证明用到积分中值定理）。
例 6.16 设 ，其中 dttfxF
x∫= 0 )()( ⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤<−
≤≤−=
.20,2
,01,)(
2
2
xx
xexf
x
则 在 内[ D ]。 )(xF ]2,1[−
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(A)是 的原函数. (B)可导. )(xf
(C)不连续； (D) 连续但不可导。
【解】 是在)(xf ]2,1[− 上有第一类间断点的可积函数, 没有原函数。
注：变下限积分 有同样的性质。且∫ bx dttf )( )()( xfdttfdxd
b
x
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∫
6.3.2 复合变限积分 ∫ )( )( )(xx dttfβα
定理 6.5 (1) 若 在 上可积, )(xf ],[ ba )(),( xx βα 在 上连续，则复合变限积
分 是连续函数。
],[ ba
∫ )( )( )(xx dttfβα
(2) 若 在 上连续，)(xf ],[ ba )(),( xx βα 在 上可导,则复合变限积
分 是可导函数, 其导数为
],[ ba
∫ )( )( )(xx dttfβα
)())(()())(()(
)(
)(
xxfxxfdttf
dx
d x
x
ααβββα ′−′=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∫
6.3.3 变限积分的相关问题
既然变限积分定义了一个函数, 那么一元微分中对函数的所有运算，对变限积
分也同样可以进行。例如，我们可以处理下列问题：
变限积分定义的函数作为无穷小量阶的估计; 罗必达法则在变限积分定义的函
数极限问题中的应用。
变限积分定义的函数的单调性及极值问题;
变限积分定义的函数的泰勒展开;
变限积分定义的函数的积分问题.
关于原函数的一些重要结论
结论 1 连续奇函数之原函数必为偶函数。
结论 2 连续偶函数之原函数必为奇函数与常数之和，其中只有一个为奇函数（ ）。 0=C
结论 3 连续周期函数之原函数必为周期函数与线性数之和，且周期不变。
连续周期函数 之原函数为周期函数的充要条件是 )(xf
0)(
0
=∫T dxxf ，其中 为周期。 0>T
结论 4 有第一类间断点的函数没有原函数。
结论 5 有第二类间断点的函数可以有原函数。
结论 6 变限积分表示的函数不一定是原函数。
例 6.17 证明连续偶函数之原函数必为奇函数与常数之和。
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【证】记 ， ∫= xa dttfxF )()(
要证存在奇函数 使得)(xG CxGxF += )()(
其中 ， 为常数。 )()( xfxF =′ C
设 ，要证 满足 ∫= x dttfxG 0 )()( )(xG
， )()( xGxG −=−
显然 ，其中CxGxF += )()( )()( xfxf =− ，因此
)( xG − ∫−= x dttf0 )( ，令 ，于是得到 tu −=
∫ −−=− x udufxG 0 )()()(
∫−= x uduf0 )()( )(xG−= 。
例 6.18 设 是连续的周期为T 的函数, 证明 . )(xf ∫∫ =+ TaTa dxxfdxxf 0 )()(
【证】 证法一 因为 是连续函数, 将a作为变量, )(xf
0)()()( =−+=∫ + afaTfdxxfdad
aT
a
∫ +aTa dxxf )( 关于变量 为常数, 而当a 0=a 时,
Cdxxfdxxf
TaT
a
== ∫∫ + 0 )()( ,
因此 对任意的 均成立. Cdxxfdxxf
TaT
a
== ∫∫ + 0 )()( a
证法二
∫ +aTa dxxf )(
∫∫∫ +++= aTTTa dxxfdxxfdxxf )()()( 00
∫
∫∫∫
=
−++=
T
aT
a
dxxf
dxTxfdxxfdxxf
0
00
0
)(
)()()(
注：证法一 要求 是连续函数, 证法二仅要求 是可积函数. )(xf )(xf
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例 6.19 设 ，dttxf
x 2cos1
0
sin)( ∫ −= 65)(
65 xxxg += ，则当 时， 是
的（ ）。
0→x )(xf
)(xg
(A)低阶无穷小量。 (B)高阶无穷小量。(C)等价无穷小量。 (D)同阶但非等价无穷小量.
答案：(B).
例 6.20 设 ， ， 单调增加， ),0[)(),( +∞∈Cxgxf 0)( >xf )(xg
则
dttf
dttgtf
x x
x
)(
)()(
)(
0
0
∫
∫=ϕ [ ].
(A)在 上单调增加。 (B) 在),0[ +∞ ),0[ +∞ 上单调减少；
(C) 在 上单调增加，在 上单调减少。 )1,0[ + ),1[ +∞
(D) 在 上单调减少，在 上单调增加。 )1,0[ + ),1[ +∞
【解】由于 2
0
00
)(
)()()()()()(
)(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=′
∫
∫∫
dttf
dttgtfxfdttfxgxf
x
x
xx
ϕ
,0
)(
)]()()[()(
2
0
0 >
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
∫
∫
dttf
dttgxgtfxf
x
x
所以 )(xϕ 在 上单调增加, 答案：(A). ),0[ +∞
例 6.21 设 在 [ 上连续,证明函数 ,0)( >xf ]
]
ba, [ ]∫∫ −+= xbxa dttfdttfxF 1)()()(
在 [ 上有切仅有一个零点。 ba,
【证】 在,0)( >xf [ ]ba, 上连续,则 在)(xF [ ]ba, 上连续且可导.
0
)(
1)()( >+=′
xf
xfxF
)(xF 在 [ 上单调增. 又因为 ]ba,
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0)()(,0
)(
1)( >=<= ∫∫ baab dttfbFdttfaF
由连续函数零点定理可知, 在)(xF [ ]ba, 上有且仅有一个零点。
例 6.22 确定常数 的值，使 cba ,,
0
)1ln(
sinlim 30 ≠=+
−
∫→
c
dt
t
t
xax
x
b
x
【解】首先由分母极限为零，必有
0)1ln(lim
3
0
=+∫→ xbx dtt t 。于是 。 0=b
其次
∫ +
−
→ x
b
x
dt
t
t
xax
)1ln(
sinlim 30
)1ln(
)cos(lim
)1ln(
coslim 3030 x
xax
x
x
xa
xx +
−=+
−= →→ 0
coslim 20 ≠=
−= → cx
xa
x
，
必有
2
1,1 =⇒= ca 。
例 6.23 设 在 上 可 导 ，)(xf ),0[ ∞+ 0)0( =f ， 其 反 函 数 为 ，
，求 。
)(xg
xxf exdttg 2
)(
0
)(∫ = )(xf
【解】由等式 两侧关于 ∫ =)(0 2)(xf xexduug
x求导数，注意到 ，得到 xxfg =))((
,2)( 2 xx exxexfx +=′ 限制 0≠x ，则有 ， xx xeexf +=′ 2)(
积分得到 ，由C)1()( ++= xexxf 0)0( =f 及
)0(1)(lim
0
fCxf
x
=+=+→ ，解出 1−=C ，于是 。 1-)1()(
xexxf +=
例 6.24 设 为连续非负函数，对所有大于 1 的常数 b，由 及
围成区域的面积为
)(xf bx ≤≤1
)(0 xfy ≤≤ 212 −+b ，求 。 )(xf
【解】由 21)( 2
1
−+=∫ bdxxfb 得 21)( 21 −+=∫ xdttfx ,
将上式两边对 x求导得
1
)(
2 += x
xxf 。
例 6.25 已知 在 上为偶函数，且 ，)(xf ),( +∞−∞ dttfttxF x∫ −⋅−= 0 )()2(sin)(
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则 是[ A ]. )(xF
(A)偶函数 (B)奇函数 (C)周期函数 (D)以上三种函数都不是
6．4 含有参数的积分
积分号内含有参数的问题是一类重要题型，这类问题往往需要对参数求导数。
典型方法有两个：
（1）当参数以因子形式出现在积分号内时，则将含参数的因子移到积分号外面，
（2）如无法将含参数的部分移到积分号外面，则引入变量替换（区间变换）。
例 6.26 =−∫ x dttxdxd 0 2)2cos( 。
【解】 令 ，则 dudtutx −==− ,2
∫∫ =−= xxxx duuduuxI 2 22 2 coscos)( 。 =′ )(xI 22 cos)2cos(2 xx − 。
例 6.27 已知连续函数 满足等式 ，求 的表达式。 )(xf 210 )(2)( xxfdttxf −=∫ )(xf
【解】 因为首先处理参数，令 dudtutx == , ，于是 ∫∫ = x duxufdttxf 0
1
0
1)()( ，
， 30 )(2)( xxxfduuf
x −=∫
两边关于 x求导并整理得 。 23)()(2 xxfxfx =+′
当 时，解0≠x xxf
x
xf
2
3)(
2
1)( =+′ 得 )
5
3(1)( 2 xxC
x
xf += ，
由于 ，且 ，所以0)0( =f )0()(lim
0
fxf
x
=→ 0=C ，即
2
5
3)( xxf = 。
例 6.27 设 为已知可导奇函数， 为 的反函数， )(xf )(xg )(xf
则 =−∫ − )( )(xfxx dtxtxgdxd ( A ).
（A） .（B） . )()( 2)(
0
xfxdttg
xf ′+∫ − )()( 2)(0 xfxdttgxf ′−∫ −
（C） . （D） )()()(
0
xfxdttg
xf ′+∫ − )()()(0 xfxdttgxf ′−∫ −
【解】记
∫∫ −− −=−= )()( )()()( xfxxxfxx dtxtgxdtxtxgxI 对上式中的积分令
dudtuxt ==− , ，则
∫ −= )(0 )()( xf duugxxI ))())((()()( )(0 xfxfxgduugxI xf ′−−+=′ ∫ −
))())((()(
)(
0
xfxfxgduug
xf ′+= ∫ − =(A) )()( 2)(0 xfxduugxf ′+= ∫ −
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例 6.28 =+∫+∞→
x
x tx
dt
e
t2
1
lnlim 。
【解】答案： 。0 0>∃X ，使当 时， 0>> Xx
由初等函数（ ）性质，xex ln, 0>∃X ，使当 时，有 0>> Xx
x
x
x x
x
x t e
xxdt
e
xdt
e
t
+=+<+< ∫∫ 1 2ln1 2ln1ln0
22 ，
应用夹逼定理得到 0
1
lnlim
2 =+∫+∞→
x
x tx
dt
e
t 。
6．5 积分综合例题
例 6.29 已知连续曲线 关于点)(xfy = )0()0,( ≠aa 对称,则
∫− −∈∀ cc dxxafRc )(, =（ D ）。
（A） . (B) . (C) . (D) . dxxafc∫ −0 )2(2 dxxafc∫− −0 )2(2 dxxcfa∫ −0 )(2 0
【解】由几何意义可得知选(D).曲线 )(xfy = 关于点 )0()0,( ≠aa 对称。
以下是几个用到区间变换的例题。
例 6.30 已知 上的连续曲线],[ ba )(xfy = 关于直线
2
bax += 对称,
证明 ∫∫ += 2 )(2)( baaba dxxfdxxf .
【证】 ∫∫∫ ++ += baba ba
ba
dxxfdxxfdxxf
2
2 )()()( ，
由于 关于直线)(xfy =
2
bax += 对称，对后一积分有
∫ +b ba dxxf
2
)( ∫ + −+= b ba dxxbaf
2
)( ，
令 ，则 ，于是得到 xbat −+= dtdx −=
∫∫ ++ −=−+ a bab ba dttfdxxbaf
22
)()( ∫ += 2baa dttf )( ，
所以 ∫∫ += 2 )(2)( baaba dxxfdxxf 。
例 6.31 求 的最大最小值。 dtetxf
x t∫ −−= 20 )2()(
【解】 为偶函数，只需求)(xf ),[ +∞0 上的最大最小值。
令 2,0)2(2)( 22 ==−=′ − xexxxf x 为唯一驻点，且
当 20 << x 时， ,0)( >′ xf
当 2>x 时， 因此,0)( <′ xf 2=x 为极大值点，即最大值点。
最大值为 22
0
1)2()2( −− +=−= ∫ edtetf t 。
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=+∞→ )(lim xfx dtet
t∫ ∞+ −−0 )2( 112)2( 00 =−=+−−= +∞−+∞− tt eet
又 ，因此 为最小值点，最小值为 0。 0)0( =f 0=x
例 6.32 设 在 上 可 微 ，)(xf ],[ ba )(xf ′ 非 减 ， 证 明
)]()([
2
)( bfafabdxxf
b
a
+−≤∫ 。
【证】 移项造辅助函数， 设],[ bax∈∀ ∫−+−= xa dttfxfafaxxF )()]()([2)( ,
0)( =aF ,则只须研究 的单调性,证明)(xF 0)()( =≥ aFxF 。
)()(
2
)]()([
2
1)( xfxfaxxfafxF −′−++=′ )(
2
)]()([
2
1 xfaxxfaf ′−+−=
)(
2
)(
2
)( xfaxfxa ′−+′−= ξ
)]()([
2
ξfxfax ′−′−= , ),( xa∈ξ 。
)(xf ′ 非减, 又 , 0)( ≥′ xF 0)()( =≥ aFxF 。
例 6.33 证明 ∫ ∫ +≤+2 20 0 22 1cos1sin
π π
dx
x
xdx
x
x .
【证】 （方法 1）
∫∫ +−++−= 244 20 2 1 cossin1 cossin
π
π
π
dx
x
xxdx
x
xxI ，
对上述第二个积分令 xt −=
2
π ，则有
∫ +−= 20 21 cossin
π
dx
x
xxI
∫∫ −+
−++
−= 4
0 2
4
0 2
)
2
(1
sincos
1
cossin ππ
π dtt
ttdx
x
xx
∫ −+−+−=
4
0 2
2 ]
)
2
(1
1
1
1)[cos(sin
π
π dttt
tt
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0
)
2
(1)1(
)
4
)(cos(sin
4
0 22
2
<
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −++
−−
= ∫ π π
ππ
dt
tt
ttt
，
（方法 2）
∫ +−= 20 21 cossin
π
dx
x
xxI ∫∫ +−++−= 24 240 2 1
cossin
1
cossin π
π
π
dx
x
xxdx
x
xxI
∫ −+= 4021 )cos(sin1
1 π
ξ dxxx ∫ −++ 2422 )cos(sin1
1 π
πξ dxxx
其中 )
2
,
4
(),
4
,0( 21
ππξπξ ∈∈ ，对上述第二个积分令 xt −=
2
π ，则有
∫ −+−+= 402221 )cos(sin)1
1
1
1(
π
ξξ dxxxI
0)21)(
1
1
1
1( 2
2
2
1
<−+−+= ξξ
例 6.34 方程 01
0
2
cos0
2 2 =++ ∫∫ −x tx dtedtt π 的根的个数为 (B) 。
(A)0． (B)1。 (C)2。 (D)3。
【 解 】 设 dtedttxf tx
x 20
2
cos
2
0
1)( −∫∫ ++= π ， 有 ，0)0( 01 2 <= ∫ − dtef t
01)1(
1
0
2 >+= ∫ dttf ，所以 )1,0(∈∃ξ ，使 0)( =ξf ；
又 0
2
sin
2
1)( 2
cos2
2
>⋅++=′ −
x
exxxf
πππ ，所以有且仅有一个根。
例 6.35 设 , 上连续，在内 可导，且满足 1>k )(xf 在 ]1,0[ )1,0(
0)()1(
1
0
1 == ∫ − dxxfxekf k x ,
证明至少存在一点 )1,0(∈ξ ，使得 。 )()1()( 1 ξξξ ff −−=′
【证】由积分中值定理得： ，)()1( 111 ξξ ξ fef −= )1,0(1 k∈ξ ，
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设 ，则)()( 1 xfxex x−=ϕ )(xϕ 在 ]1,[ 1ξ 上连续，在 )1,( 1ξ 内可导，
且 )1()1()( 1 f==ϕξϕ ，因此 存在 )1,0()1,( 1 ⊂∈ ξξ 使得
0)()()()( 111 =′+−=′ −−− ξξξξξξϕ ξξξ fefefe ， 01 ≠−ξe
于是 0)()()( =′+− ξξξξξ fff ，所以 。 )()1()( 1 ξξξ ff −−=′
例 6.36 设 ( ) ∫ += 2 ,sinπxx dttxf
（1）证明 是以( )xf π 为周期的周期函数；（2）求 ( )xf 的值域。
【解】 (1) ( ) ∫ ++=+ πππ 2
3
,sin
x
x
dttxf 设 π+= ut ，则有
( ) ∫ + +=+ 2 )sin(π ππ xx duuxf ∫ + == 2 )(sin
πx
x
xfduu
故 是以( )xf π 为周期的周期函数。
（2）因为 xsin 在 ( )+∞∞− , 上连续，注意到 ( )xf 的周期为π ，故只需在 [ ]π,0 上
讨论其值域.。因为 ( ) )sin()cos()sin()
2
sin( xxxxxf −=−+=′ π
令 ，得( ) 0=′ xf ,
4
3,
4 21
ππ == xx 且 ∫ ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 4
3
4
2sin
4
π
π
π tdtf ，
∫ ∫∫ −=−==⎟⎠⎞⎜⎝⎛
π
π
π
π
π
π
π
4
3
4
5
4
5
4
3 ,22sinsinsin4
3 tdttdtdttf
又 ( ) ( ) ( )∫ ∫ =−=== 20 2
3
,1sin,1sin0
π π
ππ dttftdtf 因而 ( )xf 的最小值是 22− ，
最大值是 2 ，故 ( )xf 的值域是 [ ].2,22 − 。
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