第四节函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性定义一般地，图像关于原点对称的函数叫做奇函数，如果函数是奇函数，则一定满足；图像关于y轴对称的函数叫做偶函数，如果f(x)是偶函数，则一定满足，当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性.基础梳理f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)2.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于对称.（2）若奇函数的定义域包含数0,则f(0)=.(3)在公共定义域内，两个奇函数之积（商）为函数；两个偶函数之积（商）为函数；一奇一偶函数之积（商）为函数.（取商时分母不为零）奇原点0偶偶（4）奇函数在关于原点对称区间上的单调性，偶函数在关于原点对称区间上的单调性. 相反一致3.周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在,使得当x取时，都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数.定义域内每一个值一个非零常数Tf(x＋T)＝f(x)4.求函数周期的几个常用结论f(x+a)=-f(x)函数f(x)的周期T=2a.f(x+a)=函数f(x)的周期T=2a.f(x+a)=f(x-a)函数f(x)的周期T=2a.同时要注意与下列结论的区别:f(x+a)=f(-x)函数f(x)的图象的对称轴x=;f(x+a)=-f(-x)函数f(x)的图象的对称中心为.(教材改编题)下面四个结论中，正确命题的个数是( )①偶函数的图象一定与y轴相交；②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)＝0；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．A.1B.2C.3D.4基础达标A 解析：①错误，如函数f(x)＝是偶函数，但其图象与y轴没有交点；②错误，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④错误，既是奇函数又是偶函数的函数也可以为f(x)＝0，x∈(－a，a)．2.(教材改编题)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则( )A.a＝，b＝0B.a＝－1，b＝0C.a＝1，b＝0D.a＝3，b＝0A 解析：由f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0.又∵定义域为[a－1,2a]，∴(a－1)＋2a＝0，∴a＝.3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的
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达式是( )A.y＝x(x－2)B.y＝x(|x|＋2)C.y＝|x|(x－2)D.y＝x(|x|－2)D 解析：当x≥0时，f(x)＝x2－2x.∵f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，－x>0，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)，∴f(x)＝即f(x)＝x(|x|－2)．4.函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )A.3B.0C.－1D.－2∵f(x)－1＝x3＋sinx为奇函数，又f(a)＝2，∴f(a)－1＝1，∴f(－a)－1＝－1，即f(－a)＝0.B 解析：5.设f(x)(x∈R)是以3为周期的奇函数，且f(1)＞1，f(2)＝a，则( )A.a＞2B.a＜－2C.a＞1D.a＜－1∵f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)＝a，∴f(1)＝－a，又∵f(1)＞1，∴－a＞1.∴a＜－1，故选D.D 解析：经典例题题型一 判断函数的奇偶性【例1】 判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)+；解：(1)由，得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，∴f(x)为非奇非偶函数．(2)由⇒x2＝1⇒x＝±1，∴f(x)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．变式1－1 判断函数f(x)＝log2(x＋)的奇偶性．∵＞|x|，∴＋x＞0，∴函数的定义域为R.又∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋]＋log2(x＋)＝log21＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．解析：题型二 奇偶性的应用【例2】(1)已知函数f(x)＝(a，b，c∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)<3，求a，b，c的值；(2)已知偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(3x－1)＞f(2x)，求x的取值范围．解：(1)由f(－x)＝－f(x)，得－bx＋c＝－(bx＋c)，∴c＝0.又f(1)＝2，得a＋1＝2b，而f(2)<3，得，解得－1
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