一轮复习讲义函数的奇偶性与周期性忆一忆知识要点相同相反奇函数忆一忆知识要点偶函数奇函数函数奇偶性的判断函数的单调性与奇偶性函数的奇偶性与周期性2.5等价转换要规答题
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1.奇函数、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有_______________，那么函数f(x)就叫做偶函数.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有_______________，那么函数f(x)就叫做奇函数.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)忆一忆知识要点定义法利用性质2.函数奇偶性的判定图象法:画出函数图象①考查函数定义域是否关于原点对称；②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；③作出结论.忆一忆知识要点一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.3.性质:奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(2)在定义域的关于原点对称的公共区间内奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶.偶×偶=偶；奇×奇=偶；偶×奇=奇.(1)奇函数、偶函数的图象特点(3)奇偶性与单调性的关系（1）设函数f(x)的定义域关于原点对称,判断下列函数的奇偶性：4.任意一个定义域关于原点对称的函数,总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和.5.对于奇函数f(x),若x能取到零,则f(0)=__.06.若f(x)为偶函数，则忆一忆知识要点-8∴f(x)既是偶函数,又是奇函数.解:函数的定义域为{-1,1},例1.判断下列函数的奇偶性(2)f(x)=|x+1|-|x-1|所以函数f(x)为奇函数.∴定义域为[-1,0)∪(0,1].即f(-x)=-f(x).所以函数f(x)为奇函数.点评:判断函数是否具有奇偶性,先看定义域是否关于原点对称,其次要对解析式进行化简.例2.定义在[-1,1]上的函数f(x)是奇函数,并且在[-1,1]上f(x)是增函数,求满足条件f(1-a)+f(1-a2)≤0的a的取值范围.解:由f(1-a)+f(1-a2)≤0,得∵f(x)是奇函数,∵f(x)在[-1,1]上是增函数,故a的取值范围为例3定义在［－2,2］上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)单调递减,若f(1-m)＜f(m)成立,求m的取值范围．例4若函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间（-∞，0]上是减函数，又f(2a-1)＞f(3-a),则a的取值范围是______________.例5已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2－2x,求当x＜0时,f(x)的解析式,并画出此函数f(x)的图象.解:∵当x≥0时,f(x)=x2－2x,∴当x＜0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,即－f(x)=(x2+2x),∴f(x)=－x2－2x.又f(x)是奇函数,∴f(-x)=－f(x).已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x＞0时,f(x)=x2+x-1,求函数f(x)的表达式．已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数，x∈[0,3]上的图象如图所示，则不等式的解集是_______________.f(x)是R上偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,f(0.5)=0,则不等式的解集为__________.【1】①③
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