2020版高考数学第五章数列第1节数列的概念及简单表示法讲义理(含解析)新人教A版5239

2020版高考数学第五章数列第1节数列的看法及简单表示法讲义理(含分析)新人教A版52392020版高考数学第五章数列第1节数列的看法及简单表示法讲义理(含分析)新人教A版5239PAGE/NUMPAGES2020版高考数学第五章数列第1节数列的看法及简单表示法讲义理(含分析)新人教A版5239第1节数列的看法及简单表示法考试要求1.认识数列的看法和几种简单的表示方法(列表、图象、通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 )；2.认识数列是自变量为正整数的一类特别函数.知识梳理数列的定义依据必定序次摆列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的分类分类 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 种类满足条件有穷数列项数有限项数无量数列项数无穷递加数列an＋1＞an项与项递减数列an＋1＜an此中n∈N*间的大常数列n＋1＝naa小关系从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小摇动数列于它的前一项的数列数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和分析法.数列的通项公式(1)通项公式：假如数列{an}的第n项an与序号n之间的关系能够用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.递推公式：假如已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系能够用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.[微点提示]S1，n＝1，1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝Sn－Sn－1，n≥2.2.数列是按必定“序次”摆列的一列数，一个数列不但与构成它的“数”相关，并且还与这些“数”的摆列序次相关.易混项与项数的看法，数列的项是指数列中某一确立的数，而项数是指数列的项对应的地点序号.基础自测判断以下结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)同样的一组数按不一样序次摆列时都表示同一个数列.()(2)1，1，1，1，，不可以构成一个数列.()(3)任何一个数列不是递加数列，就是递减数列.()(4)假如数列{an}的前n项和为Sn，则对随意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()分析(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不一样的数列.(2)数列中的数是能够重复的，能够构成数列.(3)数列能够是常数列或摇动数列. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 (1)×(2)×(3)×(4)√2.(必修5P33A4改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋（－1）n(n≥2)，则a5等于()an－13582A.2B.3C.5D.3（－1）2（－1）31分析a2＝1＋a1＝2，a3＝1＋a2＝2，4＝1＋（－1）45＝1＋（－1）5＝3，＝2.aa3aa43答案D3.(必修5P33A5改编)依据下边的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.分析由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，，概括an＝5n－4.答案5n－44.(2019·山东省实验中学摸底)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，Sn为其前n项和，则S5的值为()A.57B.61C.62D.63分析由条件可得a2＝21＋1＝3，3＝22＋1＝7，4＝23＋1＝15，5＝24＋1＝31，所以aaaaaaaS5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋3＋7＋15＋31＝57.答案A5.(2018·北京旭日区月考)数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，的一个通项公式an等于()（－1）n＋1B.cosnπA.22C.cosn＋1n＋22πD.cos2π分析令＝1，2，3，，逐个考证四个选项，易得D正确.n答案Dnnnn4a（4－1）6.(2019·天津河东区一模)设数列{a}的前n项和为S，且S＝1，若a＝32，则31＝________.a分析1（4n－1），a＝32，则a＝S－S＝32.∵S＝na34443255a16311∴3a－3＝32，∴a1＝2.答案12考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】(1)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此概括该数列的通项不行能是()A.n＝(－1)n－1＋1B.n＝2，n为奇数，aa0，n为偶数nπD.an＝cos(n－1)π＋1C.an＝2sin2115132961(2)已知数列{an}为，，－，，－，，，则数列{an}的一个通项公式是________.248163264nπ分析(1)对n＝1，2，3，4进行考证，an＝2sin2不合题意.(2)各项的分母分别为21，22，23，24，，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，2－3且第1项可变成－2，21－322－323－324－3故原数列可变成－21，22，－23，24，，故其通项公式能够为an＝(－1)n2n－3·n.2答案(1)C(2)an＝(－1)n2n－3·2n规律方法由前几项概括数列通项的常用方法及详细策略常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、概括、转变(转变成特别数列)、联想(联想常有的数列)等方法.详细策略：①分式中分子、分母的特色；②相邻项的变化特色；③拆项后的特色；④各项的符号特色和绝对值特色；⑤化异为同，对于分式还能够考虑对分子、分母各个击破，或找寻分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的状况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*办理.【训练1】写出以下各数列的一个通项公式：(1)－1111，，－，，；1×22×33×44×519252，2，2，8，2，；(3)5，55，555，5555，.解(1)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是n1*a＝(－1)×n（n＋1），n∈N.n(2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都一致成分数再观察.即1，4，2291625nn22，2，2，，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a＝2.将原数列改写为59×9，59×99，59×999，，易知数列9，99，999，的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为n5na＝9(10－1).考点二由an与Sn的关系求通项易错警告【例2】(1)(2019·广州质检)已知n为数列{n}的前n项和，且log2(n＋1)＝＋1，则数SaSn列{an}的通项公式为________________.(2)(2018·全国Ⅰ卷)记S为数列{a}的前n项和.若S＝2a＋1，则S6＝________.nnnn分析(1)由log(S＋1)＝n＋1，得S＋1＝2n＋1，2nn当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{a}的通项公式为a＝3，n＝1，2n，n≥2.nn由Sn＝2an＋1，得a1＝2a1＋1，所以a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，得an＝2an－1.∴数列{an}是首项为－1，公比为2的等比数列.∴S6＝a1（1－q6）＝－（1－26）＝－63.1－q1－23，n＝1答案(1)an＝2n，n≥2(2)－63S1，n＝1，规律方法数列的通项an与前n项和n的关系是an＝①当＝1时，1若适Snann－1S－S，n≥2.合Sn－Sn－1，则n＝1的状况可并入n≥2时的通项an；②当n＝1时，a1若不合适Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示.易错警告在利用数列的前n项和求通项时，常常简单忽视先求出1，而是直接把数列的通a项公式写成an＝n－n－1的形式，但它只合用于≥2的情况.比方例2第(1)题易错误求出SSnnan＝2(n∈N*).【训练2】(1)nn2nn已知数列{a}的前n项和S＝2n－3n，则数列{a}的通项公式a＝________.nnnn(2)已知数列{a}的前n项和S＝3＋1，则数列的通项公式a＝________.分析(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，因为a1也合适上式，∴an＝4n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，当≥2时，n＝n－nn－1n－1n－1＝3＋1－3－1＝2·3.naSS明显当n＝1时，不满足上式.∴an＝4，n＝1，n－12·3，≥2.n答案(1)4n－5(2)4，n＝1，n－12·3，≥2n考点三由数列的递推关系求通项易错警告【例3】(1)在数列{n}中，1＝2，n＋1＝n＋ln1＋1，则n等于()aaaanaA.2＋lnnB.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnnD.1＋n＋lnn(2)若a1＝1，n－1＝(n＋1)an(≥2)，则数列{n}的通项公式an＝________.nana若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.n1n＋12ann(4)若数列{a}满足a＝1，a＝an＋2，则a＝________.分析(1)因为an＋1－an＝lnn＋1＝ln(n＋1)－lnn，n所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，4－3＝ln4－ln3，aan－n－1＝lnn－ln(n－1)(≥2).aan把以上各式分别相加得an－1＝ln－ln1，an则an＝2＋lnn，且a1＝2也合适，所以an＝2＋lnn(n∈N*).ann(2)由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，得an－1＝n＋1(n≥2).nanaaaa21所以a＝·n－1·n－23aaa··a·a·a21n－1n－2n－3n－1n－2322n＝n＋1·n·n－1··4·3·1＝n＋1，2又a1也满足上式，所以an＝n＋1.由an＋1＝2an＋3，得an＋1＋3＝2(an＋3).ba＋3令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且n＋1n＋1＝＝2.bnan＋3所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列.bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.(4)因为n＋1＝2an，1＝1，所以n≠0，aa＋2aan所以1＝1＋1，即1－1＝1.a＋1an2a＋1an2nn1又a1＝1，则＝1，a111所以an是以1为首项，2为公差的等差数列.111n1n＋1所以＝＋(－1)×＝＋＝.aan2222n12所以an＝n＋1.2n12答案(1)A(2)n＋1(3)2－3(4)n＋1规律方法由数列的递推关系求通项公式的常用方法已知a1，且an－an1＝f(n)，可用“累加法”求an.an(2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an.an1(3)已知1，且an1＝n＋，则an1＋＝(n＋)(此中k可用待定系数法确立)，可转变aqabkqak为{an＋k}为等比数列.Aan形如an1＝Ban＋C(A，B，C为常数)的数列，可经过两边同时取倒数的方法结构新数列求解.易错警告本例(1)，(2)中常有的错误是忽视考证1能否合适所求式.a【训练3】(1)(2019·山东、湖北部分要点中学联考)已知数列{a}的前n项和为S，若ann12，an1＝an＋2n1＋1，则an＝________.若a1＝1，an1＝2nan，则通项公式an＝________.分析(1)a1＝2，an1＝an＋2n1＋1?an1－an＝2n1＋1?an＝(an－an1)＋(an1－an2)＋＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，n2n3则a＝2＋2＋＋2＋1＋n－1＋an11－2n1n1＝1－2＋n－1＋2＝2＋n.由an1＝2nan，得an＝2n1(n≥2)，an1所以an＝ann12·a··a·a1a1a2a1nnn1n2123(n1)n（n－1）＝2＝22.·2··2·1＝2n（n－1）又a＝1合适上式，故a＝22.1nn1n（n－1）答案(1)2(2)22＋n考点四数列的性质【例4】(1)数列{n}的通项an＝2n，则数列{an}中的最大项是()an＋90110A.310B.19C.19D.6012an，0≤an≤2，3(2)数列{an}满足an＋1＝1a1＝5，则数列的第2019项为________.2an－1，20)，运用基本不等式得f(x)≥290，当且仅当x＝310时等111*号建立.因为an＝90，所以90≤290，因为n∈N，不难发现当n＝9或n＝10时，ann＋nn＋n119最大.3112由已知可得，a2＝2×－1＝，a3＝2×＝，55554＝2×2＝4，5＝2×4－1＝3，a55a55∴{an}为周期数列且T＝4，a2019＝a504×4＋3＝a3＝2.52答案(1)C(2)5规律方法1.在数学命题中，以数列为载体，常观察周期性、单一性.2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确立周期性，从而利用周期性求值.(2)数列的单一性只要判断a与a的大小，常用比差或比商法进行判断.nn＋1【训练4】2*，则a2020＝________.(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an－2an＋1(n∈N)(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1>an建立，则实数k的取值范围是________.分析22(1)∵a1＝1，an＋1＝an－2an＋1＝(an－1)，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2020＝a2＝0.由an＋1>an知该数列是一个递加数列，又通项公式an＝n2＋kn＋4，所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，即k>－1－2n.又n∈N*，所以k>－3.答案(1)0(2)(－3，＋∞)[思想升华]1.数列是特别的函数，要利用函数的看法认识数列.已知递推关系求通项公式的三种常有方法：(1)算出前几项，再概括、猜想.形如“an＋1＝pan＋q”这类形式平常转变成an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列.(3)递推公式化简整理后，若为an＋1nan＋1＝f(n)型，则采－a＝f(n)型，则采纳累加法；若为an用累乘法.[易错防备]1.解决数列问题应注意三点(1)在利用函数看法研究数列时，必定要注意自变量的取值是正整数.(2)数列的通项公式不必定独一.注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.数列{an}中，若an最大，则an≥an－1且an≥an＋1；若an最小，则an≤an－1且an≤an＋1.基础坚固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.数列1，3，6，10，15，的一个通项公式是()n2n2A.a＝n－(n－1)B.a＝n－1C.an＝n（n＋1）D.ann（n－1）2＝2分析观察数列1，3，6，10，15，能够发现：1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，所以第n项为1＋2＋3＋4＋5＋＋n＝n（n＋1）2，所以数列1，3，6，10，15，的通项公式为n＝n（n＋1）.a2答案C2.已知数列{n}满足：随意，∈N*，都有an·m＝n＋m，且1＝1，那么5＝()amnaaa2a1111A.B.C.D.321642111分析由题意，得a2＝a1a1＝4，a3＝a1·a2＝8，则a5＝a3·a2＝32.答案A3.(2019·江西要点中学盟校联考11*)在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N)，则4an－12019的值为()a145A.－4B.5C.5D.4分析在数列{n}中，1＝－1，n＝1－1(n≥2，∈N*)，所以a2＝1－1＝5，3＝1－1＝aa4aa－1n1a5n－4411a＝a45，a＝1－4＝－4，所以{a}是以3为周期的周期数列，所以＝a＝5.4n2019673×335答案Cnn1n＋1n*5)4.已知数列{a}的前n项和为S，且a＝2，a＝S＋1(n∈N)，则S＝(A.31B.42C.37D.47分析由题意，得Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)，∴Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)，故数列{Sn＋1}为等比数列，其首项为3，公比为42，则S＋1＝3×2，所以S＝47.55答案D（a－1）x＋（x≤1），*245.(2019·成都诊疗)已知f(x)＝ax（x>1），数列{an}(n∈N)满足an＝f(n)，且{an}是递加数列，则a的取值范围是()1A.(1，＋∞)B.2，＋∞C.(1，3)D.(3，＋∞)分析因为{a}是递加数列，na>1，所以2>2－1＋4，解得a>3，aa则a的取值范围是(3，＋∞).答案D二、填空题11n－26.在数列－1，0，9，8，，n2，中，0.08是它的第________项.n－22分析令n2＝0.08，得2n－25n＋50＝0，5则(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝(舍去).2所以a10＝0.08.答案10若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.分析当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，明显当n＝1时，不满足上式.2，n＝1，故数列的通项公式为an＝6n－5，n≥2.答案2，n＝1，6－5，≥2nnan＋1an18.在数列{an}中，a1＝2，n＋1＝n＋ln1＋n，则an＝________.an＋1ananan－1分析由题意得n＋1－n＝ln(n＋1)－lnn，n－n－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2).a2a1aa232－1＝ln2－ln1，3－2＝ln3－ln2，，aann－1n－n－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2).n1n(≥2)，累加得a－a＝ln，∴a＝2＋lnn1nnnn又a1＝2合适，故an＝2n＋nlnn.答案2n＋nlnn三、解答题9.(2016·全国Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列{n}满足2n＋1－1)n－2n＋1＝0.1＝1，n－(2aaaaaa求a2，a3；求{an}的通项公式.解(1)由题意得a2＝1，a3＝1.242(2)由an－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).an＋11因为{an}的各项都为正数，所以＝.an2故{an}是首项为1，公比为11的等比数列，所以n＝n－1.2a210.已知S为正项数列{a}的前n项和，且满足S＝121*2a＋2a(n∈N).nnnnn求a1，a2，a3，a4的值；求数列{an}的通项公式.121*解(1)由Sn＝2an＋2an(n∈N)，可得121a＝2a＋2a，解得a＝1，1111121S2＝a1＋a2＝2a2＋2a2，解得a2＝2，同理，a3＝3，a4＝4.anSn＝2an＋2，①1当≥2时，n－1＝1212an－1＋n－1，②nS2a①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.因为an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，1又由(1)知a＝1，故数列{an}为首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.能力提高题组(建议用时：20分钟)11.(2019·山东新高考适应性调研)“中国节余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯获取的对于同余式解法的一般性定理，因此西方称之为“中国节余定理”.“中国节余定理”讲的是一个对于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2018这2018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的序次排成一列，构成数列{an}，则此数列共有()A.98项B.97项C.96项D.95项分析能被3除余1且被7除余1的数就只好是被21除余1的数，故an＝21n－20，由1≤an≤2018得1≤≤97，又*97项.∈N，故此数列共有nn答案Bn612.已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·7，则数列{an}的项取最大值时，n＝________.分析假定第n项为最大项，则an≥an－1，n≥n＋1，aan6n－16即（n＋2）·7≥（n＋1）·7，n6n＋16（n＋2）·7≥（n＋3）·7，解得n≤5，即4≤≤5，n≥4，n*，所以n＝4或n＝5，又n∈N故数列{ana4与5均为最大项，且a4＝a65}中5＝4.a7答案4或513.(2019·菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和为n，且满足n＝(－1)n·an－1n，记n＝SS2bn－1*8a2·2，若对随意的n∈N，总有λbn－1>0建立，则实数λ的取值范围为________.1分析令n＝1，得a1＝－；1令n＝3，可得a2＋2a3＝8；3令n＝4，可得a2＋a3＝16，21n2n－1n故a＝4，即b＝8a·2＝2.由λb－1>0对随意的*恒建立，∈Nnn1n*得λ>2对随意的n∈N恒建立，n1又2≤2，1所以实数λ的取值范围为2，＋∞.答案1，＋∞21*14.已知数列{an}中，an＝1＋a＋2（n－1）(n∈N，a∈R且a≠0).若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；若对随意的n∈N*，都有an≤a6建立，求a的取值范围.解(1)∵n＝1＋1(∈N*，a∈R，且a≠0)，aa＋2（n－1）n1*又a＝－7，∴a＝1＋2－9(n∈N).nn1*联合函数f(x)＝1＋2－9的单一性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>＞an>1(n∈N).x∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为4＝0.a112(2)a＝1＋a＋2（n－1）＝1＋n－2－a，n2已知对随意的*an≤a6建立，n∈N，都有1联合函数f(x)＝1＋22－a的单一性，x－22－a可知5<2<6，即－10