PAGE\*MERGEFORMAT2山东中学联盟高中名校2019级高三12月大联考数学试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。2.选择题的作答：选出每小题
答案
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后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）A．B．C．D．2．若复数，则的虚部为A．B．C．1D．-13．若A.B.C.D.4.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数
书
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九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水来测量平地降雨量（盆中水的体积与盆口面积之比）．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是A.9寸B.7寸C.8寸D.3寸5.如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为A.B.C.D.6．已知函数则的解集为A.B.C.D.7．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上关于轴对称的两点，的中点恰好落在轴上，若，则椭圆的离心率的值为A.B.C.D.8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则使不等式成立的的取值范围是A．B．C．D．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列说法中错误的是A．已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底B．直线的方向向量为,直线的方向向量为,则与垂直C．若两非零向量，满足，则D．平面直角坐标系中，，，，则△为锐角三角形10．若，为正实数，则的充要条件为A.B.C.D.11．设函数，已知在上有且仅有3个零点，则下列结论正确的是A．在上存在，满足B．在上有2个最大值点C．在上单调递增D．的取值范围为12．如图，矩形中,,为边的中点，将△沿直线翻折成△．若为线段的中点，则在△翻折过程中，下面四个命题中正确的是A．是定值B．点运动轨迹在某个圆周上C．存在某个位置，使D.不在底面上时，则//平面三、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分）13.已知，则_________14．已知向量,满足，，，则与的夹角是______．15．能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________．16．复印纸幅面
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采用系列，其幅面规格为：①所有规格的纸张的幅宽（以
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示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；……；如此对开至规格，现有纸各一张，若纸的幅宽为，则纸的面积为______，这9张纸的面积之和等于______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）下面问题的条件①，②，③，④有多余，现请你在①，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题。已知中,是边的中点，你删去的条件是_____请写出用剩余条件解答本题的过程．（1）求的长；（2）的平分线交于点，求的长.注：如果选择删去条件①和条件④分别解答，按第一个解答计分．18.（12分）已知数列满足，记数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前100项和19．（12分）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体．“刍薨”字面意思为茅草屋顶，图1是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图2，屋顶五面体为刍薨”，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形，点在平面和上射影分别为，，已知m，m，梯形的面积是△面积的2.2倍．设．（1）求屋顶面积关于的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为常数，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为，现欲造一栋总高度为m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？20．（12分）如图1，已知正方形的边长为，，分别为，的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为，点在线段上（包含端点）运动，连接.图2图1（1）若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；（2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，确定出点位置；若不存在，请说明理由.21．（12分）年世界人工智能大会已于年月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示，、两个信号源相距米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）.在时刻时，测得机器鼠距离点为米.（1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线不超过米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？22．（12分）已知，.（Ⅰ）求在处的切线方程；（Ⅱ）已知的两个零点为，且为的唯一极值点.（1）求实数的取值范围；（2）求证：.
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