无理数指数幂及其运算性质新知探究问题1 上节课我们将(a＞0)中指数x的取值范围从整数拓展到了有理数．那么，当指数x是无理数时，还有没有意义？如果有意义，其意义是什么？说说你的理由．追问1 在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数．请回忆初中时，是如何确定无理数的大小的？初中时，我们发现的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），都趋向于同一个确定的数，这个确定的数就是，以此来逐渐逼近的精确值．追问2 类似的，我们也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂．你能
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来解释无理数指数幂的意义吗？新知探究根据的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），利用计算工具计算相应的5x，5y的近似值，并填入下
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．新知探究1.49.5182696931.511.1803398871.419.6726997281.429.8296353281.4149.7351710391.4159.7508518071.41429.7383051741.41439.7398726201.414219.7384619071.414229.7386186431.4142139.7385089271.4142149.7385246011.41421359.7385167641.41421369.7385183321.414213569.7385177051.414213579.7385178611.4142135629.7385177361.4142135639.738517752…………追问3 通过上表可以看出，当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，5x和5y都趋向于同一个数，这个数就是．也就是说是一串逐渐增大的有理数指数幂和另一串逐渐减小的有理数指数幂逐步逼近的结果，它是一个确定的实数．那么这个逐渐逼近的过程在数轴上是怎么体现的呢？请同学们将上表中不同的5x和5y的值画到数轴的对应位置上．新知探究展示GGB课件“4.1指数第二课时－数轴显示有理数指数幂逼近无理数指数幂”追问4 参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如，说明它也是一个确定的实数吗？一般地，无理数指数幂(a＞0，α为无理数)是一个确定的实数．这样，我们就将指数幂(a＞0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数．实数指数幂是一个确定的实数．新知探究追问4 参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如，说明它也是一个确定的实数吗？新知探究应当注意的是，在指数幂ax中，通常要限定a＞0这个条件．这是因为，在实数范围内，只有正数的任何实数次幂才有意义．如果这里的底数a＝0，那么指数就不能为0或负数，否则就没有意义；同样地，如果这里的底数a＜0，那么指数就不能为（其中n为整数），否则仍然没有意义．因此我们限定a＞0这个条件．问题2 明确了无理数指数幂的意义以后，指数幂ax中指数x的取值范围就从有理数拓展到了实数．那么有理数指数幂的运算性质对于实数指数幂是否还适用？为什么？有理数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质．新知探究（1）（2）（3）问题2 明确了无理数指数幂的意义以后，指数幂ax中指数x的取值范围就从有理数拓展到了实数．那么有理数指数幂的运算性质对于实数指数幂是否还适用？为什么？对于实数指数幂的运算性质，我们也可以进行推导，推导的基础是把任何一个实数表示为有理数序列的极限，通过极限运算和有理数指数幂的运算性质进行证明．请同学们课后自行完成．新知探究新知探究例 计算下列各式（式中字母均是正数）（1）；（2）；（3）．解：（1） ；（2）（3）追问：这些题目的求解过程与我们上节课的例4的求解有哪些异同？例4中的指数都为有理数，本题的指数都为无理数，但是它们的运算过程是一致的，都是按照实数指数幂的运算性质进行的．新知探究归纳小结问题3 回顾本节课，我们是如何将指数幂中指数的范围从有理数拓展到无理数的？谈谈实数指数幂运算性质有哪些特点？（1）在将指数幂中指数的范围从有理数拓展到无理数的过程中，我们经历了从“不足近似值”和“过剩近似值”两个方向，用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程．然后在数轴上表示这些“不足近似值”和“过剩近似值”的对应点，发现这些点逼近一个确定的点，其对应的数就是这个无理数指数幂．归纳小结问题3 回顾本节课，我们是如何将指数幂中指数的范围从有理数拓展到无理数的？谈谈实数指数幂运算性质有哪些特点？（2）实数指数幂的运算性质，与整数指数幂的运算性质是一致的，也就是说将指数的范围从整数拓展到实数后，其运算性质保持不变．其形式上就是幂之间的运算转化为指数间的运算，这一转化是以降低一个运算级来实现的．目标检测计算下列各式：1（1）； （2）．答案：（1）64m3；（2）1．目标检测利用计算工具，探究下列实数指数幂的变化规律：2（1）x取负实数，使得|x|的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的2x(x∈R)的值，观察变化趋势．答案：（1）x取负实数，使得|x|的值逐渐增大并趋向于无穷大，相应的指数幂2x的值也逐渐减小，并趋向于0．（2）x取正实数，使得x的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的(x∈R)的值，观察变化趋势．目标检测利用计算工具，探究下列实数指数幂的变化规律：2答案：（2）x取正实数，使得x的值逐渐增大并趋向于无穷大，相应的指数幂的值逐渐减小，并趋向于0．（1）x取负实数，使得|x|的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的2x(x∈R)的值，观察变化趋势．（2）x取正实数，使得x的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的(x∈R)的值，观察变化趋势．谢谢大家敬请各位老师提出宝贵意见！再见
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