南京航空航天大学《高等数学》103格林(Green)公式(下)曲线积分与路径无关的定义曲线积分与路径无关的条件二元函数的全微分的求积一、曲线积分与路径无关的定义定义设G是一个开区域P,x(,y),Q(x,在y)内具G有连续的一阶偏导数,对任意给定的ABG,,∈及从点AB→点的任意两条曲线LLG1,2∈yPdx+QdyL⋅BG∫1L1L2=Pdx∫+QdyA⋅L2ox则称曲线积分Pdx+Qdy在G内与路径无关,∫L否则与路径有关.定理Pdx+Qdy在内与路径无关G∫L⇔Pdx+Qdy=0,为任一条封闭曲线C∫C证明""⇒设C为任一条封闭曲线,在C上任取两点AB,y∵==−∫L∫...
曲线积分与路径无关的定义曲线积分与路径无关的条件二元函数的全微分的求积一、曲线积分与路径无关的定义定义设G是一个开区域P,x(,y),Q(x,在y)内具G有连续的一阶偏导数,对任意给定的ABG,,∈及从点AB→点的任意两条曲线LLG1,2∈yPdx+QdyL⋅BG∫1L1L2=Pdx∫+QdyA⋅L2ox则称曲线积分Pdx+Qdy在G内与路径无关,∫L否则与路径有关.定理Pdx+Qdy在内与路径无关G∫L⇔Pdx+Qdy=0,为任一条封闭曲线C∫C证明""⇒设C为任一条封闭曲线,在C上任取两点AB,y∵==−∫L∫LL∫−122c⋅BGL1L2∴+−=0A∫LL1∫2⋅即,=0ox∫C"",,⇐ABG设∈LLAB1,为从2→的任意两条光滑曲线y⋅BGL1∵−==0∫LLC+∫L212A⋅∴=−ox∫L∫L−12即=∫LL∫12二、曲线积分与路径无关的条件定理设开区域G是一个单连通域,函数P(x,y),Q(,x在G)内具有一阶连续偏导数,y则曲线积分Pdx∫+Qdy在G内与路径无关L（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充∂P∂Q要条件是=在G内恒成立.∂y∂x证明""⇐由格林公式是显然的.∂P∂Q""⇒已知Pdx+Qdy=0要证在,G内=∫C∂y∂x∂P∂Q用反证法.()设在MG∈处≠0∂y∂x∂Q∂P∂P∂Q不妨设(−)M=η>0∵,,在G内连续∂x∂y0∂y∂x∂Q∂Pη∴KMMM∃{/=<(δ>0)},在∂K上恒有−≥0∂x∂y2设γ是K的正向边界,有∂Q∂PηPdx+Qdy=()−dxdy≥⋅σ>0∫γ∫∫∂x∂y2K∂Q∂Pσ为K的面积与Pdx+Qdy0=相矛盾!∴=∫L∂x∂y注(1)域开区G是一个单连通域.(2)P函数(x,y),Q(,x在G)y内具有一阶连续偏导数.两条件缺一不可ydx+xdy如I=C:+x22y=1=π2∫Cx2+y2∫C1∂Q∂PG:
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