MATLAB在线性代数与解析几何上的应用

1.矩阵的的生成MATLAB软件提供了相当丰富的关于矩阵与向量的函数命令。关于向量与矩阵的运算是非常快捷与方便的。(1)直接定义：直接输入向量或矩阵的元素，同一行的元素以逗号或空格来分隔，不同的行用分号或回车分隔。第二讲MATLAB在线性代数与解析几何上的应用一、线性代数MATLAB在线性代数计算中的常用命令运算命令求矩阵的行列式det(A)矩阵转置A'矩阵的加、减、乘与乘方+，-，*，A^n.*,.^n求方阵的逆inv(A)矩阵除法A/B，A\B求矩阵A的秩rank(A)矩阵化为最简形rref(A)特征值与特征向量[P,R]=eig(A) 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 正交化orth(A)二、三维曲线作图plot(y)，plot3(x,y,z),ezplot3(‘f’,’g’,’h’,[t1,t2])三维曲面作图mesh(X,Y,Z),surf(X,Y,Z).ezmesh('f','g','h',[u1,u2,v1,v2])与ezsurf('f','g','h',[u1,u2,v1,v2])例1a=[1,2,3;4,5,6;7,8,10]a=1234567810x=[2,3]x=23y=[4;5]y=45(2)向量的冒号定义：a:d:b形式的语句生成一个行向量，范围在a与b之间，a为第一个元素，d为间隔，d的取值不能为0。例2z=12:-3:1z=12963(3)语句定义zeros(m,n)产生m行n列的元素全为0的矩阵；ones(m,n)产生m行n列的元素全为1的矩阵；eye(n)产生n阶单位矩阵；diag(u)产生一个对角矩阵，其对角线元素与向量u的元素一致.例3diag([2,6])ans=20062.矩阵的元素操作MATLAB利用下标访问矩阵的元素。在矩阵运算中，有时需要提取它的一部分元素（块）参与运算，比如提取一个元素、一行元素、一列元素或者一个子阵。例4a=[1,2,3;4,5,6;7,8,10];b1=a(3,1)%b1为a的第3行第1列的元素b2=a([1,3],[1,2])%b2为a的第1,3行第1,2列的元素构成的矩阵b3=a(end,:)%b3为a的最后一行所有列元素构成的矩阵b4=a(7)运行以上语句得到的结果为：b1=7b2=1278b3=7810b4=3a(:,4)=[3,2,1]%将矩阵a添上第4列b5=reshape(a,2,6)%将a重写为2行6列的矩阵c=find(b3==8)%求b3中等于8的元素的位置%将a的所有列按照从左到右的次序排列，b4求第7个元素。运行以上语句得到的结果为：a=1233456278101b5=1753102428631c=23.矩阵的行列式与转置只有方阵的才有行列式。在MATLAB中求方阵A的行列式的调用函数是det(A)。例5已知方阵a1=[1,2,3;4,5,6;7,8,0]，a2=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]，a3=[1,2,3;4,5,6;7,8,c],试求它们的行列式，并将行列式分别记为a10，a20，a30。a1=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];a10=det(a1)运行语句得到的结果为：a10=27a2=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a20=det(a2)运行语句得到的结果为：a20=0a30是一个含有变量c的矩阵，即符号矩阵，必须首先定义其中的符号变量c。symsca3=[1,2,3;4,5,6;7,8,c];a30=det(a3)运行语句得到的结果为：a30=-3*c+27在MATLAB中矩阵的转置阵的调用函数是A'。例6已知方阵A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0]，B=[1,3,5;2,6,10]，试求它们的转置矩阵，并将其分别记为A'，B'。A'=147258360B'=1236510运行语句得到的结果为：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=[1,3,5;2,6,10];4.矩阵的加、减、乘与乘方运算(1)矩阵的加减法是对相同维数的矩阵的对应元素进行加减，与一般的理解一致。如果是矩阵和标量进行加减，则该矩阵的所有元素与该标量进行运算。例7x=[1,2,3;4,5,6];y=[7,8,9;4,3,2];z=x+y,w=x-5运行语句得到的结果为：z=81012888w=-4-3-2-101（2）矩阵A与B相乘C=A*B，其结果与代数中矩阵相乘也是一致的，要求A的列数等于B的行数。在MATLAB中，对矩阵还有另一种乘法：A.*B，此时要求A与B有相同的维数，其结果为A与B的对应元素相乘。例8已知矩阵a=[1,2,3;4,5,6;7,8,0]，b=[1,2;3,4;5,6]，试求a*b。a=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];b=[1,2;3,4;5,6];a*b运行语句得到的结果为：ans=222849643146例9已知矩阵a=[1,2,3;4,5,6;7,8,0]，b=[1,2,2;3,4,1;5,6,2]，试求a.*b。a=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];b=[1,2,2;3,4,1;5,6,2];a.*bans=1461220635480运行语句得到的结果为：例10已知矩阵a=[1,2,3;4,5,6;7,8,0]，试求a3。a=[123;456;780];a3=a^3;a3运行语句得到的结果为：a3=279360306684873684738900441在MATLAB中求方阵A的乘方的调用函数是A^n。若n为正整数，A为一个方阵，则A^n表示矩阵A的n次方。a=[123;456;780];a3=a*a*a;a3运行语句得到的结果一致。若对矩阵a=[1,2,3;4,5,6;7,8,0]，求a。a=[123;456;780];a3=a^0.1;a3a3=运行语句得到的结果为：在MATLAB中，对矩阵还有另一种乘方。若A为一个一般的矩阵或向量，A.^n表示A的每个元素求n次方。例11已知矩阵a=[1,2,3;4,5,6;7,8,0]，试求a.^3。a=[123;456;780];a3=a.^3;a3运行语句得到的结果为：a3=18276412521634351205.矩阵的初等变换与矩阵的秩在线性代数中，我们常把矩阵通过行初等变换化为行最简形。利用矩阵的行最简形，可以求出矩阵的秩、逆、向量组的极大线性无关组等。在MATLAB中使用函数rref(A)就可以把矩阵化为最简形。在MATLAB中使用函数rank(A)就可以求矩阵的秩。clearA=[1,1,1;1,2,-5;2,3,4];rref(A)rank(A)ans=100010001运行结果：ans=36.求向量组的极大线性无关组例13求向量组a1=[1,2,-2,1]，a2=[2,-3,2,1],a3=[3,-1,0,2]，a4=[3,2,1,2]的一个极大无关组。cleara1=[12-21]'a2=[2-321]'a3=[3-102]'a4=[3212]'A=[a1,a2,a3,a4]A=12332-3-12-22011122运行结果：[Rjb]=rref(A)R=1010011000010000jb=124A(:,jb)ans=1232-32-221112结果表明:向量a1=[1,2,-2,1]，a2=[2,-3,2,1],a4=[3,2,1,2]的是向量组的一个极大无关组。7.矩阵的求逆运算只有矩阵A是满秩方阵时，A的逆才存在。在MATLAB中求方阵A的逆矩阵的调用函数是inv(A)，A^-1。例14已知矩阵a=[1,2,3;4,5,6;7,8,0]，试求a的逆矩阵a-1。a=[123;456;780];inv(a)运行语句得到的结果为：ans=A=[-16-4-6;15-39;1809];V=inv(A)运行语句得到的警告信息：Warning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurate.RCOND=6.042030e-018.V=1.0e+015*它警告说：“此矩阵接近奇异，数据尺度很差，结果可能不准确。”实际上，算一下本题所给矩阵的行列式可知det(A)=0,所以它本身就是一个奇异矩阵，其逆矩阵不存在。矩阵方程组AX=B以及XA=B的解可以分别用A\B与A/B来表示。在MATLAB中引进了矩阵除法的概念，包括矩阵的左除与右除。（1）右除：A/B=A*inv(B)（2）左除：A\B=inv(A)*B%B必须是满秩方阵%A必须是满秩方阵8.矩阵的除法其实，矩阵的除法只是逆阵的另一种表示方法。而A./B则表示A与B的对应元素相除得到的矩阵。A=[303-6;5-11-5;-314-9;1-34-4];方法一:A^-1方法二:inv(A)方法三:A\eye(4)方法四:U=rref([A,eye(4)]);U(:,5:8)运行各语句得到的结果都为：ans=a=[1-1;11];b=[5;1];inv(a)*bans=3-2运行语句得到的结果为：A=[1-1;11];b=[5,1];b*inv(A)ans=23运行语句得到的结果为：9.求解一般线性方程组（1）齐次线性方程组的求解clearA=[1-111;1-11-2;1-1-21]rank(A)ans=3运行语句得到的结果为：rref(A)ans=1-10000100001运行语句得到的结果为：程序说明：（1）由rank(A)=2,可以得到方程组有无穷多解（2）由A的行最简矩阵写出方程组的解是[k,k,0,0]T.clearA=[1-111;1-11-2;1-1-21];formatratn=4;RA=rank(A)运行语句得到的结果为：RA=3B=1100if(RA==n)fprintf(‘%方程只有零解')elseb=null(A,'r')endsymskX=k*bX=kk00运行语句得到的结果为：即方程组的解是[k,k,0,0]TclearA=[-1-24;211;11-1];rank(A)ans=3rref(A)ans=10201-3000程序说明：（1）由rank(A)=2,可以得到方程组有无穷多解（2）由A的行最简矩阵写出方程组的解是[-2k,3k,k]T.（2）非齐次线性方程组的求解clearA=[42-1;3-12;1130];b=[2108]'B=[Ab]n=3RA=rank(A)RB=rank(B)RA=2RB=3方程组无解。.10.求过渡矩阵clearA=[111;100;1-11];B=[0-11;112;101];K=inv(A)*B,X=[1;2;-1],Y=inv(K)*XK=1.0000-0.50000Y=11.向量的正交规范化clearA=[101;011;111];B=orth(A)B=在线性代数中,矩阵的特征值与特征向量的计算是一个比较复杂繁琐的过程。在MATLAB中提供了相应的调用函数，它们的格式可下：[P,R]=eig(A)。式中，A表示输入矩阵，输出量R为A的特征值构成的矩阵，P的各列为对应于特征值的特征向量构成的矩阵。12.方阵的特征值与特征向量clearA=[5-20;-262;027];[P,R]=eig(A)P=2/32/3-1/32/3-1/32/3-1/32/32/3R=300060009运行语句得到的结果为：P=2/32/3-1/32/3-1/32/3-1/32/32/3R=300060009由结果可知：A的三个特征值是：r1=3，r2=6，r3=9。三个特征值分别对应的特征向量是由于A是实对称矩阵，且三个特征值互异，帮可以肯定相应的三个特征向量p1=3，p2=6，p3=9两两正交。13.实对称矩阵的对角化clearA=[400;031;013];[P,D]=eig(A)P=-0.70710.707100.70710D=200040004B=inv(P)*A*PB=2.00000004.00000程序说明：所求得的特征值矩阵D即为矩阵A对角化后的对角矩阵，D和A相似。14.计算标准化二次型的转换矩阵clearA=[200;032;023];symsy1y2y3y=[y1;y2;y3];[P,D]=eig(A)P=01.00000D=1.00000002.00000x=P*yx=y2-1/2*2^(1/2)*y1+1/2*2^(1/2)*y31/2*2^(1/2)*y1+1/2*2^(1/2)*y3f=[y1y2y3]*D*yf=y1^2+2*y2^2+5*y3^215.判别二次型的正定性clearA=[221;280;10-4];[P,D]=eig(A)P=D=-4.17120001.55890由于A有负特征值，所以二次型非正定。