初三二次函数最后一题答案

二次函数综合题型精讲精练题型一：二次函数中的最值问题例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A〔﹣2，﹣4〕，O〔0，0〕，B〔2，0〕三点．〔1〕求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；〔2〕假设点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．解析：〔1〕把A〔﹣2，﹣4〕，O〔0，0〕，B〔2，0〕三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0所以解析式为y=﹣x2+x．〔2〕由y=﹣x2+x=﹣〔x﹣1〕2+，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB∴OM=BM∴OM+AM=BM+AM连接AB交直线x=1于M点，那么此时OM+AM最小过点A作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中，AB===4，因此OM+AM最小值为． 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 提炼：一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B，求AM+BM最小值的问题，我们只需做出点A关于这条直线的对称点A’，将点B与A’连接起来交直线与点M，那么A’B就是AM+BM的最小值。同理，我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B’，将点A与B’连接起来交直线与点M，那么AB’就是AM+BM的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。AABBM或者MA’B’例2：如图，抛物线经过点A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕三点．〔1〕求抛物线的解析式．〔2〕点M是线段BC上的点〔不与B，C重合〕，过M作MN∥y轴交抛物线于N，假设点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．〔3〕在〔2〕的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？假设存在，求m的值；假设不存在，说明理由．解析：〔1〕设抛物线的解析式为：y=a〔x+1〕〔x﹣3〕，那么：a〔0+1〕〔0﹣3〕=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣〔x+1〕〔x﹣3〕=﹣x2+2x+3．〔2〕设直线BC的解析式为：y=kx+b，那么有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．点M的横坐标为m，那么M〔m，﹣m+3〕、N〔m，﹣m2+2m+3〕；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣〔﹣m+3〕=﹣m2+3m〔0＜m＜3〕．〔3〕如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN〔OD+DB〕=MN×OB，∴S△BNC=〔﹣m2+3m〕×3=﹣〔m﹣〕2+〔0＜m＜3〕；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．方法提炼：因为△BNC的面积不好直接求，将△BNC的面积分解为△MNC和△MNB的面积和。然后将△BNC的面积表示出来，得到一个关于m的二次函数。此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值。题型二：二次函数与三角形的综合问题例3：如图，：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C〔1，0〕三点.〔1〕求抛物线的解析式;〔2〕假设点D的坐标为〔-1，0〕，在直线上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．解：〔1〕：由题意得，A〔3，0〕，B〔0，3〕∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A〔3，0〕，B〔0，3〕，C〔1，0〕三点分别代入得方程组解得：∴抛物线的解析式为〔2〕由题意可得：△ABO为等腰三角形,如下图，假设△ABO∽△AP1D，那么∴DP1=AD=4,∴P1假设△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，AD=4,∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合∴P2〔1，2〕〔3〕如图设点E，那么①当P1(-1,4)时，S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：,即∵△=(-4)2-4×7=-12<0∴此方程无解②当P2〔1，2〕时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：即，∵△=(-4)2-4×5=-4<0∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。方法提炼：①求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。②要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。例4：如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．〔1〕求点B的坐标；〔2〕求经过点A．O、B的抛物线的解析式；〔3〕在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，说明理由．解析：〔1〕如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，那么∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为〔﹣2，﹣2〕；〔2〕∵抛物线过原点O和点A．B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A〔4，0〕，B〔﹣2．﹣2〕代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x〔3〕存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为〔2，y〕，①假设OB=OP，那么22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为〔2，﹣2〕②假设OB=PB，那么42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为〔2，﹣2〕，③假设OP=BP，那么22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为〔2，﹣2〕，综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为〔2，﹣2〕，方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。题型三：二次函数与四边形的综合问题例5：综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．〔1〕求直线AC的解析式及B，D两点的坐标；〔2〕点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；假设不存在，请说明理由．〔3〕请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．解析：〔1〕当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3．∵点A在点B的左侧，∴A．B的坐标分别为〔﹣1，0〕，〔3，0〕．当x=0时，y=3．∴C点的坐标为〔0，3〕设直线AC的解析式为y=k1x+b1〔k1≠0〕，那么，解得，∴直线AC的解析式为y=3x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4，∴顶点D的坐标为〔1，4〕．〔2〕抛物线上有三个这样的点Q，①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为〔2，3〕；②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为〔1+，﹣3〕；③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为〔1﹣，﹣3〕；综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1〔2，3〕，Q2〔1+，﹣3〕，Q3〔1﹣，﹣3〕．点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，那么B′为点B关于直线AC的对称点．连接B′D交直线AC与点M，那么点M为所求，过点B′作B′E⊥x轴于点E．∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2．∴Rt△AOC～Rt△AFB，∴，由A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕，C〔0，3〕得OA=1，OB=3，OC=3，∴AC=，AB=4．∴，∴BF=，∴BB′=2BF=，由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，∴，∴，即．∴B′E=，BE=，∴OE=BE﹣OB=﹣3=．∴B′点的坐标为〔﹣，〕．设直线B′D的解析式为y=k2x+b2〔k2≠0〕．∴，解得，∴直线B'D的解析式为：y=x+，联立B'D与AC的直线解析式可得：，解得，∴M点的坐标为〔，〕．方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想，一般需要分三种情况来讨论。题型四：二次函数与圆的综合问题例6：如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为〔1，0〕．假设抛物线过A、B两点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在说明理由；〔3〕假设点M是抛物线〔在第一象限内的局部〕上一点，△MAB的面积为S，求S的最大〔小〕值．解析：〔1〕如答图1，连接OB．∵BC=2，OC=1∴OB=∴B〔0，〕将A〔3，0〕，B〔0，〕代入二次函数的表达式得，解得：，∴．〔2〕存在．如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．∵B〔0，〕，O〔0，0〕，∴直线l的表达式为．代入抛物线的表达式，得；解得，∴P〔〕．〔3〕如答图3，作MH⊥x轴于点H．设M〔〕，那么S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=〔MH+OB〕•OH+HA•MH﹣OA•OB==∵，∴=∴当时，取得最大值，最大值为．题型五：二次函数中的证明问题例8：如图11，二次函数的图像过点A(-4，3〕，B(4，4).〔1〕求二次函数的解析式：〔2〕求证：△ACB是直角三角形；〔3〕假设点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由。解：〔1〕将A(-4，3〕，B(4，4)代人中，整理得：解得∴二次函数的解析式为：，整理得：〔2〕由整理∴C〔-2，0〕D从而有：AC2=4+9BC2=36+16AC2+BC2=13+52=65AB2=64+1=65∴AC2+BC2=AB2故△ACB是直角三角形〔3〕设〔X<0〕PH=HD=AC=BC=①当△PHD∽△ACB时有：即：整理∴〔舍去〕此时，∴②当△DHP∽△ACB时有：即：整理∴〔舍去〕此时，∴综上所述，满足条件的点有两个即题型六：自变量取值范围问题例10：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．〔1〕求过A．C．D三点的抛物线的解析式；〔2〕记直线AB的解析式为y1=mx+n，〔1〕中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；〔3〕设直线AB与〔1〕中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．解析：〔1〕∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；OA=AD﹣OD=2，即：A〔﹣2，0〕、B〔﹣5，4〕、C〔0，4〕、D〔3，0〕；设抛物线的解析式为：y=a〔x+2〕〔x﹣3〕，得：2×〔﹣3〕a=4，a=﹣；∴抛物线：y=﹣x2+x+4．〔2〕由A〔﹣2，0〕、B〔﹣5，4〕得直线AB：y1=﹣x﹣；由〔1〕得：y2=﹣x2+x+4，那么：，解得：，；由图可知：当y1＜y2时，﹣2＜x＜5．〔3〕∵S△APE=AE•h，∴当P到直线AB的距离最远时，S△ABC最大；假设设直线L∥AB，那么直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；设直线L：y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0；求得：b=，即直线L：y=﹣x+；可得点P〔，〕．由〔2〕得：E〔5，﹣〕，那么直线PE：y=﹣x+9；那么点F〔，0〕，AF=OA+OF=；∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××〔+〕=．综上所述，当P〔，〕时，△PAE的面积最大，为．题型七：二次函数实际应用问题例11：某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造本钱为18元，试销过程中发现，每月销售量y〔万件〕与销售单价x〔元〕之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．〔利润=售价﹣制造本钱〕〔1〕写出每月的利润z〔万元〕与销售单价x〔元〕之间的函数关系式；〔2〕当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？〔3〕根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造本钱需要多少万元？解析：〔1〕z=〔x﹣18〕y=〔x﹣18〕〔﹣2x+100〕=﹣2x2+136x﹣1800，∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800；〔2〕由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程得x1=25，x2=43所以，销售单价定为25元或43元，将z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得z=﹣2〔x﹣34〕2+512，因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；〔3〕结合〔2〕及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象〔如下图〕可知，当25≤x≤43时z≥350，又由限价32元，得25≤x≤32，根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，∴当x=32时，每月制造本钱最低．最低本钱是18×〔﹣2×32+100〕=648〔万元〕，因此，所求每月最低制造本钱为648万元．