浅谈数列中an与Sn的关系(学生版)

PAGEPAGE1课题浅谈数列中an与Sn的递推公式的应用对于任意一个数列，当定义数列的前n项和通常用Sn 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示时，记作Sn＝a1＋a2＋…＋an，此时通项公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))．而对于不同的题目中的an与Sn的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用an＝Sn－Sn－1(n≥2)去解决不同类型的问题呢？我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的an与Sn相关的问题：　　归纳起来常见的角度有：角度一：直观运用已知的Sn，求an；角度二：客观运用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求与an，Sn有关的结论；角度三：an与Sn的延伸应用．角度一：直观运用已知的Sn，求an方法：已知Sn求an的三个步骤(此时Sn为关于n的代数式)：(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用Sn求解．如：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n－1，其中a1＋2a2＋3a3＋…＋nan表示数列{nan}的前n项和．1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(　　)A．an＝2n－3B．an＝2n＋3C．an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1,2n－3，n≥2))D．an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1,2n＋3，n≥2))2．(2015·河北石家庄一中月考)数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n+1＋3(n∈N*)，则数列的通项公式an＝．3．(2015·天津一中月考)已知{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝．4．(2015·四川成都树德期中)已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5＝45，a2＋a6＝14．(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：eq\f(b1,2)＋eq\f(b2,22)＋…＋eq\f(bn,2n)＝an＋1(n∈N*)，求{bn}的前n项和．二：客观运用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求与an，Sn有关的结论此类题目中，已知条件往往是一个关于an与Sn的等式，问题则是求解与an，Sn有关联的结论．那么我们需要通过对所求问题进行客观 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 后，判定最后的结果中是保留an，还是Sn．那么，主要从两个方向利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)：方向一：若所求问题是与an相关的结论，那么用Sn－Sn－1＝an(n≥2)消去等式中所有Sn与Sn－1，保留项数an，在进行整理求解；1．(2015·广州潮州月考)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1，n∈N*)，则数列的通项公式是．2．数列{an}的前n项和为Sn，若an＋1＝－4Sn＋1，a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn.方向二：若所求问题是与Sn相关的结论，那么用an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去等式中所有项数an，保留Sn与Sn－1，在进行整理求解．1．已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝eq\f(1,2)．(1)求证：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差数列；(2)求an的表达式．2．(2015·江西名校联盟调考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且aeq\o\al(2,n)－2Snan＋1＝0．(1)求数列{Sn}的通项公式；(2)求证：eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)＞2(Sn+1－1)．(提示：eq\f(1,\r(,n))＞eq\f(1,\r(,n＋1)＋\r(,n)))eq\1,S1角度三：an与Sn的延伸应用解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，还需要对an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))关系式的形式结构很熟练的掌握，这样才能在题目中对已知等式灵活地变换．当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析，确定等式的变换方向．方向一：关于双重前n项和此类题目中一般出现“数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn”的条件，在解答时需要确定清楚求的是与an，Sn，Tn中谁相关的问题，确定已知等式的运用方向．但一般是求解最底层的an．1．(2015·湖北武汉质检)设数列{an}的前n现和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*．(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．2．(2015·安徽滁州期末联考)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，且2Tn＝4Sn－(n2＋n)，n∈N*．(1)证明：数列{an＋1}为等比数列；(2)设bn＝eq\f(n＋1,an＋1)，证明：b1＋b2＋…＋bn＜3．方向二：已知等式在整理过程中需要因式分解此类问题大多数时候会伴随“各项均为正数的数列{an}”这样的条件，运用在因式分解后对因式进行符号的判定，对因式进行的取舍．1．(2015·山东青岛一模)各项均为正数的数列{an}满足aeq\o\al(2,n)＝4Sn－2an－1(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和．(1)求a1，a2的值；(2)求数列{an}的通项公式．2．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝eq\f(an(an＋1),2)，n∈N*．(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝eq\f(1,2Sn)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn．方向三：需对已知等式变形后，再求解1．(2015·江西五校联考)已知正项数列{an}中，其前n项和为Sn，且an＝2eq\r(,Sn)－1．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(1,an·an+1)，Tn=b1＋b2＋b3＋…＋bn，求Tn．2．(2015·浙江温州中学月考)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝8，Sn＋1＋4Sn－1=5Sn(n≥2)，Tn是数列{log2an}的前n项和．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求Tn．3．(2015·江西三县联考)已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)=a3＋a4＋…＋an＋2，其中n∈N*．(1)若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)依次组成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)a1＝1，对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)依次组成公比为q的等比数列，求数列{an}的前n项和An．4．(2015·辽宁沈阳诊断考试)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，an＋1＝9Sn＋10．(1)求证：{lgan}是等差数列；(2)设Tn是数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,(lgan)(lgan＋1))))的前n项和，求Tn；(3)求使Tn＞eq\f(1,4)(m2－5m)对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合．星期一1．(2015·江苏扬州外国语中学模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为．2．(2015·辽宁沈阳二中月考)已知数列{an}满足a1＋eq\f(a2,2)＋…＋eq\f(an,n)＝a2n－1，求数列{an}的通项公式．星期二3．(2015·安徽江淮十校联考)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(x·y)=f(x)＋f(y)，若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f(Sn＋2)－f(an)=f(3)(n∈N*)，则an为()A．2n－1B.nC.2n－1D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－14．(2015·辽宁鞍山二中期中)设数列{an}是等差数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝eq\f(3,2)(bn－1)，且a2=＝b1，a5＝b2．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝an·bn，Tn为{cn}的前n项和，求Tn．星期三5．在数列{an}中，已知a1＝1，an＝2(an－1＋an－2＋…＋a2＋a1)(n≥2，n∈N*)，则数列的通项公式是．6．(2015·广东桂城摸底)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且aeq\o\al(2,n)＋an＝2Sn．(1)求a1；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若bn＝eq\f(1,aeq\o\al(2,n))(n∈N*)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求证：Tn＜eq\f(5,3)．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(提示：eq\f(1,n2)＜2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))))星期四7．(2015·大连双基测试)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________.8．(2014·烟台一模)已知数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且eq\f(1,2)，an，Sn成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}满足bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))的前n项和．星期五9．(2014·山西四校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝________．10．(2014·湖南卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(n2＋n,2)，n∈N*．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．星期六11．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝4，{an}的前3项和为7.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(2n－3)2n＋3，设数列{bn}的前n项和为Sn，求证：eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)≤2－eq\f(1,n).12．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝eq\f(Sn,n)＋2(n－1)(n∈N*)．(1)求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；(2)是否存在自然数n，使得S1＋eq\f(S2,2)＋eq\f(S3,3)＋…＋eq\f(Sn,n)－(n－1)2＝2013？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．1．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．2．在数列{an}中，a1＝－5，a2＝－2，记A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2(n∈N*)，若对于任意n∈N*，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{|an|}的前n项和．3．(2014·广东卷)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足Seq\o\al(2,n)－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有eq\f(1,a1a1＋1)＋eq\f(1,a2a2＋1)＋…＋eq\f(1,anan＋1)＜eq\f(1,3).