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奥数六年级《排列与组合》经典专题点拨教案【有条件排列组合】 例1用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字能够组成______个没有重复数字的三位数。 (哈尔滨市第七届小学
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竞赛试题) 讲析:用这十个数字排列成一个不重复数字的三位数时,百位上不能为0,故共有9种不同的取法。 因为百位上已取走一个数字,所以十位上只剩下9个数字了,故十位上有9种取法。 同理,百位上和个位上各取走一个数字,所以还剩下8个数字,供个位上取。 所以,组成没有重复数字的三位数共有 9×9×8=648(个)。 例2甲、乙、丙、丁四个同学排成一排,从左到右数,如果甲不排在第一个位置上,乙不排在第二个位置上,丙不排在第三个位置上,丁不排在第四个位置上,那么不同的排法共有______种。 (1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题) 讲析:因每个人都不排在原来的位置上,所以,当乙排在第一位时,其他几人的排法共有3种;同理,当丙、丁排在第一位时,其他几人的排法也各有3种。 因此,一共有9种排法。 例3有一种用六位数表示日期的
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,如890817表示1989年8月17日,也就是从左到右第一、二位数表示年,第三、四位数表示月,第五、六位数表示日。如果用这种方法表示1991年的日期,那么全年中六个数字都不相同的日期共有______天。 (1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题) 讲析:第一、二位数字显然只能取9和1,于是第三位只能取0。 第五位数字只能取0、1、2或3,而0和1已取走,当取3时,第六位上只能取0和1,显然不行。因此,第五位上只能取2。 于是,第四位上只能取3、4、5、6、7、8;第六位上也只能取3、4、5、6、7、8,且第四、六位上数字不能取同。 所以,一共有6×5=30(种)。【环形排列】 例1编号为1、2、3、4的四把椅子,摆成一个圆圈。现有甲、乙、丙、丁四人去坐,规定甲、乙两人必须坐在相邻座位上,一共有多少种坐法? (长沙市奥林匹克代表队集训试题) 讲析:如图5.87,四把椅子排成一个圆圈。 当甲坐在①号位时,乙只能坐在②或④ 号位上,则共有4种排法;同理,当甲分别坐在②、③、④号位上时,各有4种排法。 所以,一共有16种排列法。 例2从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在图5.88的六个圆圈中,使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数,那么最多能找出______种不同的挑法来。(挑出的数字相同,而排列次序不同的都只算一种) (北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题) 讲析:在1至9这九个自然数中,奇数有1、3、5、7、9五个,偶数有2、4、6、8四个。要使排列之后,每相邻两个数字之和为质数,则必须奇数与偶数间隔排列,也就是每次取3个奇数和3个偶数。 从五个奇数中,取3个数共有10种方法; 从四个偶数中,取3个数共有4种方法。 但并不是每一种3个奇数和3个偶数都可以排成符合要求的排列。经检验,共有26种排法。附送:可编辑修改欢迎下载2019-2020年小学奥数六年级《数字串问题》经典专题点拨教案 【找规律填数】 例1找规律填数 (杭州市上城区小学数学竞赛试题) (1992年武汉市小学数学竞赛试题) 讲析:数列填数问题,关键是要找出规律;即找出数与数之间有什么联系。 第(1)小题各数的排列规律是:第1、3、5、……(奇数)个数分别别是4和2。 第(2)小题粗看起来,各数之间好像没有什么联系。于是,运用分数得到了 例2右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。按照这个规律在空格中填上合适的数。 (1994年天津市小学数学竞赛试题) 讲析:根据题意,可找出每竖行的三个数之间的关系。不难发现每竖行中的第三个数,是由前两数相乘再加上1得来的。所以空格中应填33。 【数列的有关问题】 数是几分之几? (第一届《从小爱数学》邀请赛试题) 讲析:经观察发现,分母是1、2、3、4、5……的分数个数,分别是1、3、5、7、9……。所以,分母分别为1、2、3……9的分数共 例2有一串数:1,1993,1992,1,1991,1990,1,1989,1988,…这个数列的第1993个数是______ (首届《现代小学数学》邀请赛试题) 讲析:把这串数按每三个数分为一组,则每组第一个数都是1,第二、三个数是从1993开始,依次减1排列。 而1993÷3=664余1,可知第1993个数是1。 例3已知小数0.12345678910111213……9899的小数点后面的数字,是由自然数1—99依次排列而成的。则小数点后面第88位上的数字是______。 (1988年上海市小学数学竞赛试题) 讲析:将原小数的小数部分分成A、B两组: A中有9个数字,B中有180个数字,从10到49共有80个数字。所以,第88位上是4。 例4观察右面的数表(横排为行,竖排为列); 几行,自左向右的第几列。(全国第三届“华杯赛”决赛试题) 讲析:第一行每个分数的分子与分母之和为2,第二行每个分数的分子与分母之和为3,第三行每个分数的分子与分母之和为4,……即每行各数的分子与分母之和等于行数加1。 例5如图5.4,除了每行两端的数之外,其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数,那么第100行各数之和是_______。 (广州市小学数学竞赛试题) 讲析:可试探着计算每行中各数之和。第一、二、三、四行每行的各数之和分别是6、8、10、12,从而得出,每行的数字之和,是行数的2倍加4。故第100行各数之和为100×2+4=204. 例6伸出你的左手,从大拇指开始,如图5.5所示的那样数数:l、2、3……。问:数到1991时,会落在哪个手指上? (全国第三届“华杯赛”决赛口试试题) 讲析:除1之外,从2开始每8个数为一组,每组第一个数都是从食指开始到拇指结束。∵(1991—1)÷8=248余6,∴剩下最后6个数又从食指开始数,会到中指结束。 例7如图5.6,自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。在“2”处拐第一个弯,在“3”处拐第二个弯……问拐第二十个弯处是哪个数? (全国第一届“华杯赛”决赛口试试题) 讲析:写出拐弯处的数,然后按每两个数分为一组:(2,3),(5,7),(10,13),(17,21),(26,31),……。将会发现,每组数中依次相差1、2、3、4、5、……。每组的第二个数与后一组的第二个数依次相差2、3、4、5、……。从而可推出,拐第二十个弯处的数是111。 例8自然数按图5.7顺次排列。数字3排在第二行第一列。问:1993排在第几行第几列? (全国第四届“华杯赛”复赛试题) 讲析:观察每斜行数的排列规律,每斜行数的个数及方向。 每一斜行数的个数分别是1、2、3、4、5、……,奇数斜行中的数由下向上排列,偶数斜行中的数由上向下排列。 斜行,该斜行的数是由下向上排列的,且第63行第1列是1954。 由于从1954开始,每增加1时,行数就减少1,而列数就增加1。所以1993的列数、行数分别是: 1993—1954+1=40(列),63-(1993—1954)=24(行)