例析“放缩法”巧证函数不等式

例析“放缩法”巧证函数不等式广州市广东广雅中学(510160)徐广华1证明函数不等式恒成立的三种思想方法一般来说,证明函数不等式f(x)>g(x)恒成立,有如下三种思想方法:方法一“移项构造函数法”:设F(x)=f(x)�g(x),则f(x)>g(x)恒成立,等价于F(x)>0恒成立,若F(x)存在最小值,则等价于F(x)min>0.说明尽管F(x)存在最小值,但有些时候方程F0(x)=0的根(极值点)解不出来,此时往往借助零点存在性定理和F0(x)的单调性,先证明方程F0(x)=0有唯一实根x0,然后用“设而不求”的方法,证明F(x)min=F(x0)>0,这里要利用F0(x0)=0进行转化替换.方法二“放缩法”:先证f(x)>h(x)恒成立,再证h(x)>g(x)恒成立,则有f(x)>h(x)>g(x),故f(x)>g(x)恒成立.说明若f(x)>h(x)恒成立,h(x)>g(x)恒成立,且两个等号不同时成立的话,显然也有f(x)>g(x)恒成立.放缩法证明的关键是找到一个介于f(x)与g(x)之间的“中介”函数h(x),这里我们称h(x)是函数f(x)与g(x)的“隔离”函数.方法三转化为证其充分条件:若f(x)存在最小值,g(x)存在最大值,且有f(x)min>g(x)max,则f(x)>g(x)恒成立.说明f(x)min>g(x)max是f(x)>g(x)恒成立的一个充分不必要条件.若f(x)min=g(x)max,f(x)min=f(x1),g(x)max=g(x2)且x16=x2,显然也有f(x)>g(x)恒成立.若f(x)不存在最小值,或g(x)不存在最大值,可将不等式f(x)>g(x)适当移项变形,等价转化为'(x)>(x)恒成立,若'(x)min>(x)max,则f(x)>g(x)恒成立.方法三也可看作是方法二的特例,其证明流程是:f(x)>f(x)min>g(x)max>g(x),故有f(x)>g(x)恒成立.这里,f(x)min和g(x)max是函数f(x)与g(x)的两个“隔离”常函数.以上三种方法中,方法一是通法,思路自然,但极值点解不出来时就比较麻烦;方法二、方法三是巧法,技术含量较高,找“隔离”函数、适当移项变形是难点.2放缩法证明函数不等式中常用的重要不等式一般情况下,我们常利用如下重要结论对函数进行放缩,寻找合适的“隔离”函数:1 xx+16ln(x+1)6x(x>�1),等号当且仅当x=0时成立.�����������������������������������������������������������《中学数学研究》编辑委员会名誉主编:柳柏濂顾问:(以姓氏笔划为序)王林全,柳柏濂社长:黎稳主编:吕杰副主编:何小亚,徐勇编委:(以姓氏笔划为序)尤利华,邓春源,叶远灵,吕伟泉,吕杰,刘名生,刘秀湘,孙道椿,苏洪雨,李健全,吴有昌,何小亚,张敏,陈小山,陈奇斌,林少杰,林长好,姚静,袁平之,袁汉辉,耿堤,徐志庭,徐勇,章绍辉,曾辛金,谢明初2017年第4期(上)中学数学研究1推论1-1xx+1<ln(x+1)<x(x>0).推论1-21�1x6lnx6x�1(x>0),等号当且仅当x=1时成立.2 ex>x+1(x2R),等号当且仅当x=0时成立.推论2ex>x+1(x>0).3 ex>ex(x>0),等号当且仅当x=1时成立.推论3-1ex>e2x2(x>0);ex>x2(x>0);推论3-2ex>e6x3(x>0);ex>13x3(x>0).以上结论及其推论都可利用“移项构造函数法”容易证明.(证明过程略)4 ex>1+x+x22!+x33!+���+xnn!(x>0;n2N�).证法一数学归纳法.(证明过程略)证法二商比较法.(最优解法)将不等式右边除以左边,作商构造函数F(x)=�1+x+x22!+x33!+���+xnn!�e�x(x>0);F0(x)=�xnn!e�x<0;则当x>0时,F(x)单调递减,故F(x)<F(0)=1,故4 左边>右边.5 ex>lnx+2(x>0).略证放缩法,先证:当x>0时,ex>x+1(推论2);再证:x+1>lnx+2,即lnx6x�1(推论1-2),故有ex>lnx+2(x>0).熟练记忆以上重要结论及其推论,很有必要,因为有了这些知识积累,才有可能缩短思维的长度,从而快速找到放缩法证明函数不等式的“隔离”函数.3关于常见函数最值的重要结论我们也要掌握高考中常见的一些函数图像及其性质,如:y=xex;y=x2ex;y=xex;y=exx;y=x2ex;y=exx2;y=xlnx;y=x2lnx;y=lnxx;y=lnxx2等.利用导数,研究其最值,可得如下重要结论:1 y=xex(x2R)在x=�1时取最小值�1e;2 y=x2ex(x<0)在x=�2时取最大值4e2;3 y=xex(x2R)在x=1时取最大值1e;4 y=exx(x>0)在x=1时取最小值e;5 y=x2ex(x>0)在x=2时取最大值4e2;6 y=exx2(x>0)在x=2时取最小值e24;7 y=xlnx(x>0)在x=1e时取最小值�1e;8 y=x2lnx(x>0)在x=1pe时取最小值�12e;9 y=lnxx(x>0)在x=e时取最大值1e;10 y=lnxx2(x>0)在x=pe时取最大值12e.熟悉以上常见函数的最值结论(知识储备),可以帮助我们快速想到如何将函数不等式适当移项变形,然后转化为用方法三来证明等价变形后的不等式恒成立.4例析放缩法证明函数不等式例1.(2010全国理20)已知函数f(x)=(x+1)lnx�x+1.(I)若xf0(x)6x2+ax+1,求a的取值范围;(II)证明:(x�1)f(x)>0. 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 (I)略.(II)推论1-2得:1�1x6lnx6x�1.1 当x>1时,由f(x)>(x+1)�1�1x��x+1=x�1x>0;2 当x=1时,f(x)=0;3 当0<x<1时,由推论1-2得:f(x)<(x+1)(x�1)�x+1=x(x�1)<0.综上,(x�1)f(x)>0.例2.(2012辽宁理21)设f(x)=ln(x+1)+px+1+ax+b,曲线y=f(x)与直线y=32x在(0;0)相切.(I)求a;b的值;(II)证明:当0<x<2时,f(x)<9xx+6.分析(I)a=0;b=�1.(过程略)(II)即证:当0<x<2时,f(x)=ln(x+1)+px+1�1<9xx+6.换元令t=px+1,则x=t2�1(1<t<p3),只要证:当1<t<p3时,2lnt+t�1<9(t2�1)t2+5.由推论1-2得:lnt<t�1,故只要证:3(t�1)<9(t2�1)t2+5,即证t2+5<3)(t+1),即证t2�3t+2<0,即证1<t<2,这显然成立,得证!例3.(2014福建理20)已知函数f(x)=ex�ax在点(0;1)处的切线斜率为�1.(I)求a的值及函数f(x)的极值;(II)证明:当x>0时,x2<ex;(III)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x2(x0;+1),恒有x2<cex.分析(I)、(II)略.(III)思路一:x2<cex,ex>1c�x2.由(II)知,当x>0时,ex>x2,所以ex=ex2�ex2>�x2�2��x2�2=x216�x2;只要x216>1c,即x>4pc时,就恒有ex>1c�x2.故对任意给定的正数c,取x0=4pc,当x>x0时,恒有x2<cex.2中学数学研究2017年第4期(上)思路二:先证明推论3-2:当x>0时,恒有ex>13x3=13x�x2(过程略).只要13x>1c,即x>3c时,就恒有ex>1c�x2,x2<cex.对任意给定的正数c,取x0=3c,当x>x0时,恒有x2<cex.例4.(2014全国课标I卷理21)设函数f(x)=aexlnx+bex�1x,曲线y=f(x)在点(1;f(1))处的切线方程为y=e(x�1)+2.(I)求a;b;(II)证明:f(x)>1.分析(I)a=1;b=2(过程略).(II)f(x)=exlnx+2ex�1x>1,xlnx>xe�x�2e(�)设g(x)=xlnx,h(x)=xe�x�2e(x>0).易得:当x=1e时,g(x)min=�1e;当x=1时,h(x)max=�1e;则g(x)>�1e>h(x),且等号不同时成立,故g(x)>h(x),得证!变式(2017广州一模文、理21)已知函数f(x)=lnx+ax(a>0).(I)若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;(II)(文)证明:当a>2e时,f(x)>e�x.(理)证明:当a>2e,b>1时,f(lnb)>1b.分析(I)略.(II)(文)当a>2e时,f(x)=lnx+ax>lnx+2ex(简单放缩),故要证f(x)>e�x,只要证lnx+2ex>e�x,等价于证明xlnx>xe�x�2e,这不恰好就是上面例4中的分析(II)的(�)吗?(理)利用文科(II)的结论:当a>2e时,f(x)>e�x,其中x>0.当b>1时,lnb>0,故f(lnb)>e�lnb=1b,得证!评注从上可知,这道2017广州一模文、理压轴21 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的题源就是2014全国课标I卷理21题.例5.(2016山东卷理20)已知f(x)=a(x�lnx)+2x�1x2;a2R.(I)讨论f(x)的单调性;(II)当a=1时,证明f(x)>f0(x)+32对于任意的x2[1;2]成立.分析(I)略.(II)当a=1时,f(x)=x�lnx+2x�1x2,f0(x)=1�1x�2x2+2x3.则f(x)>f0(x)+32,x�lnx�1+3x+1x2�2x3>32(��)根据推论1-2:lnx6x�1,则x�lnx�1>0(当x=1时等号成立),故要证(��)成立,只要证3x+1x2�2x3>32(16x62);且等号不在x=1时取得.去分母,只要证:当16x62时,3x3�6x2�2x+460,左边分解因式,只要证(3x2�2)(x�2)60.因为16x62,所以3x2�2>0,x�260;故(3x2�2)(x�2)60,且x=2时取等号,得证!例6.(2016广州一模理21)已知函数f(x)=ex+m�x3;g(x)=ln(x+1)+2.(I)若曲线y=f(x)在点(0;f(0))处的切线斜率为1,求实数m的值;(II)当m>1时,证明:f(x)>g(x)�x3.分析(I)略.(II)f(x)>g(x)�x3等价于ex+m>ln(x+1)+2.当m>1时,ex+m>ex+1(简单放缩),故只要证ex+1>ln(x+1)+2.令t=x+1>0,则只要证et>lnt+2.证法一用放缩法,先证et>t+1;(t>0),再证t+1>lnt+2,t>lnt+1(t>0)即可.(过程略)证法二et>lnt+2,ett>lnt+2t(t>0).易得:当t=1时,�ett�min=e;当t=1e时,�lnt+2t�max=e.(过程略)所以ett>e>lnt+2t,且等号不同时成立,故ett>lnt+2t,得证!评注显见此题的题源是:(2013全国卷II理21)已知函数f(x)=ex�ln(x+m).(I)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(II)当m62时,证明f(x)>0.分析(I)略.(II)当m62时,ln(x+m)6ln(x+2)(简单放缩),则f(x)>ex�ln(x+2),故要证f(x)>0,只要证ex>ln(x+2).用放缩法,先证ex>x+1(x>�2),当x=0时取等号;再证x+1>ln(x+2)(x>�2),当x=�1时取等号(过程略);从而ex>ln(x+2).例7.(2016佛山二模理21)设函数f(x)=ax+b�xlnx(a>0),g(x)=2x1+x2,若直线y=e�x是曲线C:y=f(x)的一条切线,其中e是自然对数的底数,且f(1)=1.(I)求a;b的值;(II)设0<n<m<1,证明:f(m)>g(n).分析(I)a=1;b=0(过程略).(II)由(I)知,f(x)=x�xlnx,则f0(x)=1�(1+lnx)=�lnx;当0<x<1时,f0(x)>0,f(x)单调递增.因为0<n<m<1,所以f(m)>f(n).故要证0<n<m<1时f(m)>g(n),只要2017年第4期(上)中学数学研究3证0<n<1时f(n)>g(n)(利用单调性放缩).f(n)>g(n)()n�nlnn>2n1+n2()1�lnn>21+n2(0<n<1):构造函数F(n)=1�lnn�21+n2(0<n<1);则F0(n)=�1n+4n(1+n2)2=�(1�n2)2n(1+n2)2<0;则当0<n<1时,F(n)单调递减,故F(n)>F(1)=0,即f(n)>g(n)成立,得证!例8.(2016武汉四月理21)已知函数f(x)=x2ex�lnx:(I)当x>1时,判断f(x)的单调性;(II)证明:当x>0时,不等式f(x)>1恒成立.分析(I)略.(II)思路一:当x>0时,不等式f(x)=x2ex�lnx>1()exx>lnx+1x3恒成立.设g(x)=exx(x>0),h(x)=lnx+1x3(x>0),易得:g(x)min=g(1)=e;h(x)max=h(e�23)=e23:因为e<3,所以e>e23,即g(x)min>h(x)max,故g(x)>h(x)在(0;+1)上恒成立.故当x>0时,f(x)>1恒成立.思路二:当x>0时,f(x)>1,x2ex�lnx�1>0.易证:ex>ex(x>0),故x2ex�lnx>ex3�lnx,设h(x)=ex3�lnx(x>0),可得:h(x)min=h�13e�13!=13+13ln(3e)=23+13ln3>1:故当x>0时,恒有h(x)>1,从而x2ex�lnx>h(x)>1,即f(x)>1.例9.(2016郑州二模理21)已知函数f(x)=exx2�mx+1.(I)若m2(�2;2),求函数y=f(x)的单调区间;(II)若m2�0;12�,则当x2[0;m+1]时,函数y=f(x)的图像是否总在直线y=x上方?请写出判断过程.分析(I)略.(II)若m2�0;12�,则当x2[0;m+1]时,曲线y=f(x)总在直线y=x上方.下面给予证明,即要证f(x)>x对x2[0;m+1],m2�0;12�恒成立.1 当x=0时,f(0)=1>0,f(x)>x成立.2 当x2(0;m+1]时,因为m2�0;12�,所以�=m2�4<0,x2�mx+1>0恒成立.所以f(x)=exx2�mx+1>x()exx>x2�mx+1:设g(x)=exx,h(x)=x2�mx+1,易得g(x)min=g(1)=e=2:71828���:而当x2(0;m+1]时,h(x)max=h(m+1)=m+2612+2=2:5.所以g(x)min>h(x)max,故g(x)>h(x)恒成立,从而f(x)>x恒成立.例10.(2016邯郸一模理21)设函数f(x)=(x+a)lnx+b,曲线y=f(x)在点(1;f(1))处的切线方程为x+y�2=0.(I)求y=f(x)的解析式;(II)证明:f(x)�1x�ex<1.分析(I)f(x)=(x�2)lnx+1.(过程略)(II)易证ex>x+1(x>0),故x�ex<�1,f(x)�1x�ex<1等价于f(x)�1>x�ex()(x�2)lnx>x�ex:因为x�ex<�1,所以只要证(x�2)lnx>�1(x>0).1当x>2时,(x�2)lnx>0>�1,不等式显然成立.2 当0<x<2时,只要证lnx<�1x�2(1)构造函数g(x)=lnx+1x�2(0<x<2);则g0(x)=1x�1(x�2)2=(x�1)(x�4)x(x�2)2:因为当0<x<1时,g0(x)>0;当1<x<2时,g0(x)<0;所以当x=1时,g(x)max=�1<0,故g(x)<0,则(1)成立,得证!另法:根据推论1-2:lnx6x�1,要证lnx<�1x�2,只要证x�1<�1x�2,只须证x�1+1x�2=x2�3x+3x�2<0;而x2�3x+3=�x�32�2+34>0;x�2<0,故不等式成立.说明由0<x<2,也可由基本不等式,得x�1+1x�2=(x�2)+1x�2+16�2+1=�1<0.通过以上的例子我们不难发现,不等式的证明常作为高考、模拟考中函数导数的压轴题,虽然有一定的难度,技巧性较高,但我们将证明数列不等式中的“放缩法”迁移到证明函数不等式后,依然可见其“四两拨千斤”般强大的“威力”.至于如何才能做到精妙准确的放缩,这需要我们在平时的学习训练中重视知识的储备和方法的积累,通过适当的放缩和转化,化繁为简,达到事半功倍的效果.