2004年第20期(高一下·新教材)理科爱好者67口教改探索甘肃张掖医学高等专科学校(734000)赵珍线段定比分点公式是解析几何的基本公式．本文用射影、平面几何、向量的坐标等四种方法对线段定比分点公式进行了推导．针对学生在学习和运用线段定比分点公式时所出现的错误，进一步讨论了定比的范围．设直线上两点Pl、P2坐标分别为(l，Y1)、(2，Y2)，P(，y)是线段PlP2的定比分点，即：，：{，y={称之为线段PPz定比分点P的坐标公式．这个公式从结构上有简单、有序、对称的特点，十分容易记忆．定比分点公式不仅在解析几何中有十分广泛的应用，还可以应用它解决代数问题，它是我们推导公式、计算、证明问题常用的基本
知识点
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和依据．1线段定比分点公式的推导1．1射影法用数量射影的思想来探讨几何问题，可以把三维空间问题化为二维空间问题，把二维空间问题化为一维空间问题．利用这个思想把线段投影到一维空间的数轴上，再利用平面几何有关知识推导线段定比分点公式．如图1，把线段PlP2投影到轴上，Pl、P、P2在轴的投影分别为l、、形成正投影．】、、的坐标分别(】，0)、(，0)、(2，0)．M．DMM一图1依正投影性质：直线上两线段之比等于其投影之比．=MaM(1)将lM=—l，MM2=2一，代入(1)=，=．同，^__i。。I口J理，把线段PlP2投影到Y轴，如图＼⋯、＼ⅣMD图22侍~=PIP=而N1N=(2)，将ⅣlⅣ=y—yl，ⅣⅣ2=y2一y代入(2)~Y-Y，，l：=1A，’，'一’，十B0P(，)．1．2平面几何法利用相似三角形的性质，建立比值关系，推导出线段定比分点坐标公式．如图3，过P】、P、P2分别作轴垂线交轴于P】、P、P2；过P、P2分别作Y轴垂线交P】P】、PP分别为、Ⅳ点，、Ⅳ．f^F⋯·：0尸图3坐标分别为(l，Y)，(，Y2)，得AMPPl和△NP2P，显lANp2，得鬲PIP=MP=PaM~,,AMPP,_~nNp2p=(1)，，得雨===(1)，将PlM=Y—Yl，PlⅣ=Y2一Y，MP=一l，J7、l2=2一代入(1)式，侍~．PiP=薏==，所以=；，，=P(，Yl+y^2、1+1．3向量法代数学与几何学的结合是通过直角坐标系建立的．建立直角坐标系，通过向量把代数运算引到几何学，可以使几何问题得到简捷的解决．作有向线段，P分得有向线段帝、．向量、一OP、为定位向量，-~—OP—1：：(l，y1)；一OPOP=(，Y)；一OP2=一b=(Y2)．=(，)；==(2，)．向量、共线，如图4所示，一PIP：—PP2，即一：．———————●(OP2一OR)，-0~(1+)=+，=+1l+^+^‘L0l图4维普资讯http://www.cqvip.com68理科爱好者2004年第2O期(高一下·新教材)=+=()，·)+(X2，Y2)。+两6而【1，)，1+(，=(，口P(，)．此外还可用向量的坐标法来证明，请读者自己试一试．2线段定比分点坐标公式中的对线段定比分点坐标公式中的正确认识是我们理解公式正确解题的关键，现针对学生在学习中所出现的错误，对进行讨论．2．1值与起点、终点值密切相关P是直线￡上的一点，P把线段P。P2分成两段P1P、PP2，则P1P比PP2叫P分P1P2所成的定比，即=．值得注意，值与线段起点、终点密切相关，P分P1P2所成定比1=与P分P2P1所成定比2=P2P是不同的，1与2互为倒数，即1=1．2．2内分点、外分点>0，帚与蓐共线方向相同，叫内分点．<0，币与共线方向相反，叫外分点，当一1<<0时，P在的反向延长线上；当<一1时，P在的延长线上．2．3与长度之比是P点将有向线分成两条有向线段数量之比，它与长度之比有关，但不是长度之比．更不能因为筹就可以错误的写成不能因为=，就可以错误的写成=．』』'，，，2．4的取值范围=O，分点P与P1重合；=1，P为P1P2的中点；=一1，则帝：一OP一：一(一)，得：一OP2，即P1、P2坐标相同，与PlP是线段矛盾．所以∈(一∞．一1)【J(一1．+∞)．(编辑启害)(上接64页)．‘．已知等式化为：A—BsinA—sinB协T五，即an：sin(+)一sin‘(，,一)sln—+—一—一—sin(+)+si·n(，一)sln—+—十—一—A+日．A一日。——一融“———A+BA—B■—百COTtanT，“T。∞T．～．：0，或cot又尘∈(一号，号)，尘∈(0，号)．．·．A一日：0，或：詈，．·．A：B或A+B=，／xABC为等腰三角形或直角三角形．题后反思判断三角形形状主要从两个方面判断：角或边．因此，这类题的解题思路很明确：就是将已知条件中的量全部化为A、B、C的三角函数式或化为n、b、C的代数式进行恒等变形．直到得出可以判断三角形形状的结论．三、能力训练1．在△脑c中，已知cosA：，sin日：詈，则cosC的值为()．A．B．56c．65e~5665D．一162．在AABC中，若tanA·tanB>1，则AABC是()．A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形3、在z~ABC中，A=60~，b：1，三角形面积为，则的值为——．4、△A8C中，sinB+sinC=sinA(cosB+c06C)，贝4A=——5．在△脑C中，口、b、C分别是角A、B、C的对边，设n+c=2b，A—C=，求sinB的值．维普资讯http://www.cqvip.com
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