新高考数学二轮复习资料汇编pdf版——课时分层训练21正弦定理和余弦定理文北师大版_88

新高考数学二轮复习资料汇编课时分层训练(二十一)正弦定理和余弦定理A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1．(2018·兰州模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定2B[由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sinA，2∴sin(B＋C)＝sinA，22即sin(π－A)＝sinA，sinA＝sinA．π∵A∈(0，π)，∴sinA＞0，∴sinA＝1，即A＝.]22．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定bcC[由正弦定理得＝，sinBsinC340×bsinC2∴sinB＝＝＝3＞1.c20∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．42222A[由余弦定理得AB＝AC＋BC－2AC·BC·cosC，即13＝AC＋9－2AC×3×cos120°，2化简得AC＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A．]4．(2018·石家庄模拟)△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于()【111】33A．B．24333C．或3D．或224222D[由余弦定理得AC＝AB＋BC－2AB·BC·cosB，2即1＝3＋BC－3BC，解得BC＝1或BC＝2，1113当BC＝1时，△ABC的面积S＝AB·BCsinB＝×3×1×＝.22241113当BC＝2时，△ABC的面积S＝AB·BCsinB＝×3×2×＝.222233总上之，△ABC的面积等于或.]42π15．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sinA＝()43310A．B．10105310C．D．510aπaD[过A作AD⊥BC于D，设BC＝a，由已知得AD＝.∵B＝，∴AD＝BD，∴BD＝AD＝，3435a2a2225a3DC＝a，∴AC＝＋a＝a，在△ABC中，由正弦定理得＝，3333sin∠BACsin45°310∴sin∠BAC＝，故选D．]10二、填空题6．(2018·青岛模拟)如图3-6-1所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠22BAC＝，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________．3【112】图3-6-1223[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，322∴在△ABD中，有BD＝AB＋AD－2AB·ADcos∠BAD，222∴BD＝18＋9－2×32×3×＝3，3∴BD＝3.]7．已知△ABC中，AB＝3，BC＝1，sinC＝3cosC，则△ABC的面积为________．3π[由sinC＝3cosC得tanC＝3＞0，所以C＝.23BCAB13根据正弦定理可得＝，即＝＝2，sinAsinCsinA321ππ所以sinA＝.因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝，所以B＝，即三角形为直角三262角形，13故S△ABC＝×3×1＝.]228．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________.π[由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，3得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA．∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B．∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB．1π又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.]23三、解答题9．(2018·陕西八校联考)已知△ABC内接于单位圆，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosA＝ccosB＋bcosC．(1)求cosA的值；22(2)若b＋c＝4，求△ABC的面积．[解](1)∵2acosA＝ccosB＋bcosC，∴2sinA·cosA＝sinCcosB＋sinBcosC，即2sinA·cosA＝sin(B＋C)＝sinA．4分又0＜A＜π，∴sinA≠0.1∴2cosA＝1，cosA＝.6分213(2)由(1)知cosA＝，∴sinA＝.22a∵△ABC内接于单位圆，＝2R＝2，∴a＝2sinA＝3.8分sinA222222由a＝b＋c－2bccosA，得bc＝b＋c－a＝4－3＝1，10分1133∴S△ABC＝bcsinA＝×1×＝.12分222410．(2017·云南二次统一检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m＝(sinB,5sinA＋5sinC)与n＝(5sinB－6sinC，sinC－sinA)垂直．(1)求sinA的值；(2)若a＝22，求△ABC的面积S的最大值．【113】[解](1)∵m＝(sinB,5sinA＋5sinC)与n＝(5sinB－6sinC，sinC－sinA)垂直，222∴m·n＝5sinB－6sinBsinC＋5sinC－5sinA＝0，2226sinBsinC即sinB＋sinC－sinA＝.3分52226bc根据正弦定理得b＋c－a＝，5222b＋c－a3由余弦定理得cosA＝＝.2bc5∵A是△ABC的内角，24∴sinA＝1－cosA＝.6分52226bc(2)由(1)知b＋c－a＝，56bc2222∴＝b＋c－a≥2bc－a.8分5又∵a＝22，∴bc≤10.12bc∵△ABC的面积S＝bcsinA＝≤4，25∴△ABC的面积S的最大值为4.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)221．(2016·山东高考)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知b＝c，a＝2b(1－sinA)，则A＝()3ππA．B．43ππC．D．46C[∵b＝c，∴B＝C．πA又由A＋B＋C＝π得B＝－.2222由正弦定理及a＝2b(1－sinA)得22sinA＝2sinB(1－sinA)，22πAsinA2sin－(1sinA)即＝22－，22A即sinA＝2cos(1－sinA)，22A2A2A即4sincos＝2cos(1－sinA)，2222A2A整理得cos1－sinA－2sin＝0，222A即cos(cosA－sinA)＝0.2AπA∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴cos≠0，222π∴cosA＝sinA．又0＜A＜π，∴A＝.]42．如图3-6-2，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为________．图3-6-256[在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，2222AD＋DC－AC1由余弦定理得cos∠ADC＝＝－，2AD·DC2所以∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，ABAD由正弦定理得＝，sin∠ADBsinB56所以AB＝.]2π3．(2018·昆明模拟)如图3-6-3，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝7，3AB⊥BC．图3-6-3(1)求sin∠ABD的值；2π(2)若∠BCD＝，求CD的长.【114】3[解](1)∵AD∶AB＝2∶3，∴可设AD＝2k，AB＝3k.π又BD＝7，∠DAB＝，3222π∴由余弦定理，得(7)＝(3k)＋(2k)－2×3k×2kcos，3解得k＝1，∴AD＝2，AB＝3，32×ADsin∠DAB221sin∠ABD＝＝＝.BD7721(2)∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝，727BDCD∴sin∠DBC＝，∴＝，7sin∠BCDsin∠DBC277×743∴CD＝＝.332